第四章静态场的解

1、2022-7-1分布型问题分布型问题：已知场源（电荷分布、电流分布）直：已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点的场强和位函数。接计算空间各点的场强和位函数。边值型问题边值型问题：已知空间某给定区域内的场源分布和：已知空间某给定区域内的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。内位函数的分布。l 本章任务：本章任务： 将边值问题归结为在给定边界条件求解拉普拉将边值问题归结为在给定边界条件求解拉普拉斯方程或泊松方程。斯方程或泊松方程。本章讨论一些常用的解法。本章讨论一些常用的解法。l 本章学习方法建议：本章学习方法建议

2、：与第二章、第三章中场方程与第二章、第三章中场方程及边界条件的知识点联系起来学习。及边界条件的知识点联系起来学习。第四章第四章 静态场的解静态场的解1拉普拉斯方程和泊松方程拉普拉斯方程和泊松方程20 20 2022-7-1基本实验定律（库仑定律）基本实验定律（库仑定律）基本方程基本方程电位（电位（ ）数值法数值法解析法解析法直接积分法直接积分法分离变量法分离变量法镜像法，电轴法镜像法，电轴法唯一性定理唯一性定理 静电场知识结构图静电场知识结构图边界条件边界条件有限差分法有限差分法边值问题边值问题微分方程微分方程分界面衔接条件分界面衔接条件基本物理量（电场强度）基本物理量（电场强度）EE 的旋度

3、的旋度E 的散度的散度静电参数静电参数(电容及部分电容电容及部分电容)静电能量与力静电能量与力磁感应强度（磁感应强度（B B）（毕奥）（毕奥沙伐定律）沙伐定律）H H 的旋度的旋度B B 的散度的散度基本方程基本方程磁位磁位( )( )（J=0J=0）m分界面上衔接条件分界面上衔接条件磁矢位（磁矢位（A A）边值问题边值问题数值法数值法解析法解析法分离变量法分离变量法镜像法镜像法有限元法有限元法有限差分法有限差分法电感的计算电感的计算磁场能量及力磁场能量及力磁路及其计算磁路及其计算恒定磁场知识结构框图恒定磁场知识结构框图基本实验定律基本实验定律 ( (安培力定律）安培力定律）第四章第四章静态场

4、的解静态场的解2022-7-132022-7-142022-7-14u 场的方程和边界条件（回顾）场的方程和边界条件（回顾）u 边值问题的分类边值问题的分类u 唯一性定理唯一性定理 u 镜像法镜像法u 分离变量法分离变量法u 复变函数法复变函数法u 格林函数法格林函数法u 有限差分法有限差分法第四章第四章 静态场的解静态场的解2022-7-14 静态场的特点是它们的静态场的特点是它们的位函数位函数（矢量位（矢量位或标量位）或标量位）在有源区域内满足泊松方程，在在有源区域内满足泊松方程，在无源区域内满足拉普拉斯方程无源区域内满足拉普拉斯方程，所以对它们，所以对它们的求解就是在一定的边界条件下，解

5、泊松方的求解就是在一定的边界条件下，解泊松方程或拉氏方程问题。为此，我们先总结一下程或拉氏方程问题。为此，我们先总结一下场的方程和边界条件，以便在今后讨论场的场的方程和边界条件，以便在今后讨论场的解法时，提供一个完备的、适当的数学模型。解法时，提供一个完备的、适当的数学模型。场的方程与边界条件场的方程与边界条件2022-7-16场的方程与边界条件场的方程与边界条件位位 函函 数数比较内容比较内容引入位函数的依据引入位函数的依据位与场的关系位与场的关系微分方程微分方程位与源的关系位与源的关系电位电位)(m磁位磁位)(磁矢位（磁矢位（A）0 E0 H0 BE0pdlE202mH0pmdlH0m2A

6、BSlddSBlAJA202 A( (有源或无源）有源或无源）( (无源）无源）( (有源或无源）有源或无源）VR4dVV0R4dVJA4Im磁位磁位 、磁矢位、磁矢位 与电位与电位 的比较的比较mA2022-7-17场的方程与边界条件场的方程与边界条件 边界条件：边界条件：在静电场和恒定磁场中，两种不同媒质的在静电场和恒定磁场中，两种不同媒质的分界面上的边界条件是：分界面上的边界条件是：2022-7-18场的方程与边界条件场的方程与边界条件标量电位、标量磁位的边界条件是：标量电位、标量磁位的边界条件是：4.1 边值问题的分类边值问题的分类边界条件：边界条件：在计算有限区域的电位时，必须使用所

7、在计算有限区域的电位时，必须使用所讨论区域边界上电位的指定值（边值）来确定讨论区域边界上电位的指定值（边值）来确定积分常数积分常数；以及当场域中有不同介质时，还要用到电位在边界上的以及当场域中有不同介质时，还要用到电位在边界上的边界条件边界条件。这些用来决定常数的条件，统称为边界条件。这些用来决定常数的条件，统称为边界条件。边值问题：边值问题：通过微分方程及相关边界条件描述的问通过微分方程及相关边界条件描述的问题，称为边值问题。题，称为边值问题。l边值问题的唯一性定理边值问题的唯一性定理l镜像法镜像法（间接法）（间接法）l分离变量法分离变量法（直接法）（直接法）l有限差分法有限差分法（数值法）

8、（数值法）给出定解的充给出定解的充分必要条件分必要条件给出求解边值问给出求解边值问题的常用方法题的常用方法 第二类边值问题：第二类边值问题：（诺伊曼（诺伊曼（Neumann）问题）问题）给定整个边界上每一点的位函数的法向方向导数，给定整个边界上每一点的位函数的法向方向导数，即即第一类边值问题：第一类边值问题：（狄利赫利（狄利赫利（Dirichlet）问题）问题）给定整个边界上每一点的位函数值，即给定整个边界上每一点的位函数值，即已知已知已知已知)(rfS其中其中 S S 为边界。为边界。(1)(1)其中其中 S S 为边界。为边界。(2)(2)(rgnSSSn三类边值问题三类边值问题 第三类边

9、值问题：第三类边值问题：（混合边值问题）（混合边值问题）给定一部给定一部分边界上的电位，分边界上的电位， 同时给定另一部分边界上同时给定另一部分边界上电位的法向方向导数。电位的法向方向导数。)(000rgnESSnS给定导体表面上的总电量给定导体表面上的总电量也是第二类边值问题。也是第二类边值问题。 因为导体表面上的电荷密度为：因为导体表面上的电荷密度为：所以得导体表面上的总电量为：所以得导体表面上的总电量为：SSSSSdSrgdSndSQ)(00三类边值问题三类边值问题1S2Sn已知已知)()(21rgnrfSS（3 3）三类边值问题三类边值问题131、格林第一恒等式、格林第一恒等式dSnd

10、VSV )(2证明：证明： VSSdFdVF F 2)(F2()()VVdVdV ()SdS 即证即证由于由于令令SdSn 散度定理散度定理4.2 唯一性定理唯一性定理VS,n142、格林第二恒等式、格林第二恒等式证明：证明：dSnndVSV )(22已知：格林第一恒等式已知：格林第一恒等式dSndVSV )(2将格林第一恒等式中的将格林第一恒等式中的和和交换，可得交换，可得dSndVSV )(2再将格林第一恒等式与此式相减，可得再将格林第一恒等式与此式相减，可得dSnndVSV )(22即证即证格林公式格林公式 对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及唯一性问题。对于任何数学物理方程需要

11、研究解的存在、稳定及唯一性问题。解的解的存在存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。是指在给定的定解条件下，方程是否有解。解的解的稳定性稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。发生很大的变化。解的解的唯一性唯一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否唯一。是指在给定的定解条件下所求得的解是否唯一。电磁场是客观存在的，因此位函数微分方程解的存在确信无疑。电磁场是客观存在的，因此位函数微分方程解的存在确信无疑。唯一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论唯一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论根据。镜像法

12、就是唯一性定理的直接应用根据。镜像法就是唯一性定理的直接应用。u唯一性定理：唯一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。的解是唯一的。唯一性定理唯一性定理16泊松方程和拉普拉斯方程在场域内的解唯一泊松方程和拉普拉斯方程在场域内的解唯一对任意的静电场，当空间各点的电荷分布与整个边界上对任意的静电场，当空间各点的电荷分布与整个边界上的边界条件已知时，空间各部分的场就唯一确定了。的边界条件已知时，空间各部分的场就唯一确定了。唯一性定理的意义：唯一性定理的意义： 指出了静态场边界问题具有唯一解的条件指出了静态场边界问题具有唯一解的条件 为静

13、态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据果正确性提供了判据 唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依据的理论依据唯一性定理唯一性定理17用用反证法证明反证法证明在第一类边界条件下，拉普拉斯方在第一类边界条件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。程的解是唯一的。 r 12 r 22)(1rfS )(2rfS 令令 ，则在，则在V内内在边界面在边界面S上上02 0 S 在在V的边界的边界S上，上， 和和 满足同样的第一类边界条件满足同样的第一类边界条件1212设在区域设在区域V内，内，

14、 和和 满足泊松方程，即满足泊松方程，即12唯一性定理唯一性定理18已知格林第一恒等式已知格林第一恒等式由于由于所以有所以有dSndVSV )(2dSndVSV )(2dSndVSV 202 dVV 0 02 21 在格林第一恒等式中，令在格林第一恒等式中，令= 在在S上上 =0，因而有，因而有由于对于任意函数由于对于任意函数 ，所以有所以有再使用边界面上再使用边界面上 =0，可知在整个区域内可知在整个区域内 0即证即证唯一性定理唯一性定理2022-7-1192022-7-119u 相关概念相关概念 u 平面镜像法平面镜像法u 球面镜像法球面镜像法u 圆柱面镜像法圆柱面镜像法u 平面介质镜像平

15、面介质镜像4.3 镜像法镜像法2022-7-11920 从物质的电结构来看，金属导体具有从物质的电结构来看，金属导体具有带负电的带负电的自由电子自由电子和和带正电的晶体点阵带正电的晶体点阵。当导体不带电也不。当导体不带电也不受外电场的作用时，两种电荷在导体内均匀分布，受外电场的作用时，两种电荷在导体内均匀分布，都没有宏观移动，只有微观的热运动存在，此时导都没有宏观移动，只有微观的热运动存在，此时导体呈体呈电中性电中性。 镜像法是解静电场边值问题的一种间接方法，它镜像法是解静电场边值问题的一种间接方法，它巧妙地巧妙地应用应用唯一性定理唯一性定理，使某些看来难解的边值问，使某些看来难解的边值问题简

16、单化。题简单化。4.3 镜像法镜像法21静电感应：静电感应：导体因受外电场作用而发生电荷重新导体因受外电场作用而发生电荷重新分布的现象，称为静电感应。分布的现象，称为静电感应。感应电荷：感应电荷：导体上因静电感应而出现的电荷，称导体上因静电感应而出现的电荷，称为感应电荷，感应电荷一般来说是不均匀的。为感应电荷，感应电荷一般来说是不均匀的。镜像法定义：镜像法定义：暂时忽略边界的存在，在所求区域暂时忽略边界的存在，在所求区域之外之外放置虚拟电荷放置虚拟电荷来来代替代替实际导体表面上复杂的实际导体表面上复杂的感应电荷分布来进行计算的方法。虚拟电荷被称感应电荷分布来进行计算的方法。虚拟电荷被称为镜像电

17、荷为镜像电荷镜像法目的：镜像法目的：把原问题中包含典型边界的计算问把原问题中包含典型边界的计算问题化为无限大均匀媒质空间中的问题求解，达到题化为无限大均匀媒质空间中的问题求解，达到简化求解目的。简化求解目的。相关概念相关概念22镜像法理论依据：镜像法理论依据：唯一性定理唯一性定理 因此引入镜像电荷后，应有：因此引入镜像电荷后，应有：n电位函数电位函数仍然满足原拉普拉斯方程或泊松方程仍然满足原拉普拉斯方程或泊松方程n电位分布电位分布仍满足原边界条件仍满足原边界条件镜像电荷位置选择原则：镜像电荷位置选择原则：n镜像电荷必须位于镜像电荷必须位于求解区域以外求解区域以外n镜像电荷的引入镜像电荷的引入不

18、能改变原问题的边界条件不能改变原问题的边界条件即要在所研究的区域之外假想一些电荷（这些电荷即要在所研究的区域之外假想一些电荷（这些电荷和场区域中原有的电荷一起产生的电场满足原问和场区域中原有的电荷一起产生的电场满足原问题的边界条件）来替代场问题的边界条件，这样题的边界条件）来替代场问题的边界条件，这样可将边值问题转化为电荷分布场问题，即将假想可将边值问题转化为电荷分布场问题，即将假想电荷和原电荷电场叠加起来即可得到场解。电荷和原电荷电场叠加起来即可得到场解。相关概念相关概念23镜像法的适用范围：镜像法的适用范围：n无限大导体平面附近的点电荷或线电荷产生的场无限大导体平面附近的点电荷或线电荷产生

19、的场n位于导体球附近的点电荷产生的场位于导体球附近的点电荷产生的场n位于无限长圆柱导体附近的平行线电荷产生的场位于无限长圆柱导体附近的平行线电荷产生的场镜像法主要步骤：镜像法主要步骤：n根据求解问题特点确定坐标系根据求解问题特点确定坐标系n根据唯一性定理，利用边界条件和拉普拉斯方程确根据唯一性定理，利用边界条件和拉普拉斯方程确定镜像电荷的位置和大小。定镜像电荷的位置和大小。n根据求得的镜像电荷的位置和大小，求其与原电荷根据求得的镜像电荷的位置和大小，求其与原电荷共同产生的电场和电位等等。共同产生的电场和电位等等。相关概念相关概念qq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷1、求位于接地无限

20、大导体板附近的点电荷产生的电位、求位于接地无限大导体板附近的点电荷产生的电位 2、求接地导体球附近的点电荷产生的电位、求接地导体球附近的点电荷产生的电位 qq等效电荷等效电荷非均匀感应电荷非均匀感应电荷非均匀感应电荷产生非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可的电位很难求解，可以用等效电荷替代以用等效电荷替代非均匀感应电荷产生非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可的电位很难求解，可以用等效电荷替代以用等效电荷替代两个例子两个例子25 1、点电荷对无限大接地导体平、点电荷对无限大接地导体平面边界的镜像面边界的镜像原问题：原问题：无限大地接导体平面（无限大地接导体平面（z=0），点），点电荷电荷q位置：

21、位置：z=h求空间中电位分布。求空间中电位分布。等效问题：等效问题：要求：与原问题边界条件相同要求：与原问题边界条件相同原电荷：原电荷：q：z=h镜像电荷：镜像电荷：q：z=h（求解域外求解域外）取消导体边界面，取消导体边界面，z0空间媒质充满空间媒质充满整个空间整个空间平面镜像法平面镜像法当z0 时，2=0；当z=0时，=0；当z、|x|、|y|时，0。 分析：分析：把上半空间的电位看作是点电荷和导体面上的感应电荷把上半空间的电位看作是点电荷和导体面上的感应电荷产生的电位之和。但我们产生的电位之和。但我们不知道感应面电荷的分布不知道感应面电荷的分布，因其分布，因其分布与空间电场有关，但知道，

22、在上半空间仅有点电荷，电位满足与空间电场有关，但知道，在上半空间仅有点电荷，电位满足泊松方程，导体表面所有电荷产生的总电位为零，且在无穷远泊松方程，导体表面所有电荷产生的总电位为零，且在无穷远处，总电位趋于零。处，总电位趋于零。解决：解决：用镜像点电荷用镜像点电荷-q代替感应电荷代替感应电荷-q！在导体表面上！在导体表面上,点电点电荷荷q和镜像点电荷和镜像点电荷-q产生的电位为零！满足给定的边界条件！产生的电位为零！满足给定的边界条件！任一点任一点P的电位由点电荷的电位由点电荷q和镜像点电荷和镜像点电荷-q共同产生！共同产生！平面镜像法平面镜像法27由等效问题，可以求出在由等效问题，可以求出在

23、z0空间内的电位分布为：空间内的电位分布为： 011( , , )4qx y zRR 222222011(0)4()()qzxyzhxyzh讨论：无限大接导体分界面上感应电荷讨论：无限大接导体分界面上感应电荷 0000snnzn DDEnz 222 3/22 ()qhxyh 感应电荷感应电荷222 3/22 ()imSSqhqdSdxdyqxyh 说明：说明：无限大导体面上的感应电荷分布很复杂，但电无限大导体面上的感应电荷分布很复杂，但电量与点电荷的镜像电荷电量相等。量与点电荷的镜像电荷电量相等。E 3/23/222222204()()xqxxExyz hxyz h3/23/222222204

24、()()yqyyExyz hxyz h3/23/222222204()()zqz hz hExyz hxyz h1/21/22222220114()()qxyzhxyzh上半空间的电场强度：上半空间的电场强度：电位：电位：平面镜像法平面镜像法29例：例：点电荷点电荷q与无限大导体平面距离为与无限大导体平面距离为d，如果把它移，如果把它移至无穷远处，（外力）需要做多少功？至无穷远处，（外力）需要做多少功？解：解：移动电荷移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场力来源于导体板上的感应电荷，可以先求电荷受的电场力来源于导体板上的感应电荷，可以先求电荷q

25、移至无穷远时电场力所做的功。移至无穷远时电场力所做的功。 由镜像法，感应电荷的电场由镜像法，感应电荷的电场可用镜像电荷可用镜像电荷q=q替代。当替代。当电荷电荷q移至移至x时，镜像电荷时，镜像电荷q应应位于位于x，则有，则有20( )4(2 )xqE xex 222001( )416(2 )eddqqAqE xdxdxdx 2016oeqAAd 所以，外力作的总功为：所以，外力作的总功为：208qd 30=45时，镜像电荷为时，镜像电荷为7个个2、点电荷对相交接地导体边界的镜像、点电荷对相交接地导体边界的镜像 如图，两个半无限大接地导体如图，两个半无限大接地导体平面垂直相交。平面垂直相交。 要

26、满足在导体平面上电位为要满足在导体平面上电位为零，则必须引入零，则必须引入3个镜像电荷。个镜像电荷。结论：结论：对于两相交导体平对于两相交导体平面构成的边界，若夹角为面构成的边界，若夹角为=/n，则所有镜像电荷数，则所有镜像电荷数目为目为2n-1个，个，计算方法与计算方法与平面镜成像中虚像个数的平面镜成像中虚像个数的计算相似计算相似平面镜像法平面镜像法31例：例：图为自由空间垂直放置的两个半无限大导电接地平图为自由空间垂直放置的两个半无限大导电接地平面组成的直角劈，今有一电量为面组成的直角劈，今有一电量为100nC的点电荷置于的点电荷置于(3，4，0)点，其中各坐标单位为点，其中各坐标单位为m

27、 。求：。求：(3，5，0)点处的点处的电位和电场强度。电位和电场强度。解：解：两平面夹角为两平面夹角为90，则，则n=/90=2，为满足边界上，为满足边界上电位为零的条件，可知需要电位为零的条件，可知需要2n-1=3个虚拟电荷如图所示。个虚拟电荷如图所示。则则P(x,y,z)点电位为点电位为0123411114qrrrr 其中：其中：2221)4()3(zyxr 2222)4()3(zyxr 32续续2223)4()3(zyxr 2224)4()3(zyxr 所以（所以（3，5，0）点处的）点处的电位为：电位为： V2 .735 根据：根据： xyzEeeexyz 该点处的电场强度为：该点处

28、的电场强度为： 19.8891.36/xyEee V m 33回顾无限长线电荷电位计算回顾无限长线电荷电位计算0( )( )(lnln)2lQPPQ 02lEe 电位参考点电位参考点Q 不能位于无穷远点，否则表达式无意义不能位于无穷远点，否则表达式无意义根据表达式最简单原则，选取根据表达式最简单原则，选取=1 柱面柱面为电位参考面，为电位参考面，即即Q=1 ，得：，得：0( )ln2lPP 无限长线电流在空间产生的电位无限长线电流在空间产生的电位3、线电荷对无限大接地导体平面边界的镜像、线电荷对无限大接地导体平面边界的镜像平面镜像法平面镜像法请课后思考！请课后思考！u将无限长的线电荷看作无数个

29、点电荷的集合。根将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为的线电荷，其电荷密度为l平面镜像法平面镜像法35线电荷对接地导体面的镜像，可得到等效问题为线电荷对接地导体面的镜像，可得到等效问题为镜像电荷：镜像电荷：llzh 在在z0空间内的电位分布为：空间内的电位分布为： 11lnln2lRR 2222()lnln(0)22()llxzhRzRxzh 361、点电荷、点电荷q对接地球面导体边界的镜像对接地球面导

30、体边界的镜像确定球面镜像电荷的位置和大小确定球面镜像电荷的位置和大小令镜像电荷位于球心与电荷令镜像电荷位于球心与电荷q连线连线上，电量为上，电量为q，与球心距离为，与球心距离为d，则在空间任意点，则在空间任意点P处电位为处电位为14qqRr 其中：其中：222cosRrdrd 222cosrrdrd 由边界条件可知：由边界条件可知：0r a 22221042cos2cosr aqqadadadad 球面镜像法球面镜像法3722222222()()2 ()cos0adqadqa dqd q 续：续：222222()()0adqadq222 ()0a dqd qaqqd 2add qq dd 或或

31、舍去舍去结论：点电荷结论：点电荷q对接地导体球面的镜像电荷为对接地导体球面的镜像电荷为aqqd 2add 电量：电量：位置：位置：说明：说明：此结论可作为结果直接用于计算题中，此时求解此结论可作为结果直接用于计算题中，此时求解对象由接地导体求面附近的点电荷系统简化两点荷系统对象由接地导体求面附近的点电荷系统简化两点荷系统382、点电荷、点电荷q对不接地且不带电的球面导体边界的镜像对不接地且不带电的球面导体边界的镜像确定球面镜像电荷的位置和大小确定球面镜像电荷的位置和大小当球壳不接地时，导体球面电位当球壳不接地时，导体球面电位不为不为0，球面上感应电荷总量为，球面上感应电荷总量为0处理方法：处理

32、方法：电位叠加原理电位叠加原理处理过程：处理过程：先假设导体球面接地，则球面上存在电量为先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q的感的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。断开接地，将电量为断开接地，将电量为q的电荷加到导体球面上，这的电荷加到导体球面上，这些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体均匀分布在导体球面上的电荷均匀分布在导体球面上的电荷q可以用位于球心的可以用位于球心的等效的等量点电荷等效的等量点电荷q”等效等效39分析可知：分析可知：点电荷点电荷q对不接地且不带电导体球面的镜像对不接地且不

33、带电导体球面的镜像电荷有两个：电荷有两个：镜像电荷镜像电荷1：镜像电荷镜像电荷2：aqqd 2add 电量：电量：位置：位置：aqqqd 电量：电量：位置：位于球心位置：位于球心球外空间某点电位为：球外空间某点电位为：14qqqRrr 40镜像电荷镜像电荷1：镜像电荷镜像电荷2：aqqd 2add 电量：电量：位置：位置：aqQqQqd电量：电量：位置：位于球心位置：位于球心球外空间某点电位为：球外空间某点电位为：14qqqRrr 3、点电荷、点电荷q对不接地且带电为对不接地且带电为Q的球面导体边界的镜像的球面导体边界的镜像分析可知：分析可知：点电荷点电荷q对不接地且带电为对不接地且带电为Q导

34、体球面的镜导体球面的镜像电荷有两个像电荷有两个41例：例：真空中一点电荷真空中一点电荷q位于不带电导体球附近。导体球半位于不带电导体球附近。导体球半径为径为a，点电荷距离球心距离为，点电荷距离球心距离为d（da)。求：。求：1）导体球接地时球外电位分布及电荷）导体球接地时球外电位分布及电荷q所受的电场力所受的电场力2）导体球未接地时球外电位分布及电荷）导体球未接地时球外电位分布及电荷q所受的电场力所受的电场力解：解：1）当导体球接地时，由镜像法，原问题可等效为）当导体球接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只存在空间只存在q和镜像电荷和镜像电荷q，不存在边界的问题，不存在边界的问题易知：易知：a

35、qqd 2add 则球外空间任意点则球外空间任意点P处电位为：处电位为：014qqRr 222242011()42cos2 ()cosqrdrddradr ad 42电荷电荷q受静电力为：受静电力为：aqqd 2add aqqqd 位置位于球心位置位于球心2222 2004()4()rrqqadqFeeddda 2）当导体球不接地时，由镜像法，）当导体球不接地时，由镜像法，原问题可等效为空原问题可等效为空间只存在间只存在q和镜象电荷和镜象电荷q 和和 q” ”，不存在边界的问题，不存在边界的问题易知：易知：43 22242201()42cos2cosqaadrrdrdd radr a d 22

36、0044rqqqqFeddd 14qqqRrr 则球外空间任意点则球外空间任意点P处电位为处电位为电荷电荷q受静电力为：受静电力为：222230014()4rdaqedad 例例4-3空气中有两个半径相同空气中有两个半径相同(均等于均等于a)的导体的导体球相切，试用球面镜像法求该孤立导体系统的电容。球相切，试用球面镜像法求该孤立导体系统的电容。图图4-4例例4-3用图用图球面镜像法球面镜像法解：解：设其位于设其位于A1处，处，则则qqaaqaaaAAaAA212221221右侧的右侧的q在左面的导体球面也有一个镜像电荷，大小也是在左面的导体球面也有一个镜像电荷，大小也是q1，位，位于于A1处。

37、由问题本身的对称性可知，左面的电荷总是与右侧分处。由问题本身的对称性可知，左面的电荷总是与右侧分布对称。以下仅分析右面的。左面的布对称。以下仅分析右面的。左面的q1在右导体球上也要成像，在右导体球上也要成像，这个镜像电荷记为这个镜像电荷记为q2,位于位于A2处。处。qqAAaqaaaaAAaAA31,322/1122122球面镜像法球面镜像法依此类推，有依此类推，有qqqq51,4143因而，导体系统的总电荷为因而，导体系统的总电荷为21241312112)(221nqqqqqQ导体面的电位为导体面的电位为004qUa所以，这个孤立导体系统的电容为所以，这个孤立导体系统的电容为2180naC球

38、面镜像法球面镜像法图图4-5例例4-3用图用图(a)导体平面与线电荷；导体平面与线电荷；(b)等位线等位线例例4-4线密度为线密度为l的无限长线电荷平行置于接地的无限长线电荷平行置于接地无限大导体平面前，二者相距无限大导体平面前，二者相距d,如图如图4-5(a)所示，求所示，求电位及等位面方程。电位及等位面方程。圆柱面镜像法圆柱面镜像法解：解：rrnl0012同理得镜像电荷同理得镜像电荷-l的电位：的电位：rrnl0012任一点任一点(x,y)的总电位：的总电位：rrnl12022220)()(14),(ydxydxnyxl用直角坐标表示为用直角坐标表示为圆柱面镜像法圆柱面镜像法等位线方程为等

39、位线方程为22222)()(mydxydx2222221211mmdydmmx这个方程表示一簇圆，圆心在这个方程表示一簇圆，圆心在(x0,y0)，半径是，半径是R0。其中：。其中：0,11,12022020ydmmxmmdR每一个给定的每一个给定的m(m0)值，对应一个等位圆，此圆的电位为值，对应一个等位圆，此圆的电位为nml120圆柱面镜像法圆柱面镜像法例例4-5两平行圆柱形导体的半径都为两平行圆柱形导体的半径都为a，导体轴，导体轴线之间的距离是线之间的距离是2b，如图，如图4-6，求导体单位长的电容。，求导体单位长的电容。 图 4-6 平行双导体 圆柱面镜像法圆柱面镜像法解：设两个导体圆柱

40、单位长带电分别为解：设两个导体圆柱单位长带电分别为l和和-l，利用柱面，利用柱面镜像法，将导体柱面上的电荷用线电荷镜像法，将导体柱面上的电荷用线电荷l和和-l代替，线电荷相代替，线电荷相距原点均为距原点均为d，两个导体面的电位分别为，两个导体面的电位分别为1和和2。bdmmammd1112222解之得解之得aabbm222, 1圆柱面镜像法圆柱面镜像法aabbnabbabbnnmnmUlll2202222021021112)11 (2aabbnUCl2201当当ba时，时，abnC210圆柱面镜像法圆柱面镜像法例例4-6设两种介电常数分别为设两种介电常数分别为1、2的介质充填于的介质充填于x0

41、的半空间，在介质的半空间，在介质2中点中点(d,0,0)处有一点电荷处有一点电荷q,如图如图4-7(a)所示，所示，求空间各点的电位。求空间各点的电位。图图4-7例例4-6用图用图(a)介质镜像问题；介质镜像问题；(b)区域区域2等效；等效；(c)区域区域1等效等效平面介质镜像法平面介质镜像法解：解： 右半空间任一点的电位为右半空间任一点的电位为122241rqrq左半空间任一点的电位为左半空间任一点的电位为2114 rq其中其中q和和q待定。待定。xx221121,平面介质镜像法平面介质镜像法12, qqqqqqqqqq12112122 平面介质镜像法平面介质镜像法2022-7-156202

42、2-7-156u 相关概念相关概念 u 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法u 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法u 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法4.4 分离变量法分离变量法2022-7-15657l分离变量法：分离变量法：l把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法。法。l适用范围：适用范围：要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合在此坐标系中，待求偏微分方

43、程的解可表示成三个函数的在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。l种类：种类：直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法相关概念相关概念58 三个重要的数学定理三个重要的数学定理 定理定理1：如果函数如果函数y1(x)和和y2(x)是方程是方程y”+py+qy=0的两个特解，则的两个特解，则y=c1y1(x)+c2y2(x)也是方程的特解。也是方程的特解。 定理定理2：如果函数如果函数y1(x)和和y2(x)满足条件：满

44、足条件：y1(x)/y2(x) 常数，常数，则函数则函数y1(x)和和y2(x)线性无关。线性无关。 定理定理3：如果函数如果函数y1(x)和和y2(x)是方程是方程y”+py+qy=0的两个线性无关的特解，则的两个线性无关的特解，则y=c1y1(x)+c2y2(x)是方程是方程的通解。的通解。相关概念相关概念u拉普拉斯算子（梯度的散度）直角坐标系22222222xyz22222211()rr rrrz22222222111()(sin)sinsinRRRRRR圆柱坐标系球坐标系相关概念相关概念60应有条件：应有条件：界面形状适合用直角坐标系表示。界面形状适合用直角坐标系表示。分析方法：分析方

45、法：先用分离变量法求通解，再重点利用边界先用分离变量法求通解，再重点利用边界条件求定解。条件求定解。直角坐标系中的拉普拉斯方程：直角坐标系中的拉普拉斯方程：2222220 xyz 变量分离：变量分离：设设 ，将其代入上式，得，将其代入上式，得( , , )( ) ( ) ( )x y zX x Y y Z z 2222220d Xd Yd ZYZXZXYdxdydz除以除以XYZ，得，得 0XYZXYZ直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法61上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：分解为下列三个方程：222XX

46、YYZZ 其中：其中：, , ,为常数，但不能全为常数，但不能全为实数或全为虚数为实数或全为虚数22200XYZXYZ直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法62常微分方程的解：常微分方程的解： 以以X”/X=2式为例，式为例， 说明说明X的形式与的形式与的关系的关系当当2=0时，则时，则00( )X xa xb12( )sincosxxX xak xak x12( )xxjk xjk xX xb eb e 12( )sxxX xchk xc chk x12( )xxk xk xX xd ed e 当当20时，令时，令=kx，则，则a，b，c，d为积分常数，由边界条件决定为积分常数，由

47、边界条件决定Y(y)Z(z)的解和的解和X(x)类似类似或或或或直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法63积分常数的确定：积分常数的确定：l若在某一个方向（如若在某一个方向（如x方向）的边界条件是周期方向）的边界条件是周期的，则分离常数是虚数，其解的，则分离常数是虚数，其解选三角函数选三角函数；l若在某一个方向的边界条件是非周期的，其解选若在某一个方向的边界条件是非周期的，其解选双曲函数或者指数函数。双曲函数或者指数函数。其中：有限区域选双曲其中：有限区域选双曲函数，无限区域选指数衰减函数；函数，无限区域选指数衰减函数；l若位函数与某一坐标无关，则沿该方向的分离常若位函数与某一坐标无

48、关，则沿该方向的分离常数为零，其解为数为零，其解为常数常数。直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法64分离变量法的求解步骤：分离变量法的求解步骤：l建立正确的坐标系，确定变量的个数；建立正确的坐标系，确定变量的个数；l利用自然边界条件求方程的通解；利用自然边界条件求方程的通解；l利用电磁边界条件求方程的定解，即求出待定系利用电磁边界条件求方程的定解，即求出待定系数数直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法65 例例4-7 横截面为如图所示的导体长槽，上方有一块横截面为如图所示的导体长槽，上方有一块与槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为与槽相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为ab，槽体的

49、电，槽体的电位为零，盖板的电位为位为零，盖板的电位为U0， 求此区域内的电位。求此区域内的电位。 xyba0U 0 0 0 解：解：导体槽内为无源区，故电位导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程和边界条件：满足拉普拉斯方程和边界条件：2000,(0, )0(1),( , )0(2)0,( ,0)0(3),( , )(4)xyxaa yyxybx bU 例题例题66 用分离变量法求解过程：用分离变量法求解过程：2222220 xyz 20 =0( , )( ) ( )x yX x Y y 代入代入22220 xy 22220d Xd YYXdxdy0XYXY设设例题例题67XYXY 22XkX

50、YkY 通过引入分离常数通过引入分离常数k，将，将二维拉普拉斯方程分解为二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微分方程。分两个齐次常微分方程。分别解这两常微分方程可得别解这两常微分方程可得原问题的通解原问题的通解解常微分方程（解常微分方程（k值取值不同解形式不同）值取值不同解形式不同）当当k=0时：时：00000000( ),( )X xA xBA B CDY yC yD待待定定例题例题68当当k0时：时：( )sin()cos(),( )()()X xAkxBkxA B C DY yCsh kyDch ky待待定定 sin()cos()()()AkxBkxCsh kyDch ky 由于三角函数具有

51、周期性，因此解中的分离变量由于三角函数具有周期性，因此解中的分离变量k可以可以取取一系列特定的值一系列特定的值kn(n=1,2,3)，即，即sin()cos()()()1,2,3nnnnnnnnAk xBk xC sh k yD ch k yn 将所有将所有特解特解的的线性组合线性组合起来，得到电位函数的通解起来，得到电位函数的通解 00001sin()cos()()()nnnnnnnnnA xBC yDAk xBk xC sh k yD ch k y 解中所有未知系数和分离变量解中所有未知系数和分离变量kn由边界条件确定由边界条件确定6900,(0, )0(1),( , )0(2)0,( ,

52、0)0(3),( , )(4)xyxaa yyxybx bU xyba0U 0 0 0 已知边界条件：已知边界条件： 00001sin()cos()()()nnnnnnnnnA xBC yDAk xBk xC sh k yD ch k y 由条件由条件(1)得：得：由条件由条件(2)得：得：由条件由条件(3)得：得：由条件由条件(4)得：得：00,0nBB 00,(1,2,)nAknan 0nD 1sin()() ()nnnnnnnAx shyAACaa 01sin()()nnnnUAx shbaa 综合条件（综合条件（1）（2）（）（3）7001sin()()nnnnUAx shbaa 将此

53、式按傅立叶级数展开，即等式两边同乘以将此式按傅立叶级数展开，即等式两边同乘以sin()mxa 再对再对x从从0到到a积分，得积分，得0001sin()s ()sin()sin()aannmnnmUx dxAhbxx dxaaaa 等式左边等式左边0(1cos)aUmm 利用三角函数的正交归一性质利用三角函数的正交归一性质00sin()sin()2amnnmxx dxaaamn 71等式右边等式右边2mam bAsha 可得可得 041,3,5mm bAUm shma 即即 041,3,5nn bAUn shna 所以，接地导体槽内部电位分布为所以，接地导体槽内部电位分布为01,3,41sin(

54、)()()nUn xn yshn baansha 例题例题总结：直角坐标系中的分离变量方法总结：直角坐标系中的分离变量方法 （例（例1 1）1 1、用一部分边界条件确定一般解的表达式，、用一部分边界条件确定一般解的表达式， 分离常数的表达式。例如分离常数的表达式。例如11(,)sinsinhnnnnnxnyxyCaa1sin),(naynnnneaxnCyx（例（例2 2）2 2、再用剩余的一部分边界条件确定待定量、再用剩余的一部分边界条件确定待定量 的表达式，将该待定量代入上面的一般解的表达式，将该待定量代入上面的一般解 表达式。例如表达式。例如nC)2cos1 (2sin202/00nnU

55、dxaxnaUCanabnshnUabnshBCnn/4)(/0（例（例2 2）（例（例1 1）01122222zrrrrr当电位与坐标变量当电位与坐标变量z无关时，上式第三项为零，此无关时，上式第三项为零，此时电位时电位(r,)满足二维拉普拉斯方程：满足二维拉普拉斯方程：022rrrr运用分离变量法解之，令运用分离变量法解之，令)()(rR圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法0122ddrdRrdrdRr两个常微分方程：两个常微分方程：002222222nddRndrdRrdrRdr当当n0时，上面两方程的解为时，上面两方程的解为ndncbrarRnnsincos圆柱坐标系中的分

56、离变量法圆柱坐标系中的分离变量法)sincos()sincos(),(11nDnCrnBnArrnnnnnnnn0000001)()(DnrCrRBA当当n=0时，时，圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法例 4-9将半径为将半径为a的无限长导体圆柱置于真空中的均匀电场的无限长导体圆柱置于真空中的均匀电场E0中，柱轴与中，柱轴与E0垂直，求任意点的电位。垂直，求任意点的电位。 解：令圆柱的轴线与令圆柱的轴线与z轴重合，轴重合，E0的方向与的方向与x方向一致，方向一致，如图如图4-10所示。由于导体柱是一个等位体，不妨令其为零，即所示。由于导体柱是一个等位体，不妨令其为零，即在柱内在柱

57、内(ra),1=0，柱外电位，柱外电位2满足拉普拉斯方程。满足拉普拉斯方程。2的形的形式就是圆柱坐标系拉普拉斯方程的通解。以下由边界条件确定待式就是圆柱坐标系拉普拉斯方程的通解。以下由边界条件确定待定系数。本例的边界条件是：定系数。本例的边界条件是：r，柱外电场，柱外电场E2E0ex,这样这样2E0 x，即，即0-E0rcos。r=a，导体柱内、外电位连续，即，导体柱内、外电位连续，即2=0。例题例题图图4-10均匀场中导体柱均匀场中导体柱例题例题除此之外，电位关于轴对称，即在通解中只取余弦项，于是，除此之外，电位关于轴对称，即在通解中只取余弦项，于是，12cos)(nnnnnnrCrA)(a

58、r 0,01nAEA) 1( n102coscosnnnnrCrE0coscos10nnnnrCaE例题例题因这一表达式对任意的因这一表达式对任意的成立，所以成立，所以) 1(0,201nCaECn于是，于是，cos202rarE例题例题例 4-10若在电场强度为若在电场强度为E0的均匀静电场中放入一个半径为的均匀静电场中放入一个半径为a的电介质圆柱，柱的轴线与电场互相垂直，介质柱的介电常数的电介质圆柱，柱的轴线与电场互相垂直，介质柱的介电常数为为，柱外为真空，如图，柱外为真空，如图4-11所示，求柱内、外的电场。所示，求柱内、外的电场。图图4-11均匀场中介质柱均匀场中介质柱例题例题解：设柱内电位为设柱内电位为1，柱外电位为，柱外电位为2，1和和2与与z无关无关。取坐标原点为电位参考点，边界条件如下：取坐标原点为电位参考点，边界条件如下：r,2=-E0rcosr=0,1=0r=a,1=2r=a,rr201例题例题于是，柱内、柱外电位的通解为于是，柱内、柱外电位的通解为)sincos()sincos(),()sincos()sincos(),(112111nDnCrnBnArrnDnCrnBnArrnnnnnnnnnnnnnnnn考虑本题的外加电场、极化面电荷均关于考虑本题的外加电场、极化面电荷均关于x轴对称