多媒体-第4章

1、根轨迹根轨迹j00K131565.5311.3535,K1.3535,KKK0Kj1p2p3p4p2z3z0七、法则七、法则7 7：根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点1 1、存在交点的可能情况：若渐近线与虚轴有交点，或在、存在交点的可能情况：若渐近线与虚轴有交点，或在s s右半平面有右半平面有开环零、极点，则根轨迹必然会与虚轴有交点；开环零、极点，则根轨迹必然会与虚轴有交点；方法一：方法一： 令劳斯表第令劳斯表第1 1列中包含列中包含K K* *的项为的项为0 0，即可确定交点对应的，即可确定交点对应的K*； 利用劳斯表中利用劳斯表中s2s2行的系数构建辅助方程，必可解出与虚轴交点行的系数

2、构建辅助方程，必可解出与虚轴交点jw；方法二：方法二： 令闭环特征方程中的令闭环特征方程中的s=jws=jw，然后分别令其实部和虚部为，然后分别令其实部和虚部为0 0。例11 ：2( )( )(3)(22)KG s H ss sss2 2、根轨迹与虚轴交点、根轨迹与虚轴交点jw的计算及该点对应的根轨迹增益的计算及该点对应的根轨迹增益K*值的计算值的计算八、法则八、法则8 8：根之和（用来判断根轨迹的走向）：根之和（用来判断根轨迹的走向）当当n-m2n-m2时时，对于任意开环根轨迹增益，对于任意开环根轨迹增益K* ，闭环极点之和等于，闭环极点之和等于开环极点之和，即闭环极点之和为一定值。开环极点

3、之和，即闭环极点之和为一定值。所以，若一些根轨迹分支向左移动，则一定会相应有另外一些所以，若一些根轨迹分支向左移动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。根轨迹分支向右移动。j1p2p3p4p2z3z0总结：根轨迹的绘制步骤总结：根轨迹的绘制步骤（1 1）将开环传函整理为零极点标准形式，找出根轨迹增益）将开环传函整理为零极点标准形式，找出根轨迹增益K K* ；（2 2）确定开环零极点；）确定开环零极点；（3 3）判断是否有可能存在渐近线，求）判断是否有可能存在渐近线，求（4 4）判断是否有可能存在分离点，求）判断是否有可能存在分离点，求 d d及分离角及分离角(5)(5)判断是否有起始角，

4、终止角，并计算判断是否有起始角，终止角，并计算（6 6）判断是否有可能存在与虚轴交点，求）判断是否有可能存在与虚轴交点，求jwjw及对应的及对应的K* ,aa 注注：（1 1）开环根轨迹增益开环根轨迹增益K*与与开环增益开环增益K的关系；的关系； 11111( )( )1mmjjjjnn vviiiiKszKsG s H sspsT s 零极点形式零极点形式时间常数形式时间常数形式（2 2）利用根轨迹可以直接求出系统闭环极点，避免了解析法求取特征方程的利用根轨迹可以直接求出系统闭环极点，避免了解析法求取特征方程的困难。困难。习题42 ：4-4 4-4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性

5、能 1( )gghniiKszspsss 来自结构图来自根轨迹s1s2s4s3s5K*=30K*= 30K*=30K*= 30K*=30系统根轨迹系统根轨迹取出某取出某K*值对应的值对应的闭环极点闭环极点si(i=1,n)全部闭环极点全部闭环极点, 并加入闭环零点并加入闭环零点简化为简化为1、2个闭环零个闭环零点和点和2、3个闭环极点个闭环极点估算系统性能估算系统性能23( )6221( )5K sG ss sssH sss1s2s4s3s5闭环零点闭环零点闭环极点闭环极点化简化简原则原则化简原则化简原则: :工程计算中，采用主导极点代替系统全部闭工程计算中，采用主导极点代替系统全部闭环极点来

6、估算系统性能指标。环极点来估算系统性能指标。1）在全部闭环极点中，选留最靠近虚轴而又不十分靠近闭环零点）在全部闭环极点中，选留最靠近虚轴而又不十分靠近闭环零点的的1个或个或n个闭环极点做为主导极点；个闭环极点做为主导极点；2）略去不十分接近原点的）略去不十分接近原点的偶极子偶极子；3）略去比主导极点距虚轴远）略去比主导极点距虚轴远36倍以上的闭环零、极点；倍以上的闭环零、极点；当一对闭环零、极点相距很近时，它们就构成当一对闭环零、极点相距很近时，它们就构成偶极子偶极子。这样一来，设计中所遇到的绝大多数高阶系统，就可以简化这样一来，设计中所遇到的绝大多数高阶系统，就可以简化为只有为只有1、2个闭

7、环零点和个闭环零点和2、3个闭环极点的系统。个闭环极点的系统。如果在所有的闭环极点闭环极点中，距虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其他闭环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的闭环极点距虚轴最近的闭环极点对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢，在系统的时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点就称为闭环主导极点闭环主导极点。闭环主导极点闭环主导极点ReIms1主导极点主导极点Re011( )esin(Im)klvn vs tstkllklh tAAA es t 例例 已知某系统闭环传递函数已知某系统闭环传递函数 试计算试计算 时的时的 和和 B21( )0.6710.

8、010.081Gssss 解解: : 该闭环系统有三个极点该闭环系统有三个极点: :12,31.5,4j9.2ss 1( )0.671ss % 1r t st%0 33 0.672stT该闭环系统有三个极点该闭环系统有三个极点: :12,31.5,4j9.2ss 例例 已知某系统闭环传递函数已知某系统闭环传递函数 试计算试计算 时的时的 和和 B20.591( )0.6710.010.081sGssss 1r t %25% n3.50.9st解解: :一个零点一个零点 1.7z 221100( )0.010.0818100sssss% st偶极偶极子子闭环零极点对系统性能的影响闭环零极点对系统

9、性能的影响1）稳定性：若闭环极点全部位于）稳定性：若闭环极点全部位于s左半平面，则系统稳定。左半平面，则系统稳定。2）阶跃响应形式：如果闭环主导极点为复数极点，则时间响应一）阶跃响应形式：如果闭环主导极点为复数极点，则时间响应一般是振荡的；如果是实数极点，则时间响应一般是单调的。般是振荡的；如果是实数极点，则时间响应一般是单调的。3）超调量：主要取决于）超调量：主要取决于 ，即闭环复数主导极点的实部与虚，即闭环复数主导极点的实部与虚部之比。部之比。%100%21/e3.53.50.05ssnntt 2/ 14）调节时间：取决于最靠近虚轴的闭环主导极点的实部。）调节时间：取决于最靠近虚轴的闭环主导极点的实部。例例12 ：已知单位反馈系统的开环传递函数为：已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）K从从0时，概略绘制系统的闭环根轨迹图；时，概略绘制系统的闭环根轨迹图；（2）确定保证系统稳定的）确定保证系统稳定的K值范围；值范围；（3）求取系统在单位阶跃输入作用下稳态误差的绝对值。）求取系统在单位阶跃输入作用下稳态误差的绝对值。2(0.51)( )