北京市昌平区2015届高三上学期期末考试数学（理）试题

1、昌平区20212021学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科) 2021.1考生考前须知：1.本试卷共6页，分第一卷选择题和第二卷非选择题两局部，总分值150分，考试时间 120分钟2答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚答题卡上第一局部(选择题)必须用2B铅笔作答，第二局部(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B铅笔3修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损不得在答题卡上作任何标记4请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分第一卷选择题 共40分一、选择题(本大

2、题共8小题，每题5分，共40分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1. 集合，那么等于A. B. C. D. 2，那么以下不等式成立的是A. B. C. D. 开始3. 执行如下图的程序框图，输出的值是A4 B8 C16,D32结束否是输出4.某四棱锥的三视图如下图，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,那么该四棱锥的体积是ABCD 5. 直线m和平面，那么以下四个命题中正确的选项是A. 假设，那么 B. 假设，那么C. 假设，那么 D. 假设，那么 6. 在2021年APEC会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12

3、000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：假设旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；假设旅行团的人数多于30人，那么给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是A. 32人 B. 35人 C. 40人 D. 45 人7. 在 中，角对应的边分别为. 假设那么“是“的A充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件

4、，可以判断偷珠宝的人是A甲 B. 乙 C丙 D.丁第二卷非选择题 共110分填空题本大题共6小题，每题5分，共30分9. 设复数，那么 .10. 的展开式中，的系数是 .(用数字作答)11. 假设，满足约束条件 那么的最大值是 .12. 平面向量与的夹角为，那么= .13. 双曲线的离心率是2，那么以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 .14. 函数，有如下结论：，有；，有；，有；，有.其中正确结论的序号是 .写出所有正确结论的序号三、解答题(本大题共6小题，共80分解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.本小题总分值13分 函数( I ) 求函数的最小正周期；() 当时

5、，求函数的最大值及取得最大值时的值16.本小题总分值13分从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图. 甲班样本成绩的中位数为13, 乙班样本成绩的平均数为16.(I) 求的值；(II) 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的上下(只需写出结论)；(III) 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和的分布列及数学期望.注：方差，其中为， ,的平均数.17. 本小题总分值14分如图，垂直于梯形所在的平面，. 为中点， 四边形为矩形，线段交于点N .(I) 求证：/ 平面；(II) 求二面角的大小；(III)在

6、线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？ 假设存在，请求出的长;假设不存在，请说明理由.18. (本小题总分值13分函数f (x) ln xa2x2ax (a)( I ) 当a1时，求函数f (x)的单调区间；( II ) 假设函数f (x)在区间 (1，)上是减函数，求实数a的取值范围19.本小题总分值14分椭圆C : , 经过点P，离心率是.(I) 求椭圆C的方程；(II) 设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：直线l恒过定点20. 本小题总分值13分 数列满足，数列的前n项和为,，其中.(I) 求的值；(II) 证明：数列为等比数列；(III) 是否存在，使得 假

7、设存在，求出所有的n的值；假设不存在，请说明理由昌平区20212021学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)参考答案一、选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分)题号12345678答案CDB DCBAA二、填空题本大题共6小题，每题5分，共30分9. 10. 40 11. 2 12. 2 13. ； 14. 三、解答题(本大题共6小题，共80分解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.本小题总分值13分 解：因为 5分所以 ，故的最小正周期为. 7分因为 ， 所以 9分当时，即时， 11分所以有最大值. 13分16.本小题总分值13分解：I经计算得：甲班数据依次为，所以中位数

8、为，得；，得4分II乙班整体水平高.或解： ，.因为，所以乙班的水平高. 7分 (III) 从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，那么甲班：12，13，20，乙班：15，18，18.这两班测试成绩的和为，那么，所以，.所以的分布列为272830313538所以的期望为 . .13分17. 本小题总分值14分解：()连接在中，分别为中点，所以因为所以 4分()如图以为原点，分别以所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 5分那么设平面的法向量为那么即 解得令，得 所以 7分因为平所以，由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的大小为 9分() 设存在点Q满足条件.由 设，整理得 ，11分因

9、为直线与平面所成角的大小为，所以 ， 13分那么知，即点与E点重合.故在线段上存在一点，且 14分18. (本小题总分值13分解：当时，定义域是.，由，解得；由，解得；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 5分法一因为函数在区间上是减函数，所以在上恒成立，那么，即在上恒成立. 7分当时，所以不成立. 9分当时，对称轴.，即，解得所以实数a的取值范围是. 13分 法二，定义域是.当时，在区间上是增函数，所以不成立. 8分时，令，即，那么， 9分i当时，由，解得，所以函数的单调递减区间是.因为函数在区间上是减函数，+所以，解得. 11分ii当时，由，解得，所以函数的单调递减区间是.因为函数在

10、区间上是减函数，所以，解得.综上实数a的取值范围是. 13分19.本小题总分值14分解：I由，解得 ，所以椭圆C的方程是 . .5分II方法一1由题意可知，直线的斜率为0时，不合题意.(2)不妨设直线的方程为 由 消去得. 7分设，那么有, 8分因为以为直径的圆过点，所以由，得将代入上式，得. 12分将代入，得 ，解得或舍综上，直线经过定点 14分方法二证明：(1) 当不存在时，易得此直线恒过点. 7分2当存在时.设直线，.由，可得. . 9分由题意可知, 可得 . 10分 整理得 把代入整理得 由题意可知 解得 i 当，直线过定点2,0不符合题意，舍掉. 12分 ii ，即，直线过定点，经检验符合题意.