第四章数学期望

1、 在前面的课程中，我们讨论了随机变量在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的分布函的分布函数，那么数，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，分布函数一般然而，在实际问题中，分布函数一般是较难确定的是较难确定的. 而在一些实际应用中，人而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了只要知道它的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的某些数字特征是重要的 .这

2、一讲，我们先介绍随机变量的数学期望这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是期望期望和和方差方差一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征，平均值是日常生活中最常用的一个数字特征，它对评它对评判事物作出决策等具有重要作用判事物作出决策等具有重要作用.例如，例如，某商场计划于某商场计划于5月月1日在户外搞一次促销活动，日在户外搞一次促销活动，统计资料表明，统计资料表明，如果在商场内搞如果在商场内搞可获得经济可获得经济效益效益3万元；万元；在商场外搞，在商场外搞， 如果不遇雨天可如果不遇雨天可获

3、得获得12万元，万元，遇到雨天则带遇到雨天则带来经济损失来经济损失5万元；万元；若前一天的天气若前一天的天气预报称当日有雨预报称当日有雨的概率为的概率为40%，则商场应如何选择则商场应如何选择促销方式？促销方式？1.概念的引入概念的引入显然商场在该日搞促销活动预期获得的经济效益显然商场在该日搞促销活动预期获得的经济效益X是一个随机变量，是一个随机变量， 其概率分布为其概率分布为,6 . 01211pXPxXP ,4 . 0522pXPxXP 要作出决策就要将此时的平均效益与要作出决策就要将此时的平均效益与3万元进行比较万元进行比较,如何求平均效益呢？如何求平均效益呢？ 要客观地反映平均效益要客

4、观地反映平均效益,虑虑X的所有取值，的所有取值，又要考虑又要考虑X取每一个值时的概率，取每一个值时的概率，即为即为既要考既要考2 . 54 . 0)5(6 . 01221 iiipx（万元）（万元）.称这个平均效益称这个平均效益5.2万元为随机变量万元为随机变量X的的数学期望数学期望,2.数学期望的定义数学期望的定义定义定义设设X是离散型随机变量，其概率分布为是离散型随机变量，其概率分布为, 2 , 1,1 ipxXPi如果如果iiipx 1绝对收敛，绝对收敛，为随机变量为随机变量X的的数学期望数学期望 （又称（又称 1)(iiipxXE均值均值）完完则称则称也就是说也就是说,离散型随机变量的

5、数学期望是一个绝离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和对收敛的级数的和.例例1 甲甲, , 乙两人进行打靶乙两人进行打靶, , 所得分数分别记为所得分数分别记为,1X,2X它们的分布律分别为它们的分布律分别为,8 . 02 . 002101kpX1 . 03 . 06 . 02102kpX试评定他们的成绩的好坏试评定他们的成绩的好坏.解解 我们来计算我们来计算1X的数学期望的数学期望, , 得得8 . 18 . 022 . 0100)(1 XE(分分).这意味着这意味着, , 如果甲进行很多次的射击如果甲进行很多次的射击, , 那么那么, , 所所得分数的算术平均就接近得分数的算术平

6、均就接近 1.8, ,).(5 . 01 . 023 . 016 . 00)(2分分 XE很明显很明显, , 乙的成绩远不如甲的成绩乙的成绩远不如甲的成绩. .完完而乙所得分数的而乙所得分数的数学期望为数学期望为例例2 某人的一串钥匙上有某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望除去，求打开门时试开次数的数学期望.解解: 设试开次数为设试开次数为X,P(X=k)= 1/n , k=1,2,nE

7、(X) nknk112)1 (1nnn21n于是于是三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 1. 问题的提出：问题的提出： 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计的分布，我们需要计算的不是算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期的某个函数的期望，比如说望，比如说g(X)的期望的期望. 那么应该如何计算那么应该如何计算呢？呢？如何计算随机变量函数的数学期望如何计算随机变量函数的数学期望? 一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来. 一旦我

8、们知道了一旦我们知道了g(X)的分布，的分布，就可以按照期望的定义把就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来. 使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的的分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只的分布而只根据根据X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？定理定理1设设X是一个随机变量，是一个随机变量，),(XgY 下面下面引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理. 且且)(YE存存在在, 于是于是(1) 若若X为离散型随机变量，为离散型随机变量，其

9、概率分布为其概率分布为, 2 , 1, ipxXPii则则Y的数学期望为的数学期望为;)()()(1iiipxgXgEYE (2) 若若X为连续型随机变量，为连续型随机变量， 其概率密度为其概率密度为),(xf则则Y的数学期望为的数学期望为 .)()()()(dxxfxgXgEYE注：注：定理的重要性在于：定理的重要性在于：求求)(XgE时，时，不必知不必知道道)(Xg的分布，的分布，只需知道只需知道X的分布即可的分布即可.这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便.完完定理定理2 设设),(YX是二维随机向量，是二维随机向量，),(YXgZ 且且)(ZE

10、存在，存在，(1) 若若),(YX为离散型随机向量，为离散型随机向量， 其概率分布其概率分布为为), 2 , 1,(, jipyYxXPijji则则Z的数学期望为的数学期望为;),(),()(11 jiijjipyxgYXgEZE(2)若若),(YX为连续型随机向量，为连续型随机向量， 其概率密度为其概率密度为),(yxf则则Z的数学期望为的数学期望为 .),(),(),()(dxdyyxfyxgYXgEZE注注：上述定理可推广到二维以上的情形上述定理可推广到二维以上的情形例例3 设设),(YX的联合概率分布为的联合概率分布为: :8/1008/1308/38/3013210XY求求).(),

11、(),(YXEYEXE 解解 要求要求)(XE和和),(YE需先求出需先求出X和和Y的边缘的边缘分布分布. . 关于关于X和和Y的边缘分布为的边缘分布为4/14/331PX8/18/38/38/13210PY4/14/331PX8/18/38/38/13210PY则有则有23413431)( XE23813832831810)( YE83)21(83)11(0)01()( YXE81)33( . 4/9 81)03(0)31( 0)23(0)13( 四、数学期望的性质四、数学期望的性质1.设设C是常数，是常数，则则;)(CCE 2. 若若X是随机变量，是随机变量，若若C是常数，是常数，则则);

12、()(XCECXE 3.E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);niiniiXEXE11)(:推广 4. 设设X、Y独立，则独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);niiniiXEXE11)(:推广注意注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y独立独立数学期望的性质数学期望的性质4.若若),(YX是二维随机向量，是二维随机向量，且且YX,相互独立相互独立,则则).()()(YEXEXYE ),(11 niiniiXEXEnXXX,(21相互独立相互独立).注注：推广到推广到n维随机向量的情形，维随机向量的情形， 有有2. 若若X是随机变量，是随机变量，若若C是常

13、数，是常数，则则);()(XCECXE 证证这里只对离散型情形进行证明，这里只对离散型情形进行证明，连续型情形留连续型情形留给读者给读者.设设X的概率分布为的概率分布为), 2 , 1( , ipxXPii则由定理则由定理1， 11).()()(iiiiiiXCEpxCpCxCXE有有完完4.设设YX,相互独立，相互独立，则则).()()(YEXEXYE 证证 这里只对连续型情形进行证明，这里只对连续型情形进行证明， 离散型情形留给离散型情形留给读者读者.设设),(YX的联合密度函数度为的联合密度函数度为),(yxf其边缘概率密度分别为其边缘概率密度分别为)(xfX和和),(xfY由定由定理理

14、2知知 ,),()(dxdyyxxyfXYE因为因为X和和Y相互独立，相互独立，),()(),(yfxfyxfYX 所以有所以有所以有所以有dxdyyfxxyfXYEYY)()()( dyyyfdxxxfYX)()().()(YEXE 注注：由由)()()(YEXEXYE 不一定能推出不一定能推出YX,独立独立.例如，例如，在例在例8中，中， 我们已计算得我们已计算得, 4/9)()()( YEXEXYE但但, 4/31, 00, 1 XPYXP, 8/10 YP显然显然,010, 1 YPXPYXP注注：由由)()()(YEXEXYE 不一定能推出不一定能推出YX,独立独立.例如，例如，在例

15、在例8中，中， 我们已计算得我们已计算得, 4/9)()()( YEXEXYE但但, 4/31, 00, 1 XPYXP, 8/10 YP显然显然,010, 1 YPXPYXP故故X与与Y不独立不独立.完完例例4设设)(),(2XEXE均存在均存在, , 证明证明.)()()(222XEXEXEXE 证证 因为因为,)()(2)(222XEXEXXXEX 于是于是)()(2)(222XEXEXXEXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE .)()(22XEXE 完完例例5一民航送客车载有一民航送客车载有 20 位旅客自机场开出位旅客自机场开出, ,旅客有旅客有 10 个车站可以下车个车

16、站可以下车. .如到达一个车站没如到达一个车站没有旅客下车就不停车有旅客下车就不停车, , 以以X表示停车的次数表示停车的次数, , 求求)(XE(设每位旅客在各个车站下车是等可能的设每位旅客在各个车站下车是等可能的, ,并设各旅客是否下车相互独立并设各旅客是否下车相互独立). .解解 引入随机变量引入随机变量 , 1, 0iX在第在第在第在第ii站没有人下车站没有人下车站没有人下车站没有人下车, ,.10, 2 , 1 i易知易知.1021XXXX 现在来求现在来求).(XE按题意按题意, , 任一旅客不在第任一旅客不在第i站站下车的概率为下车的概率为,10/9因此因此 20 位旅客都不在第

17、位旅客都不在第i站下车的概率为站下车的概率为,)10/9(20在第在第i站有人下车的站有人下车的概率为概率为,)10/9(120 即即,)10/9(020 iXP,)10/9(1120 iXP.10, 2 , 1 i由此由此,)10/9(1)(20 iXE.10, 2 , 1 i进而进而)()(1021XXXEXE )()()(1021XEXEXE 784. 8)10/9(11020 (次次). .12E1(|) 故210133 13只要能够写出条件概率分布，条件期望的计算与无条件期望相同。六六 条件期望条件期望例6 两封信随机往编号为、的四个邮筒内投，i表示i个邮筒内信的数目(i=1,2)。

18、求第二个邮筒内有一封信的条件下第一个邮筒内信的数目的平均值。1120121P133 解：(|)解：首先求出边缘概率表01310 10 20 320 20 1021E32 已知的联合分布表为例求及E()( , ).( |)|12P0 60 4.013P0 30 30 4.3 时 的条件分布为124 3故E( | =3)=14542 时 的条件分布为113E2013244( |) 故=11231Pk344(|) 013111Pk|2244() i,x i对于二元离散型随机变量()，在 x的条件下，求 的数学期望，称为给定 时 的条件期望。iEx( |) 记作ijjijExy Pyx( |)(|) ijj1jip