第3章刚体力学2

1、1第第 3 3 章章 Dynamics of Rigid Body(6) 刚体力学基础刚体力学基础力矩的瞬时、时间、空间累积效应力矩的瞬时、时间、空间累积效应23.1 力矩的瞬时效应力矩的瞬时效应刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体刚体运动中形状和大小都保持不变的物体。运动中形状和大小都保持不变的物体。 (a)刚体是由许多质点刚体是由许多质点(质元质元)组成的质点系。组成的质点系。 (b)刚体有确定的形状和大小。刚体有确定的形状和大小。 (c)刚体上各质点之间的距离保持不变。刚体上各质点之间的距离保持不变。 1.刚体的平动和转动刚体的平动和转动 如果刚体内任何两点的如果刚体内任何两点的连线连线在

2、运动中始终在运动中始终保持平保持平行行，这样的运动就称为这样的运动就称为平动平动。 平动刚体内各质点的运动状态完全相同。平动刚体内各质点的运动状态完全相同。 平动刚体可视为质点平动刚体可视为质点。质心是平动刚体的代表。质心是平动刚体的代表。 一一. 刚体运动学刚体运动学3 刚体一般运动可看作是刚体一般运动可看作是平平动和转动的结合动和转动的结合。 2.定轴转动的描述定轴转动的描述 r 如果刚体内的每个质点都绕同一直线如果刚体内的每个质点都绕同一直线(转转轴轴)作圆周运动作圆周运动，这种运动便称为这种运动便称为转动转动。转轴固定不动转轴固定不动定轴转动定轴转动。,dtd dtd 定轴转动刚体上各

3、质点的定轴转动刚体上各质点的线线量量(速度、加速度速度、加速度)不同不同。 但各质点的但各质点的角量角量(如角位移、如角位移、角速度和角加速度角速度和角加速度)相同相同。4二二. 刚体的定轴转动刚体的定轴转动1.力矩力矩M=Frsin M=rF 力力F 对对o点的点的力矩力矩定义为定义为：力矩的大小力矩的大小:droMF=Fd (1)只有只有在垂直于转轴平面内的力才会在垂直于转轴平面内的力才会产生力矩产生力矩; 平行于转轴的力是平行于转轴的力是不会产生力矩的。不会产生力矩的。M(2)力矩的方向沿转轴。力矩的方向沿转轴。zF 注意注意: 对对定轴转动定轴转动, 方向方向: 右手螺旋右手螺旋Fr

4、52.刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理Z mirio i iiFifmi: 切向方程切向方程:iiiiiiamfFsinsiniirm2sinsiniiiiiiiirmrfrF2sinsiniiiiiiiiiiirmrfrF合外力矩合外力矩合内力矩合内力矩0MI(转动惯量转动惯量) IM 刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理6取一对内力的力矩来研究：取一对内力的力矩来研究： 122121212121frfrfrfr012121221frfrr即即一对内力的力矩的矢量和为零一对内力的力矩的矢量和为零。也可以从力矩大小对应于平行四边形面积的角也可以从力矩大小对应于平行四边形面积的角度来看。度来看。两个

5、平行四边形底和高都相等，故而面积相同；两个平行四边形底和高都相等，故而面积相同；两力矩大小相等，方向相反，于是矢量和为零。两力矩大小相等，方向相反，于是矢量和为零。任意质点系的合内力矩都为零。任意质点系的合内力矩都为零。7 质量质量m物体物体平动惯性平动惯性大小的量度。大小的量度。 转动惯量转动惯量I物体物体转动惯性转动惯性大小的量度。大小的量度。 1.转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义三三. 转动惯量转动惯量 IM amF 注意：注意：1. 转动惯量是刚体的固有属性转动惯量是刚体的固有属性 2. 转动惯量不仅依赖质量大小，还和质量转动惯量不仅依赖质量大小，还和质量对转轴的空间分布有关。对转

6、轴的空间分布有关。8 I= mi ri2 即：即：刚体的刚体的转动惯量转动惯量等于刚体上各质点的等于刚体上各质点的质量质量乘以它乘以它到转轴距离的平方到转轴距离的平方的总和。的总和。 (2)质量连续分布刚体质量连续分布刚体 dmrI2式中式中: r为刚体上的质元为刚体上的质元dm到转轴的距离。到转轴的距离。 (1)质量离散分布刚体质量离散分布刚体2.转动惯量的计算转动惯量的计算9 3.平行轴定理平行轴定理I = Ic + Ml2 Ic 通过刚体质心的轴的转动通过刚体质心的轴的转动 惯量惯量M 刚体系统的总质量刚体系统的总质量 l 两平行轴两平行轴(o,c)间的距离间的距离IIclCMo10VV

7、dmrrdmrI)(222()()(2)VVrlrl dmrl rldm22cVIMllr dmIc是转轴过质心的转动惯量，于是是转轴过质心的转动惯量，于是 2MlIIc= 0 l Ic I l r r 11o 通过通过o点且垂直于三角形点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为平面的轴的转动惯量为 IO= )33(lr ,ml2 cI2mr3+ml2=2ml2=ml2例题例题1.1 质量离散分布质量离散分布: I= mi ri2 ml2lllcrmmm (1)轻杆连成的正三角形顶点各有一质点轻杆连成的正三角形顶点各有一质点m，此系统对通过质心此系统对通过质心C且垂直于三角形平面的且垂直于三角形平面

8、的轴的转动惯量为轴的转动惯量为+(3m)r2=2ml212IO=m02=30ml2+2m(2l2)+3m(4l2)+4ml2+5m(2l2)om2m3m4m5mllll (2)用轻杆连接五个质点用轻杆连接五个质点, 转轴垂直于质转轴垂直于质点所在平面且通过点所在平面且通过o点点, 转动惯量为转动惯量为 13 dmrI2 22ll记住！例题例题1.2 质量连续分布质量连续分布: cIdxlm2x2121ml 若棒绕一端若棒绕一端o转动，由平行转动，由平行轴定理，轴定理， 则转动惯量为则转动惯量为 2121mlIo 解解 om 231ml 22)l( (1)均质细直棒均质细直棒(质量质量m、长、长

9、l)，求通过质心，求通过质心C且且垂直于棒的轴转动的转动惯量。垂直于棒的轴转动的转动惯量。 Cxxodxdm142mR R R0 (3)均质圆盘均质圆盘(m,R)对中心轴对中心轴的转动惯量的转动惯量:dmrdr cI2r2Rm rdr 2221mR cI 环环dmR2 (2)均质细圆环均质细圆环(m, R)对中心轴的转动对中心轴的转动惯量惯量: 15 解解 设电磁力矩和摩擦力矩分别为设电磁力矩和摩擦力矩分别为M和和Mf，则，则开启电源时有：开启电源时有： M - Mf = I 1 ; = 1t1关闭电源后有：关闭电源后有： - Mf = I 2 ; + 2t2 = 0于是可以解得：于是可以解得

10、： 例题例题1.3 电风扇开启电源时，经过电风扇开启电源时，经过t1时间达到时间达到额定转速额定转速 ，关闭电源后经过，关闭电源后经过t2时间停止转动。时间停止转动。设风扇转动惯量为设风扇转动惯量为I，且电磁力矩和摩擦力矩均，且电磁力矩和摩擦力矩均为恒量，求风扇电机的电磁力矩为恒量，求风扇电机的电磁力矩。 IM 刚体定轴转动定理刚体定轴转动定理2111ttIM16 解解 对柱体，由对柱体，由M=I 有有 mgR=I mg mMR对对m: mg-T=ma对柱：对柱： TR=I a=R I=MR2/2解得解得 =2mg/(2m+M)R T=Mmg/(2m+M) 例题例题1.4 匀质柱体匀质柱体(M

11、、R) 边缘用细绳挂边缘用细绳挂一质量为一质量为m的物体。求柱体的角加速度及的物体。求柱体的角加速度及绳中的张力绳中的张力。 绳中张力绳中张力T mg！ 用隔离体法用隔离体法:T17 m: mg-T2= ma a=R 1= r 2 , 2=2ah求解联立方程，代入数据，可得求解联立方程，代入数据，可得 =2m/s, T1=50N, T2=60N。 m1: T1R= m1R2 1 2121m2: T2r-T1r = m2r2 2 例题例题1.5 两匀质圆盘两匀质圆盘(m1=25kg, m2=5kg)，用，用轻绳挂轻绳挂m=10kg的物体。求的物体。求m从静止下落从静止下落h=0.5m时的速度及时

12、的速度及 绳中的张力绳中的张力(g=10m/s2)。 解解 m1Rmm2r 1T2mg 2T1T118CmgABo cos6lI 3cos2gl632llloC MmgMI2()6lm219ml2112ml 例题例题1.6 均匀细棒均匀细棒(m、长、长l)AB可绕可绕o轴转轴转动，动，Ao= l/3。求棒从水平位置静止开始转过。求棒从水平位置静止开始转过角角 时的角加速度和角速度。时的角加速度和角速度。 解解 重力集中在质心，其力矩为重力集中在质心，其力矩为19 dlgdcos2300 完成积分得完成积分得lg sin3 讨论讨论: (1)当当 =0时，时， =3g/2l， =0 (2)当当

13、=90时，时， =0，lg3 3cos2MgIldtddd dd dtd CmgABo20 R0mgR 32 221mRI 解解 MrdrRm 22g r o水平桌面水平桌面rdr 例题例题1.7 匀质圆盘匀质圆盘(m、R)以以 o转动。将转动。将盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数为盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数为，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？ 摩擦力矩摩擦力矩:RgIM34 21RgIM34 由由 = o+ t = 0得得gRtOo 43 又又由由 2- o2 = 2，停下来前转过的圈数为停下来前转过的圈数为gRNoo1634222o水平桌面水平桌面r

14、dr求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？22L=rpsin =m rsin 设质点的位矢为设质点的位矢为r，动量为动量为p=m ，角动量角动量L的大小的大小式中式中 是是r 与与 两矢量间的夹角。两矢量间的夹角。 角动量的方向垂直于矢径角动量的方向垂直于矢径r 和和 所组成的平面所组成的平面,指指向是向是r 经小于经小于180o的角转到的角转到 时右螺旋方向。时右螺旋方向。dm roL)m(rprL =m d 则质点对则质点对o点的点的角动量角动量(也称也称动量矩动量矩)为为3.2 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应角动量角动量守恒定律守恒定律1. 质点的质点

15、的角动量角动量 一一. 质点质点角动量角动量守恒定律守恒定律23L=rpsin =m rsin =m d角动量角动量L的大小的大小dm roLprL 问题问题:一质量为一质量为m的质点沿一直线以的质点沿一直线以速率速率 运动运动,它对直线上某点的角动量它对直线上某点的角动量为为它对与直线相距它对与直线相距d的某点的角动量为的某点的角动量为0;m d。M=Frsin =FdM=rF 力力F 对对o点的点的力矩力矩定义为定义为：力矩的大小力矩的大小rdoMF 质点对质点对o点的点的角动量角动量(动量矩动量矩)为为24LRv mO 质点作匀速率圆周运动时，质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小

16、为对圆心的角动量的大小为方向方向 圆面圆面不变。不变。L = mvR，同一质点的同一运动，其角动量却可以随参考同一质点的同一运动，其角动量却可以随参考点的不同而改变。点的不同而改变。例如：例如：vmrLomO vlmLO 方向变化方向变化vmrLmoO sinvlmLO 方向竖直向上不变方向竖直向上不变Ol O 锥摆锥摆m252. 质点角动量定理质点角动量定理pdtrddtpdrdtLd 由于由于,dtrd ,p0 dtpdF FrdtLd 所以所以)( mrprL M 质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率化率。这个结论叫质点的。这个结论叫质

17、点的角动量定理角动量定理。dtLdM 26122121LLLddtMLLtt dtLdM 冲量矩冲量矩 21ttdtM 合外力矩的冲量合外力矩的冲量(冲量矩冲量矩)等于质点角动量的增量。等于质点角动量的增量。它是质点角动量定理的积分形式。它是质点角动量定理的积分形式。 对比：对比：1221ppdtFtt 外外1221LLdtMtt 外外27 解解 例题例题2.1 一质点的质量为一质点的质量为m，位矢为：位矢为： r =acos t i+bsin t j (式中式中a、b、 均为常量均为常量);求求质点的角动量及它所受的力矩。质点的角动量及它所受的力矩。j tbi tadtrd cossin )

18、( mrL rm)cossin()sincos(j tbi taj tbi tam 0 iikji kij 0 jjk tabm 2sin ktabm 2cos kabm xyzoijk28F=ma=-m 2rM=r F=-m 2r r=0r2 dtda 质点所受的力矩质点所受的力矩:r =acos t i+bsin t jj tbi tadtrd cossin )sincos(2j tbi ta M=r F29 这就是说这就是说,如果质点所受的如果质点所受的合外力矩为零合外力矩为零时时, 则则此质点的此质点的角动量矢量保持不变。角动量矢量保持不变。这一结论叫做质点这一结论叫做质点角动量守恒定

19、律角动量守恒定律。3. 质点角动量守恒守律质点角动量守恒守律若若合外力矩为零合外力矩为零(即即M=0), 则则L=常矢量常矢量对比：对比：角动量守恒定律是：角动量守恒定律是：M外外=0， 则则 L =常矢量。常矢量。 动量守恒定律是：动量守恒定律是： F外外=0 ，则，则 p =常矢量。常矢量。122121LLLddtMLLtt 30 角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律： 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，角动量守恒定律是物理学的基本定律之一， 它不仅适用于宏观体系，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，也适用于微观体系，而且在高速

20、低速范围均适用。而且在高速低速范围均适用。开普勒第一定律：行星围绕太阳作椭圆运动，太开普勒第一定律：行星围绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。阳位于椭圆的一个焦点上。第二定律：由太阳到行星的矢径，在相等时间内第二定律：由太阳到行星的矢径，在相等时间内划过相等的面积。划过相等的面积。第三定律：行星公转周期的平方与它同太阳距离第三定律：行星公转周期的平方与它同太阳距离的立方成正比。的立方成正比。 德国天文学家开普勒（德国天文学家开普勒（1571-1630)31有心力场中物体的运动规律有心力场中物体的运动规律*若物体所受作用力指向同一固定点，称为有心力若物体所受作用力指向同一固定点，称为有心

21、力或中心力，对应的力场称为有心力场或中心力场或中心力，对应的力场称为有心力场或中心力场 (1) 在有心力作用下运动的物体，角动量守恒；在有心力作用下运动的物体，角动量守恒； (2) 有心力有心力f (r)总是保守力，因而在此力场中运动总是保守力，因而在此力场中运动的质点机械能守恒；的质点机械能守恒；(3) 平方反比中心力场中质点的运动满足开普勒运平方反比中心力场中质点的运动满足开普勒运动定律动定律太阳产生的引力场就是平方反比中心力场，太阳太阳产生的引力场就是平方反比中心力场，太阳系中各星体的运动都要满足角动量守恒。系中各星体的运动都要满足角动量守恒。32rLv S m常常量量 sinrmLv行

22、星对太阳角动量的大小：行星对太阳角动量的大小：trrmdtrdmrrmvLtsinlimsinsin0 角动量角动量L方向不变：行星总在一个平面内的椭圆轨方向不变：行星总在一个平面内的椭圆轨道运动，其角动量方向保持不变。道运动，其角动量方向保持不变。可以证明太阳系内天体的轨道方程都是圆锥曲线，可以证明太阳系内天体的轨道方程都是圆锥曲线，包括圆、椭圆、抛物线、双曲线等。包括圆、椭圆、抛物线、双曲线等。33trrmdtrdmrrmvLtsinlimsinsin0Srr2sindtdSmtSmLt2lim20dtdS /行星对太阳的矢径在单位时行星对太阳的矢径在单位时间内扫过的面积。间内扫过的面积。

23、行星运动的行星运动的掠面速度掠面速度行星运动的角动量守恒意味行星运动的角动量守恒意味着掠面速度保持不变。着掠面速度保持不变。rLv S m34 解解 小球对小球对o点的角动量守恒：点的角动量守恒： mr2 o= m(r/2)2 =4 o 由动能定理，由动能定理，拉力的功为拉力的功为 Forom 例题例题2.2 光滑水平桌面，绳通过孔光滑水平桌面，绳通过孔o拉着小球拉着小球m以以 o作半径作半径r的匀速圆周运动，现向下的匀速圆周运动，现向下缓慢缓慢拉绳，拉绳，求半径从求半径从r变为变为r/2过程中拉力的功。过程中拉力的功。222121ommA 2222222321)2(21oomrmrrm 35

24、222212121)ll (kmmoo d解得解得: =4m/s, =30 解解 机械能守恒：机械能守恒： 例题例题2.3 光滑水平面上，轻弹簧为原长光滑水平面上，轻弹簧为原长(lo=0.2m , k=100N/m), 滑块滑块(m=1kg) o=5m/s, 方向与弹簧垂直。方向与弹簧垂直。当弹簧绕当弹簧绕o转过转过90 时，其长度时，其长度l=0.5m，求此时滑块，求此时滑块速度速度 的大小和方向。的大小和方向。 角动量守恒：角动量守恒： m o lo=m lsin olol omm36RMmGmo 221 对对o点的角动量守恒：点的角动量守恒： m oR = 解解 火箭只受引力火箭只受引力

25、(保守力保守力)作用，机械能守恒：作用，机械能守恒：)43(322GMRRsinoo 解解得得Co oAMRo3RmRMmGm3212 dm 3Rsin 例题例题2.4 质量为质量为m的火箭的火箭A以以 o沿地球表面发射出沿地球表面发射出去去, 其轨道与地轴其轨道与地轴oo 交于交于C点点(oC=3R)。不考虑地球的。不考虑地球的自转和空气阻力，求：自转和空气阻力，求： =？(地球质量为地球质量为M、半径为、半径为R) 37Z L mi irio Li= mi iri= mi ri2 刚体刚体对对z轴轴的角动量的角动量就是就是 Lz=( mi ri2) 设刚体以角速度设刚体以角速度 绕固定轴绕

26、固定轴z转动转动, 质量为质量为mi的质的质元对元对o点的角动量为点的角动量为 = I 二二. 刚体的刚体的角动量及守恒守律角动量及守恒守律 1.刚体的角动量刚体的角动量 刚体的角动量刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。刚体上各个质点的角动量之和。 刚体角动量的方向刚体角动量的方向: 角速角速度度 的方向。的方向。为何不用动量乘以位矢来计算为何不用动量乘以位矢来计算?382.系统系统(质点系质点系)角动量定理角动量定理质点角动量定理质点角动量定理:dtLdM 即：系统即：系统所受的所受的合外力矩合外力矩等于等于系统系统总角动量对时间的变总角动量对时间的变化率化率质点系角动量定理质点系角动

27、量定理。 它同样适用定轴转动刚体。它同样适用定轴转动刚体。dtLdM 前面讲刚体定轴转动时已经说过，系统的内力前面讲刚体定轴转动时已经说过，系统的内力矩之和总为零（不限于刚体），于是有：矩之和总为零（不限于刚体），于是有：mirioFifij imj39dtLdM 1122212211)( IIIddtMttII 即即：系统所受系统所受合外力矩的冲量合外力矩的冲量(冲量矩冲量矩)等于等于角动角动量的量的增量增量。3. 定轴转动系统的定轴转动系统的角动量守恒守律角动量守恒守律当系统所受当系统所受合外力矩为零合外力矩为零时，系统的角动量将时，系统的角动量将保持不变保持不变定轴转动的定轴转动的角动量

28、守恒定律角动量守恒定律。I =常量常量 若系统所受的若系统所受的合外力矩为零合外力矩为零(即即0)时，则时，则dtId)( 40角动量守恒实例角动量守恒实例41直升机飞行控制直升机飞行控制42运动生物力学运动生物力学猫能调整自己的空中姿态，落地时猫能调整自己的空中姿态，落地时不易摔伤。我们来做个力学分析。不易摔伤。我们来做个力学分析。首先，在整个过程中角动量守恒。首先，在整个过程中角动量守恒。猫在空中弯曲身体猫在空中弯曲身体先绕蓝色轴把上半身转正。这时先绕蓝色轴把上半身转正。这时由于下半身各质元离轴距离远大于由于下半身各质元离轴距离远大于上半身，转过的反向角度较小上半身，转过的反向角度较小然后

29、绕红色轴转正下半身，同理然后绕红色轴转正下半身，同理此时上半身转过的反向角度较小此时上半身转过的反向角度较小整体姿态调整完毕整体姿态调整完毕43.oom m rrI o=(I+2mr2) 例题例题2.5 两个同样的子弹对称地同时射入两个同样的子弹对称地同时射入转盘中，则盘的角速度将转盘中，则盘的角速度将(填：增大、减小或不变填：增大、减小或不变)减小减小44解解32lmo 解得解得)43(6mMlmo m ooA 32l 例题例题2.6 匀质杆匀质杆(长长l、M)静止悬挂。子弹静止悬挂。子弹(m, o)射入杆上的射入杆上的A点，并嵌在杆中，点，并嵌在杆中， 求求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度

30、子弹射入后瞬间杆的角速度; (2)杆能转过的最杆能转过的最大角度大角度 。 (1)杆杆+子弹：碰撞过程角动量守恒：子弹：碰撞过程角动量守恒： )32(3122lmMl 45glmM2202)43(12m1cos(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：杆在转动过程中显然机械能守恒：m ooA 32l2lMg)43(6mMlmo221 IEk 转动动能转动动能cos32-cos2lmglMg零势面零势面平动动能平动动能221 mEk 32-lmg21231 Ml)32(2lm246 解解 (1)碰撞过程角动量守恒碰撞过程角动量守恒:m m.oLm )2(2mLI 2231)2(121mLLmI 例题例

31、题2.7 粗糙的水平桌面上粗糙的水平桌面上()匀质细杆匀质细杆(长长2L、m)静止。两相同的小球静止。两相同的小球(m、 )与杆的与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞两端同时发生完全非弹性碰撞, 求求: (1)刚碰后，刚碰后，这一系统的角速度为多少？这一系统的角速度为多少？ (2)杆经多少时间杆经多少时间停止转动？停止转动？(不计两小球的质量不计两小球的质量)解得解得L76 2 47L76 摩擦力矩为摩擦力矩为 MLgIM23 由由 = o+ t得：得：gt 74 .o.dxLmg2 x L022Lmg (2)杆经多少时间停止转动？杆经多少时间停止转动？(不计两小球不计两小球的质量的质量)xdmd

32、xfr48 解解 )(2mRIIooo 例题例题2.8 空心圆环空心圆环(Io , R)可绕竖直轴可绕竖直轴AC转动。开始时环转动。开始时环 o, 小球小球m静止在静止在A点，求当点，求当小球滑到小球滑到B点时点时, 环的角速度及小球相对于环环的角速度及小球相对于环的速度各为多少。的速度各为多少。(设各处光滑设各处光滑, 环截面很小环截面很小)ABoRoC对对轴轴AC角动量守恒角动量守恒:2mRIIooo 环的角速度为环的角速度为49222)(BR 由相对运动，对小球有由相对运动，对小球有 B表示小球在表示小球在B点时相对于地面的点时相对于地面的竖直分速度竖直分速度(即相对于环的速度即相对于环

33、的速度)。 oooBImRRIgR 2222 ABoRoC B221ooI mgR 222121 mIo 机械能守恒机械能守恒:小球相对于环的速度为多少小球相对于环的速度为多少?零势面零势面50 (1)系统系统(圆盘圆盘+人人)角动角动量守恒：量守恒： 盘盘I (1)圆盘对地的角速度圆盘对地的角速度; (2)欲使圆盘对地静止，人欲使圆盘对地静止，人相对圆盘的速度大小和方向？相对圆盘的速度大小和方向？ oII )(人人盘盘 o2 / R 2Rm 例题例题2.9 匀质圆盘匀质圆盘(m、R)与一人与一人( ,视为质点视为质点)一起以一起以 o转动。若人相对盘以速率转动。若人相对盘以速率 、沿半径为、

34、沿半径为 的圆周运动的圆周运动(方向如图方向如图), 求求: 10m2R解解51 人对地人对地= 人对盘人对盘 + 盘对地盘对地 人对地人对地= o2 / R R 2 + 盘盘I oII )(人人盘盘人人对对地地人人 I 角动量守恒定律只适用于角动量守恒定律只适用于惯性系惯性系。 盘盘I oII )(人人盘盘2Rm 52oRmmR )21(102122 )2()2(102RRm 解出：解出：Ro212 221mR o2 / R 盘盘I oII )(人人盘盘人人对对地地人人 I 人对地人对地= R 2 + 53(2) 欲使盘静止，可令欲使盘静止，可令0212 Ro 得得oR 221 式中负号表示

35、人的运动方式中负号表示人的运动方向与盘的初始转动向与盘的初始转动( o)方方向一致。向一致。 o2 / R Ro212 54转动动能为转动动能为iiikrmE2221平动动能为平动动能为221 mEk 3.3 力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 定轴转动中的功和能定轴转动中的功和能221 I 2222121iiiirmm mi的动能的动能:=刚体上各质点动能之和刚体上各质点动能之和一一.刚体的刚体的转动动能转动动能Z L mi irio55 21 MdA 力矩的功率是力矩的功率是二二.力矩的功力矩的功 MdtdMdtdAP ZFdsd opr即：力矩的元功等于力矩即：力矩的元功等于力矩M和角

36、位移和角位移d 的的乘积乘积。=Frsin d =Md 力力F的元功是的元功是 dA=Fdssin 56 上式说明：上式说明：合外力矩的功合外力矩的功等于刚体等于刚体转动动能转动动能的的增增量。量。定轴转动动能定理定轴转动动能定理 ddtdIMdA 21212122212121 IIMdA 三三.刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 dI 2121222121 mmrdFAba 对比对比:质点动能定理：质点动能定理：dtdIIM （I=恒量恒量）57221 ImghEc 式中式中, hc为刚体质心到零势面的高度。为刚体质心到零势面的高度。四四.机械能守恒定律在刚体系统中的应用机械能守恒

37、定律在刚体系统中的应用 如果只有保守内力作功，则系统如果只有保守内力作功，则系统(刚体刚体)的机的机械能守恒。械能守恒。 在计算刚体的重力势能时，可将它的在计算刚体的重力势能时，可将它的全部质全部质量集中在量集中在质心质心。 刚体的机械能为刚体的机械能为 58Chco2lmg 解解 )1(3 sinlg sinlmg2 221 I 例题例题3.1 均匀细直棒均匀细直棒(m、长、长l)从竖直位从竖直位置由静止开始绕轴置由静止开始绕轴o转动。求转到与水平面转动。求转到与水平面成成 角时的角速度和角加速度。角时的角速度和角加速度。 棒在转动的过程中机械能守恒棒在转动的过程中机械能守恒:零势面零势面d

38、td coslg23 dtddd dd 59Mgh) ,21(2rmrI 解解 (1)系统机械能守恒：系统机械能守恒：h零势面零势面mrMk221kh 221 M 221 I 例题例题3.2 系统开始静止系统开始静止, 弹簧为原长。弹簧为原长。绳与滑轮间无滑动。求绳与滑轮间无滑动。求:(1)M下落下落h时的速度；时的速度；(2)弹簧的最大伸长量。弹簧的最大伸长量。 mMkhMgh2122 (2) 令令 = 0，得弹簧的最，得弹簧的最大伸长量为：大伸长量为： hmax=2Mg/k60 解解 (1)棒的转动，机械能守恒：棒的转动，机械能守恒：22)31(212omllmg (2)碰撞过程，角动量守

39、恒：碰撞过程，角动量守恒：oml 231lm 231ml 例题例题3.3 一匀质细棒一匀质细棒(长为长为l、m)自水平位自水平位置静止摆下，在竖直位置处与物体置静止摆下，在竖直位置处与物体m相碰，碰相碰，碰后物体后物体m滑行距离滑行距离S后停止，设物体与地面间后停止，设物体与地面间的摩擦系数为的摩擦系数为 ，求刚碰后棒的角，求刚碰后棒的角速度。速度。 omS6122)31(212omllmg oml 231lm 231ml (3) 滑行过程滑行过程：22 SglgSgl 233 解得解得omS讨论：讨论：当当l 6 S时，时， 0, 表示碰后棒向右摆；表示碰后棒向右摆； 当当l 6 S时，时，

40、 0, 表示碰后棒向左摆。表示碰后棒向左摆。62* *回转仪和刚体进动回转仪和刚体进动 前面都针对定轴转动，这里做更广泛的讨论。前面都针对定轴转动，这里做更广泛的讨论。 均质刚体绕几何对称轴均质刚体绕几何对称轴的转动，称为的转动，称为自转自转或或自旋自旋。 若没有外力矩的作用，若没有外力矩的作用，则其角动量守恒。不仅转动则其角动量守恒。不仅转动快慢不变，角速度的方向也快慢不变，角速度的方向也不变。不变。回转仪回转仪 此时其转轴在空间中的指向保持不变，称为此时其转轴在空间中的指向保持不变，称为回转回转仪仪或或陀螺陀螺。63WN 若存在外力矩，且和角动量不在同一条若存在外力矩，且和角动量不在同一条直线上，将会出现什么情况？直线上，将会出现什么情况？O锥摆锥摆LGM角动量在外力矩的作用下方向发生角动量在外力矩的作用下方向发生改变。改变。 这种自转轴的附加转动称为这种自转轴的附加转动称为进动进动或或旋进旋进，外力矩，外力矩只改变角速度方向，而不改变大小。只改变角速度方向，而不改变大小。陀陀螺螺转转动动64dtLdMdtrdv类比质点圆周运动，可知进类比质点圆周运动，可知进动周期为：动周期为：MIT2地球的自转也有进动现象。其力地球的