[数学]材料力学能量法新ppt课件

1、131 概 述一一. .能量法：能量法： 利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。移、变形和内力等的方法。二二. .能量法的运用范围：能量法的运用范围：1 1线弹性体；非线性弹性体线弹性体；非线性弹性体2 2静定问题；超静定问题静定问题；超静定问题3 3是有限单元法的重要根底是有限单元法的重要根底三.功能原理在弹性变形中的运用 在缓慢加载(静载)的条件下，外力所做的功W全部转化为弹性体的变形能U，即：W = U； 在弹性范围内，外力逐渐解除时，变形能又全部转变为功。四.作用在弹性体上的功的计算 (在线弹性范围内

2、)1.一个力 P 在其产生的位移 d 上做的功：PW21 这里 P是广义力， d 是对应的广义位移(1) P 是一个力， d 是力的作用点的P方向的线位移；(2) P 是一个力偶， d 是在力偶作用面内的转角；(3) P 是一对力， d 是一对力的作用点的相对线位移；(4) P 是一对力偶， d 是力偶作用面内的相对转角。13-2 杆件应变能计算杆件应变能计算一、轴向拉伸和紧缩一、轴向拉伸和紧缩UWNoImagePPll12Pl12PPlEAP lEAN lEA2222UNxEA xxl22( )( )d二、改动二、改动UWNoImagemm12m 122222mmlG Im lG IT lG

3、 IpppUTxG Ixxpl22( )( )d当T=T(x)或截面变化A=A(x)时，可取微段：三、弯曲三、弯曲UWNoImage纯弯曲：纯弯曲：横力弯曲：横力弯曲：UMxEI xxl22( )( )d12m12mmlEIm lEIM lEI2222四: 作用在弹性体上力的功的计算 (在线弹性范围内) 一个力 P 在其产生的位移 d 上做的功：PW21 这里 P是广义力， d 是对应的广义位移(1) P 是一个力， d 是力的作用点的P方向的线位移；(2) P 是一个力偶， d 是在力偶作用面内的转角；(3) P 是一对力， d 是一对力的作用点的相对线位移；(4) P 是一对力偶， d 是

4、力偶作用面内的相对转角。 例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自在端能原理求自在端B的挠度。的挠度。NoImageNoImage解：解：M xP x( ) UMxEIxl22( )d ()PxEIxl202d P lEI2 36WP vB12由，得UWvPlEIB33 例：试求图示梁的变形能，并利用功能原例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求理求C截面的挠度。截面的挠度。NoImage解：解：UMxEIxl22( )dNoImageP bEI laP aEI lb222322232323WP vC12PblxEIxPalxEIxab12102220

5、22ddP a bEI l2226由，得：UWvPa bEI lC223 例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求并利用功能原理求B截面的垂直位移。知截面的垂直位移。知EI 为为常量。常量。NoImage解：解：MPR( )sinWPBV12由，得：UWBVPREI34NoImageNoImageNoImageNoImageRUMEIRl22( )d(sin )PREIR2022dP REI238 例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端端的集中力的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求垂直于轴线所在的平面。试求A点的

6、点的垂直位移。知垂直位移。知GIp、EI为常量。为常量。NoImage解：解：,( )sinMPRWPAV12由，得：UWAVpPRGIPREI32233RUTGIRMEIRpll2222( )( )ddNoImageNoImageNoImageTPR( )(cos )13442323P RGIP REIp一.普通情况下变形能不符合叠加原理 变形能是广义力(或广义位移)的二次函数，所以不能 随意叠加。二.克拉贝依隆原理 假设弹性体上作用着n 个广义力Pi，那么Pi对应的广义位移di不仅与Pi有关，与n个力能够都有关系，因此算功困难。 而由力的独立作用原理，多个外力的总功与加载次序无关，所以可以

7、想象一个便于计算变形能的加载次序“比例加载，即：各力从零开场同时按比例添加，最后同时到达终值；在线性构造的条件下，此时各力的作用点的相应位移与各力坚持线性关系。一.功的互等定理1.力 Pi 在力 Pj 的作用点引起的位移是 dji 。2.功的互等定理： Pidij = Pjdji 推行：第一组力在第二组力引起的位移上所做的功等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功。二.位移互等定理 假设 Pi = Pj (仅指数值相等) ，那么由功的互等定理可得： dij = dji (仅数值相等)位移互等定理位移互等定理例例 装有尾部顶针的车削工件可装有尾部顶针的车削工件可简化为静不定梁。利用互等简化为静

8、不定梁。利用互等定理求解定理求解解解 第一组力P、RB 第二组力X=1135 卡氏定理1.1.卡氏第一定理卡氏第一定理设图中资料为非线性弹性体，设图中资料为非线性弹性体，由于应变能只与由于应变能只与最后荷载有关，最后荷载有关，而与加载顺序无而与加载顺序无关。无妨按比例关。无妨按比例方式加载，从而方式加载，从而有有iniiFWVd101 假设与第假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量个荷载相应的位移有一微小增量d i ,那么应变能的变化为：那么应变能的变化为：iiVVdd123n123nBiiVF 因仅与第因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量个荷载相应的位移有一微小增量,而与其而与其他各荷载相

9、应的位移坚持不变，因此，对于位移的微他各荷载相应的位移坚持不变，因此，对于位移的微小增量小增量d i ，仅，仅Fi作了外力功，外力功的变化为：作了外力功，外力功的变化为：iiFWdd留意到上式与下式在数值上相等留意到上式与下式在数值上相等iiVVdd从而有：从而有：iiVF卡氏第一定理卡氏第一定理 留意：留意：卡氏第一定理既适宜于线弹性体，也适宜于非线卡氏第一定理既适宜于线弹性体，也适宜于非线性弹性体。性弹性体。式中式中Fi及及i分别为广义力、广义位移。分别为广义力、广义位移。必需将必需将V 写成给定位移的函数，才可求其变化写成给定位移的函数，才可求其变化率。率。卡氏第二定理卡氏第二定理 由于

10、通常不知道位移函数，因此卡氏第一定理不很有用常见情况的卡氏定理1.梁与刚架 (以弯曲为主)dxxMEIMliijnjjjjiPNEAlN12.桁架 (以拉压为主)留意：留意：卡氏第一定理既适宜于线弹性体，也适宜于卡氏第一定理既适宜于线弹性体，也适宜于非线性弹性体，而卡氏第二定理非线性弹性体，而卡氏第二定理 仅适宜于线仅适宜于线弹性体。弹性体。lilipliNNlilpilNiixFMEIMxFTGITxFFEAFxEIMFxIGTFxEAFFdddd2d2d2222所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。当所求位移处无相应广义力时，可在该处当所求位移处无相应

11、广义力时，可在该处“虚加上广义力，将其看成知外力，反映在虚加上广义力，将其看成知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该“虚加外力为虚加外力为0 0。实践计算时，常采用以下更适用的方式：实践计算时，常采用以下更适用的方式：卡氏定理的运用1.计算刚架上一点的位移。2.数值载荷的位移计算：先用载荷变量 Pi 计算变形能，求导后再代入详细数值进展计算。3.计算无载荷作用途的位移：先在需计算位移处加上一个虚设的相应的载荷(广义力)，计算变形能，求导后再令此虚设的载荷为零。4.在不同处有一样载荷作用的情况：令需计算位移处的载荷为另一个变量名，计算变形能，求

12、导后再恢复原变量名。例例 求悬臂梁求悬臂梁B点的挠度。点的挠度。EI为常数。为常数。 xFxMqxFxxM)(,2)(2EIqlEIFldxFxMEIxMFVwlB83)()(43 q F A x B l 例例 图示桁架构造。知：图示桁架构造。知：F=35kN, d1=12mm, F=35kN, d1=12mm, d2=15mm, E=210Gpad2=15mm, E=210Gpa。求。求A A点垂直位移。点垂直位移。 C B 45o 30o 1m A 0.8m F 312,312312,3122121FFFFFFFFNNNNmmEAFlEAFlFFAElFFVniNjjjjNjy365. 1

13、3123122222111例例 弯曲刚度均为弯曲刚度均为 EI的静定组合梁的静定组合梁 ABC，在，在 AB段段上受均布荷载上受均布荷载q作用，如图作用，如图a 所示。梁资料为线弹性体，所示。梁资料为线弹性体，不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理求梁不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理求梁中间铰中间铰B两侧截面的相对转角。两侧截面的相对转角。 解：解：在中间铰在中间铰B两侧虚设一对外力偶两侧虚设一对外力偶MB图图b)各支反力如图各支反力如图b。 AB段弯矩方程：段弯矩方程：222)(22xqlqMxlMqlxMBBqACBllMBMB222qlMBlMqlBlMBACBqxx由卡氏

14、第二定理得：由卡氏第二定理得：EIlqxxxMEIxMBMBMlB247d)()(300 结果符号为正，阐明相对转角结果符号为正，阐明相对转角B的转向与的转向与图图b中虚加外力偶中虚加外力偶MB的转向一致。的转向一致。BC段弯矩方程段弯矩方程xlM)x(MB例例 求图示刚架求图示刚架B截面截面Bx, By。 F=qa Ff C B q a A a 解：解：1 1求求BxBx： 222222111)(,2)(:0)(,)(:xFxMxFqxFaxMACFxMFxxMBCfffafBxEIqadxxqxqaEIFV0422222285212 2求求By By ： aFxMqxFaxMACxFxMF

15、xxMBC)(,2)(:)(,)(:22221111EIqadxqxFadxxFxEIaaBy2321420022111例例 图示弯曲刚度为图示弯曲刚度为EI的等截面开口圆环受一对集的等截面开口圆环受一对集中力中力F作用。环的资料为线弹性的，不计圆环内剪作用。环的资料为线弹性的，不计圆环内剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求圆环力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求圆环的张开位移的张开位移和相对转角。和相对转角。 。 解：解：1、张开位移、张开位移)cos1 ()()cos1 ()(RFMFRMFRFR (1-cos )(3dcos12)d()()(1232030EIRFEIRFRFM

16、MEIFV所以所以FRFR (1-cos )2 2、相对转角：、相对转角： FRFR (1-cos )Mf Mf0222)cos1 (21)()cos1 ()(EIFRdEIFRMMMFRMff一：虚位移一：虚位移 满足约束条件及延续条件的微小能够位移满足约束条件及延续条件的微小能够位移二：外力的虚功二：外力的虚功 虚设外力在真实位移上所做的功虚设外力在真实位移上所做的功 ( (或真实外力或真实外力在虚位移上所做的功在虚位移上所做的功) )，记为：，记为： P P* *d d 或或 Pd Pd * * 。三.虚变形能 由虚设外力引起的虚内力在杆件微段的真实变形上所做的功之和 或真实内力在由虚位

17、移引起的虚变形上所做的功之和，记为：dTdQdMldN*)(*)(TdQdMdlNd或：四.虚功原理 外力虚功之和 = 虚变形能内力的虚功内力的虚功虚功原理虚功原理例例 求各杆内力。三杆EA一样且线弹性。解解一.单位载荷法 在需计算位移处加一个虚设的单位载荷 “1，那么由虚功原理此单位载荷的虚功( 1D )应等于相应的虚变形能，由此可以计算出所需的位移。 即：dTdQdMldN)(1 此即单位载荷法的根本方程；其中： ，是虚设的单位载荷引起的虚内力； D 是所求的真实位移，D l、q、l、f 是真实的变形。 对于详细构造，往往只需计算右端的个别项!TQMN,二.莫尔定理1.对于线弹性杆件，有：

18、dxGITddxEANlddxEIMdp,)(, 其中，M、N、T 是真实载荷引起的真实内力。所以，由单位载荷法有：(普通杆件中剪力影响可不计)dxGITTdxEANNdxEIMMp1 此即“莫尔定理，是单位载荷法在线弹性构造中的详细方式 ；其中的各个积分又叫做“莫尔积分。二.莫尔定理在不同变形杆件中的方式1.梁 (不计剪力对位移的影响)dxEIMM12.桁架niiiiEAlNN13.刚架 (不计剪力对 位移的影响)dxEANNdxEIMM14.弯扭组合变形的轴dxGITTdxEIMMp1三.用单位载荷法(莫尔定理)解题的本卷须知1.用虚功原理时有一实一虚两套物理量，此处是：(1)虚设的载荷系

19、统：单位载荷虚反力虚内力；(2)真实的位移与变形：真实位移与真实内力产生的变形。2.在分别写出真内力与虚内力表达式时，两者所用的坐标系要一样，内力正方向规定要一致。3.积分时要留意按内力函数区间与截面刚度分段处置。4.最后根据计算结果(虚功)的正负号确定位移的方向(与虚设的单位载荷同向或反向)。例用莫尔定理例用莫尔定理计算图计算图(a)所示悬所示悬臂梁自在端臂梁自在端B的的挠度和转角。挠度和转角。NoImageNoImageNoImageNoImagePABABABlxxx11xxMPxxMbB)(,)()(,) 1 (所示如图截面作用一单位力在解：NoImagelBxIExMxMvd)()(

20、PxEIxl20d PlEI331)(,)()(,)2(xMPxxMcB所示如图截面作用一单位力偶在lBxIExMxMd)()(PxEIxld0PlEI22NoImageLAByxCq一、求C点挠度例在均布荷载作用下的简支梁，例在均布荷载作用下的简支梁，EI=常量。试用常量。试用莫尔定理计算梁中点莫尔定理计算梁中点C的挠度及的挠度及B截面的转角。截面的转角。解：1建立坐标系如图，列Mx方程NoImagexyLABx 22121qxqLxxMq2在C点加单位力，列 方程xMyxABC1P0 2)(21xLxLRxMCBxxRxMACBA段段3)求中点C挠度：NoImage EIqldxxlqxx

21、qlEIdxEIqxxqldxEIxMxMfllllc38452)22(11)22()()(422220 xyxAC二、求B截面的转角：在B端加单位力偶1M1MB列单位力偶作用下的弯矩方程)(xMlxxM)(xEIqldxlxqxxqLEIdxEIxMxMlLB24)22(1)()(3200aaPABC解：一、不计轴力、剪力影响解：一、不计轴力、剪力影响2在A处加单位力：P0=1axMBCxxMAB)(:)(:2111)列刚架弯矩方程：PaxMBCPxxMAB)(:)(:211EI1EI2x1x2CP0=1ABx1x2例图示钢架。假设例图示钢架。假设1不计轴力、剪力影不计轴力、剪力影响；响；

22、2思索轴力影响，思索轴力影响， 计算计算A点垂直位移点垂直位移y及及B截面转角截面转角B由莫尔定理：)(3)()()()()()(23132021012022210111EIPaEIPadxEIaPadxEIxPxdxEIxMxMdxEIxMxMaaaay二、思索轴力影响P0=1ABx1x2CAB:NAB=0NAB=0BC:NBC=-PNBC=-1在A处加程度单位力：P0=1EAPadxEAPdxEANNdxEANNaaBCBCaABAByN202010) 1)(0EAPaEIPaEIPayNy23133故A点总的垂直位移：三、计算B截面转角：B1在B处加单位力偶：M=1M0=1ABx1C1)

23、()(:0)()(:22111xMPaxMBCxMPxxMAB222022022210111)1)()()()()(EIPadxEIPadxEIxMxMdxEIxMxMaaaB“-表示B与M0转向相反 在运用莫尔定理求位移时，需计算以下在运用莫尔定理求位移时，需计算以下方式的积分：方式的积分：lxIExMxMd)()(lxxMxMd)()(对于等直杆，对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，可以提到积分号外，故只需计算积分故只需计算积分直杆的直杆的 图必定是直线或折线。图必定是直线或折线。tg)( xxMNoImageNoImageNoImageNoImagellxxMxxxMxMd)

24、(tgd)()(CxtgNoImageNoImageCMNoImage)(xMNoImageEIMxIExMxMCld)()(计算本卷须知1.只能对等截面直杆进展计算 ( EI为常数 )。2.虚弯矩图上必需取直线段部分，分段计算。3.分别按两个弯矩图计算不同的量(面积、形心弯矩值)。4.两弯矩图同侧结果为正，两弯矩图异侧结果为负。顶点顶点顶点顶点23lh13lh二次抛物线二次抛物线NoImageNoImageNoImageNoImage常见图形的面积和形心的位置常见图形的面积和形心的位置abhC3a3b三角形h21hC顶点21nn21nn次抛物线hn11组合图形的分解=+ 1 2 21=+ 1

25、 2 21=+ 1 2 3321 例：试用图乘法求所示悬臂梁自在端例：试用图乘法求所示悬臂梁自在端B的的挠度和转角。挠度和转角。NoImage解：解：NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageIEMxIEMxMvClBd(x)()32(212lPlEI PlEI330cMBEIPl1212PlEI22顺时针NoImageNoImageIEMxIExMxMClBd)()( 例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。和最大转角。NoImage解：解：vEIlqllmax223285322 53844qlEINoImageNoImageNoImageNoImageNoImageql28/l / 4l85ma