文科考研无穷级数PPT课件

1、1 nnnuuuuu32111、常数项级数 常数项级数收敛常数项级数收敛( (发散发散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) ). . niinnuuuus121级数的部分和定义级数的收敛与发散第1页/共71页2性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 0lim nnu级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质第2页/共71页3常数项级数审敛法正项级数任意项级数4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛4. 莱布尼茨定理

2、3. 按基本性质;1.;,则级数收敛则级数收敛若若SSn2.;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun交错级数5.条件收敛第3页/共71页4定义0,1 nnnuu.有上界有上界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns2、正项级数及其审敛法充分必要条件:(1) 比较审敛法若若 1nnu收敛收敛( (发散发散) )且且)(nnnnvuuv , ,则则 1nnv收敛收敛( (发散发散) ). .第4页/共71页5比较审敛法的极限形式：,设1nnu与1nnv都是正项级数 如果,limlvunnn ,当时;则(1) 两级数有相同的敛散性 l0 (3) 当时, 若1nnv发散,则1nn

3、u发散; l (2) 当时，若收敛,则收敛;0 l 1nnv 1nnu第5页/共71页6几何级数几何级数 0nnaq, , 当当1| q时时收收敛敛；1| q时时发发散散； p级数级数 11npn, , 当当1 p时时收收敛敛；1 p时时发发散散； 特特别别, ,调调和和级级数数 11nn发发散散. . qa 1以下两个级数是常用的比较对象： 第6页/共71页7比比值值审审敛敛法法( (达达朗朗贝贝尔尔 D DA Al le em mb be er rt t 判判别别法法) ) 设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu 则则1 时级数收敛时级数收敛;1 时级

4、数发散时级数发散; 1 时失效时失效.根值审敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) ) 设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果 nnnulim)( 为为数数或或 , , 则则1 时级数收敛时级数收敛; ; 1 时级数发散时级数发散; ;1 时失效时失效. .第7页/共71页8定义 正 、负项相间的级数称为交错级数. nnnnnnuu 111)1()1(或或莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件: : ( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, , 则级数收敛则级数收敛, ,且其和且其和1us , ,其余项其余项

5、 nr的绝对值的绝对值1| nnur. . )0( nu其中其中3、交错级数及其审敛法第8页/共71页9定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定理定理 若若 1|nnu收敛收敛,则则 1nnu收敛收敛. 定定义义 若若 0|nnu收收敛敛, , 则则称称 0nnu为为绝绝对对收收敛敛; ; 若若 1|nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, ,则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. . 4、任意项级数及其审敛法第9页/共71页105、函数项级数(1) 定义设设),(,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在RI 上上的的函函数数, ,则则 )()()(211xuxuxunn

6、称称为为定定义义在在区区间间I上上的的( (函函数数项项) )无无穷穷级级数数. .(2) 收敛点与收敛域如如果果Ix 0,数数项项级级数数 10)(nnxu收收敛敛, 则则称称0 x 为级数为级数)(1xunn 的的收敛点收敛点, , 否则称为发散点.第10页/共71页11函数项级数函数项级数)(1xunn 的所有收敛点的全体称为的所有收敛点的全体称为收敛域收敛域, ,(3) 和函数在收敛域上在收敛域上, ,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数 )(xs, , 称称)(xs为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数. . 所有发散点的全体称为发散域.第11页/共71页12(1) 定义

7、形如形如nnnxxa)(00 的级数称为的级数称为幂级数幂级数. ,00时时当当 x其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.5、幂级数nnnxa 0(2) (2) 定理定理( (Abel 定理定理) ) ( (1 1) ) 如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx处处收收敛敛, , 则则它它在在满满足足不不等等式式|0 xx 的的一一切切 x 处处绝绝对对收收敛敛; ; ( (2 2) ) 如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在 满满足足不不等等式式|0 xx 的的一一切切 x 处处发发散散. . 第12页/共71页13定理定理 如果幂级数如果幂级

8、数 0nnnxa的所有系数的所有系数0 na, 则幂级数则幂级数 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为 , 00 , 0 , 1/R, , 设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim) 简简单单地地讲讲, ,就就是是 1lim nnnaaR. . (3) 收敛半径 第13页/共71页14(4) 和函数的分析运算性质：设设幂幂级级数数 0nnnxa的的收收敛敛半半径径为为R, , 收收敛敛域域为为I, ,且且和和函函数数为为)(xS. .下下面面介介绍绍)(xS的的三三个个性性质质. . 性性质质 1 1 )(xS在在 0nnnxa的的收收敛敛域域I内内连连续续. . 性性质质 2 2 )

9、(xS在在 0nnnxa的的收收敛敛域域I内内可可积积, ,且且有有逐逐项项积积分分公公式式： .1d)(100 nnnxxnaxxS且收敛半径仍为R. 第14页/共71页15性性质质 3 3 )(xS在在),(RR 内内可可导导, ,且且有有逐逐项项求求导导公公式式： )(xS .11 nnnxna且收敛半径仍为R. 注注: : ( (1 1) ) 实实际际上上, ,)(xS在在),(RR 内内任任意意阶阶可可导导. . ( (2 2) ) 端端点点处处的的收收敛敛性性可可能能发发生生变变化化. . 第15页/共71页166、幂级数展开式 如果如果)(xf在点在点 0 x处任意阶可导处任意阶

10、可导,则幂级数则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)( 称为称为)(xf在点在点 0 x的的泰勒级数泰勒级数. nnnxnf 0)(!)0(称为称为)(xf在点在点 0 x的的麦克劳林级数麦克劳林级数. (1) 定义第16页/共71页17定理定理 )(xf在点在点0 x的泰勒级数的泰勒级数, ,在在)(0 xU 内收内收敛于敛于)(xf在在)(0 xU 内内0)(lim xRnn. .(2) 充要条件(3) 唯一性定理定理 如果函数如果函数)(xf在在)(0 xU 内内能能展开成展开成)(0 xx 的幂级数的幂级数, , 即即 nnnxxaxf)()(00 , , 则其系数则其系数 ),

11、2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann 且展开式是唯一的且展开式是唯一的. . 第17页/共71页18(3) 展开方法a.直接法(泰勒级数法)步骤:，求求!)()1(0)(nxfann ,| )(|0lim)2()(MxfRnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在收敛区间内收b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.并并求求出出收收敛敛半半径径R； 第18页/共71页19),(,!1!211e2 xxnxxnx,! )12()1(!51!31sin1253 nxxxxxnn),

12、( x,! )2()1(!41!211cos242 nxxxxnn),( x(4) 常见函数展开式第19页/共71页20)1 , 1( x )1(x )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x nxnnxx!)1()1(!2)1(12 ( 不为正整数),110 nnxx)1, 1( x第20页/共71页21典型例题典型例题题型1：判定数项级数的敛散性 例1 11)1(nnnnnnn判别下列级数的收敛性：解nnnnnnnnu)1(1 nnnn)11(21 , )(1 n所以原级数发散第21页/共71页22(88,6(88,6 分分) ) 讨论级数讨论级数 11! )1(n

13、nnn的的敛敛散散性性. . 解例2nnnuu1lim 12)!1()1()!2(lim nnnnnnn1)11(12lim nnnnn,1e1 用比值审敛法, 所以级数收敛。第22页/共71页23( (9 91 1, ,3 3 分分) ) 设设nan10 ( (, 2 , 1 n) )， 则则下下列列级级数数中中肯肯定定收收敛敛的的是是 解例3(A)(A) 1nna (B) (B) 1)1(nnna (C) (C) 1nna (D)(D) 12)1(nnna 由由nan10 ( (, 2 , 1 n) )， 得得 2221|)1( |naannn ， 而而级级数数 121nn收收敛敛， 所以

14、级数所以级数 12)1(nnna绝对收敛绝对收敛. . 【答案】 应选(D). 第23页/共71页24( (9 91 1, ,3 3 分分) ) 设设nan10 ( (, 2 , 1 n) )， 则则下下列列级级数数中中肯肯定定收收敛敛的的是是 解例3(A)(A) 1nna (B) (B) 1)1(nnna (C) (C) 1nna (D)(D) 12)1(nnna ( (A) )、( (C) )反反例例：nan21 ； 【评注】 ( (D) ) 反例：反例： 为偶数为偶数为奇数为奇数nnnan ,21 , 0 . . 第24页/共71页25( (9 94 4, ,3 3 分分) ) 设设常常

15、数数0 ，且且级级数数 12nna收收敛敛，则则 解例4( (A A) ) 条条件件收收敛敛 ( (B B) ) 绝绝对对收收敛敛 ( (C C) ) 发发散散 ( (D D) ) 敛敛散散性性与与 有有关关. . 由于由于 12nna和和 121nn 都是收敛的，都是收敛的， 从而原级数绝对收敛. 由基本不等式可知， , )1(21|222 nanann级级数数 12|)1(nnnna 由由比比较较审审敛敛法法可可知知， 12|nnna 收收敛敛， 【答案】 应选(B). 第25页/共71页26解（A A）若）若 12nnu和和 12nnv都收敛都收敛, ,则则 12)(nnnvu也收敛；也

16、收敛； （B B）若）若 1nnnvu收敛收敛, ,则则 12nnu和和 12nnv都收敛；都收敛； （C C）若正项级数）若正项级数 1nnu发散发散, ,则则nun1 ； （D D）若若 1nnu收收敛敛, ,且且nnvu , ,则则 1nnv也也收收敛敛. . 例5(96,3分) 下列各选项正确的是（ ）. 由正项级数的比较判别法可得结论. 【答案】 应选(A). , )(22)(22222 nnnnnnnnvuvvuuvu 因因为为第26页/共71页27解(A)(A) 1nnu与与 12nnu都收敛；都收敛； (B) (B) 1nnu与与 12nnu都发散；都发散； (C)(C) 1n

17、nu收敛而收敛而 12nnu发散；发散；(D)(D) 1nnu发散而发散而 12nnu收敛收敛. . ( (9595 二二 3)3)设设)11ln()1(nunn , ,则正确的是（则正确的是（ ）. . 1nnu为为莱莱布布尼尼兹兹型型级级数数, ,收收敛敛； 例622)11ln( nun nn112 , 因因 11nn发发散散, , 由由比比较较审审敛敛法法, , 知知正正项项级级数数 12nnu发发散散. . 【答案】 应选(C).第27页/共71页28解( (0000 二二 3) 3) 设级数设级数 1nnu收敛，则下列级数中收敛，则下列级数中必收敛的是（必收敛的是（ ）. . （A

18、A） 1)1(nnnnu （B B） 12nnu （C C） 1212)(nnnuu （D D） 11)(nnnuu 因因为为 1nnu、 11nnu都都收收敛敛, , 所所以以 11)(nnnuu也也收收敛敛. . 例7【答案】 应选(D).第28页/共71页29解（A A） 1)1(nnnnu （B B） 12nnu （C C） 1212)(nnnuu （D D） 11)(nnnuu （A A）反反例例： 1ln)1(nnn； （B B）反反例例： 1)11ln()1(nnn； 例7（C C）反反例例： 1) 1(nnn. . ( (0000 二二 3) 3) 设级数设级数 1nnu收敛，

19、则下列级数中收敛，则下列级数中必收敛的是（必收敛的是（ ）. . 第29页/共71页30解判判断断级级数数 21sinln1nnn的的收收敛敛性性。 因因为为 22lnlndln1xxxx, , 故故 21sinln1nnn与与 2ln1nnn同同敛敛散散, , 由由积积分分判判别别法法知知, , 2ln1nnn发发散散, , 柯柯西西积积分分判判别别法法: :设设函函数数)(xf非非负负, ,单单减减, ,则则级级数数 1)(nnf 与与广广义义积积分分 1d)(xxf同同敛敛散散. . 例8,111sinlimln11sinln1lim nnnnnnnn所以原级数也发散. 第30页/共71

20、页31(03,4(03,4 分分) ) 设设2|nnnaap ，2|nnnaaq ，, 2, 1 n，则下列命题正确的是，则下列命题正确的是 ( (A A) ) 若若 1nna条条件件收收敛敛，则则 1nnp与与 1nnq都都收收敛敛 ( (B B) ) 若若 1nna绝绝对对收收敛敛，则则 1nnp与与 1nnq都都收收敛敛 ( (C C) ) 若若 1nna条条件件收收敛敛，则则 1nnp与与 1nnq的的敛敛散散性性都都不不定定 ( (D D) ) 若若 1nna绝绝对对收收敛敛，则则 1nnp与与 1nnq的的敛敛散散性性都都不不定定 例9【答案】 应选(B). 第31页/共71页32

21、(03,4(03,4 分分) ) 设设2|nnnaap ，2|nnnaaq ，, 2, 1 n，则下列命题正确的是，则下列命题正确的是 例9【评注】 应了解以下结论： ( (1 1) ) 1nnu绝绝对对收收敛敛 12|nnnaa与与 12|nnnaa都都收收敛敛； ( (2 2) ) 1nnu条条件件收收敛敛 12|nnnaa与与 12|nnnaa都都发发散散； (3)(3) 12|nnnaa与与 12|nnnaa一个收敛， 一个发散一个收敛， 一个发散 1nnu发散发散. . 第32页/共71页33解(05,4(05,4 分分) ) 设设, 2 , 1, 0 nan若若 1nna发散，发散

22、， (A) 112nna收收敛敛, 12nna发发散散 (B) 12nna收收敛敛, 112nna发发散散 例10 11)1(nnna收敛，则下列结论正确的是收敛，则下列结论正确的是 收敛级数加括号仍收敛，故(D)正确. （A A） （B B）反反例例：nan1 ； 由性质：正项级数加括号或去括号不改变其敛散性，可判定(C)选项是错误的. (C) )(1212 nnnaa收收敛敛 (D) )(1212 nnnaa收收敛敛 第33页/共71页34敛？如果收敛，敛？如果收敛，是否收是否收判断级数判断级数 1ln)1(nnnn解,1ln1nnn ,11发散发散而而 nn,ln1ln)1(11发散发散

23、 nnnnnnn即原级数非绝对收敛, 0ln11limln1lim nnnnnnn一方面,xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx是条件收敛还是绝对收敛？例11第34页/共71页35,ln)1(1收敛收敛交错级数交错级数 nnnn由莱布尼茨定理知,),0(ln)( xxxxf令令),1(011)( xxxf另一方面,), 1()(上上单单增增在在 xf,ln1单减单减即即xx ,1ln1时单减时单减当当故故 nnn故原级数是条件收敛第35页/共71页36解讨论级数讨论级数 1)22)(2(642)12(531nnnn的敛散性的敛散性. . 记记此此级级数数的的通通项项为为nu,

24、, 22)22(121221243432121 nnnnnun 2)22)(12(1 nn, , 12)22(1 nnun 2/3221n,(,(当当 n) ) 2)22(112221254433221 nnnnn 例12第36页/共71页37而而 12/31nn收敛收敛, , 注： 此题若用比值法注： 此题若用比值法, ,结果是结果是1lim1 nnnuu, ,失效失效. . 12)22(1 nnun 2/3221n,(,(当当 n) ) 由正项级数的比较判别法知,原级数收敛. 本题这种放大通项的办法,有一定的难度. 讨论级数讨论级数 1)22)(2(642)12(531nnnn的敛散性的敛

25、散性. . 例12第37页/共71页38题型题型2 2：求幂级数的收敛域：求幂级数的收敛域 例1( (0 09 9, ,4 4 分分) )幂幂级级数数 12)1(ennnnxn的的收收敛敛半半径径为为 . . 12ennnxn的收敛半径为的收敛半径为e1，而，而 12)1(nnnxn的收敛半径为的收敛半径为1，取两者较小者即可，取两者较小者即可. . 解1lim nnnaaR1122)1(e)1()1(elim nnnnnnn,e1 【评注】 也可以这样求解： 第38页/共71页39解(02,3(02,3 分分) ) 设幂级数设幂级数 1nnnxa与与 1nnnxb的的收敛半收敛半径分别为径分

26、别为35与与31，则幂级数，则幂级数 122nnnnxba的收敛半径为的收敛半径为 例2【答案】 应选(A). ( (A A) ) 5 ( (B B) ) 35 ( (C C) ) 31 ( (D D) ) 51 212122lim nnnnnbaba2121lim nnnnnbbaa.5)31()35(22 第39页/共71页40解(92,3(92,3 分分) ) 求求 124)2(nnnnx的收敛域的收敛域. . nnnnnnnnnxnxxuxu4)2(4)1()2(lim)()(lim21221 22)2(41)1(4)2(lim xnxnn, , 当当 1) 2(412 x, , 即即

27、40 x时时, ,级级数数收收敛敛； 在端点在端点0 x和和4 x处处, ,级数均为级数均为 11nn, ,发散；发散； 所以收敛域为所以收敛域为)4, 0(. . 例3第40页/共71页41解( (数一数一 00,600,6 分分) )求幂级数求幂级数 1)2(31nnnnnx的收敛域的收敛域. . 当当3 x时时, , 而而 121nn发发散散, , 因为因为nnnnn213)2(31 , , 故原级数在点故原级数在点3 x处发散处发散; ; 当当3 x时时, , 例4因因为为nnnn1)2(3)3( 收敛半径 nnRnnnnn )2(3)1()2(3lim11,3 第41页/共71页42

28、且且 11)1(nnn和和 11)2(32nnnnn( (由比值法由比值法) )都收敛都收敛, , 故故原原级级数数在在点点3 x处处收收敛敛, , 所所以以收收敛敛域域为为 ) 3, 3 . . 当当3 x时时, , 因因为为nnnn1)2(3)3( 1)2(31nnnnnx,1)2(321)1(nnnnnn 第42页/共71页43( (0 01 1, ,7 7 分分) ) 已已知知)(xfn满满足足xnnnxxfxfe)()(1 ( (n 为为正正整整数数) )， 且且nfne)1( ， 求求函函数数项项级级数数 1)(nnxf的的和和. . 题型题型3 3：求幂级数的和函数：求幂级数的和

29、函数 例1方方程程化化为为 xnnnxxfxfe)()(1 ， 解由一阶线性方程的通解得 )dee(e)(d1dCxxxfxxnxn )d(e1Cxxnx , )1(eCxnnx 代入条件代入条件nfne)1( ， 得， 得0 C， 所以所以 nxxfnxne)( ， 第43页/共71页44nxxfnxne)( 于是 11e)(nnxnnnxxf 101denxnxxx xnnxxx011de xxxx01de)1ln(exx 收收敛敛域域为为 ) 1, 1 . . 第44页/共71页45( (0 02 2, ,7 7 分分) ) （1 1）验验证证函函数数 ! )3(!9!6!31)(396

30、3nxxxxxyn)( x满满足足微微分分方方程程xyyye ； 例2解（1）易易知知幂幂级级数数 03! )3(nnnx的的收收敛敛域域为为),( ， （2 2）利利用用（1 1）的的结结果果求求幂幂级级数数 03! )3(nnnx的的和和函函数数. . 逐项求导得 ,! )13(!8!5!2)(13852 nxxxxxyn第45页/共71页46,! )13(!8!5!2)(13852 nxxxxxyn,! )23(!7!4)(2374 nxxxxxyn,! )3(!9!6!31)(3963 nxxxxxyn,exyyy 所所以以 yyy .e!3!2132xnnxxxx 第46页/共71页

31、47xyyye )2( 特特征征方方程程 012 rr， 特特征征根根 ir23212 , 1 ， 对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解为为 )23sin23cos(e212xCxCYx ； 设设特特解解为为 xAye ， 代代入入得得 31 A，即即 xye31 ， 所所以以方方程程的的通通解解为为xxxCxCye31)23sin23cos(e212 ， 代代入入初初始始条条件件 1)0( y及及0)0( y， 得得 0,3221 CC， 所以幂级数所以幂级数 03! )3(nnnx的和函数为的和函数为 xxye3123cos32 . . 第47页/共71页48( (0 03 3, ,9 9

32、 分分) ) 求求幂幂级级数数)1| (2) 1()(12 xnxxfnnn的的和和函函数数)(xf及及其其极极值值. . 例3解 112)1()(nnnxxf,12xx 两边0到x积分，得 xxxxfxf02d1)0()(, )1ln(212x 由由1)0( f，得得 )1ln(211)(2xxf ，)1| ( x. . 令令0)( xf, ,得得唯唯一一驻驻点点0 x， 导数左正右负， ,1)(2xxxf 所以所以1)0( f为极大值为极大值. . 第48页/共71页49( (0 05 5, ,9 9 分分) ) 求求幂幂级级数数 12)1121(nnxn在在区区间间)1, 1( 内内的的

33、和和函函数数)(xS. . 例4解设设 12)1121()(nnxnxS， 记记 121121)(nnxnxS， 122)(nnxxS， 则则 )()()(21xSxSxS ，)1, 1( x. . ,1)(22122xxxxSnn )1, 1(,1) )(22121 xxxxxxSnn第49页/共71页50,)1121()(12 nnxnxS,1)(22122xxxxSnn )1, 1(,1) )(22121 xxxxxxSnn,11ln21d1)(0221 xxxxtttxxS由由于于0)0(1 S,故故 ,0 , 0 1|0 ,11ln211)(1 xxxxxxS.0 , 0 1|0 ,

34、1111ln21)(2 xxxxxxxS所以第50页/共71页51(06,10(06,10 分分) )求幂级数求幂级数 1121)12()1(nnnnnx的收敛域及和的收敛域及和函数函数)(xS. . 例5解当当1|2 x，即即1| x时时，幂幂级级数数收收敛敛； )12()1()12)(1()1(lim12132 nnxnnxnnnnn,|2x 当当1| x时时，幂幂级级数数发发散散； 当当1 x时，级数时，级数 11)12()1(nnnn、 1)12()1(nnnn均收敛，均收敛， 所所以以收收敛敛域域为为 1, 1 . . 第51页/共71页52 1121)12()1()(nnnnnxx

35、S 121)12(2)1(2nnnnnxx, )(21xxS ,)12(2)1()(1211 nnnnnxxS,12)1()(11211 nnnnxxS 12211)1()(nnnxxS,112x ,arctand11)0()(0211xttSxSx 0)0(1 S，所所以以 xxSarctan)(1 ， xtSxS011darctan)0()(, )1ln(21arctan2xxx ,0)0(1 S所以所以)1ln(21arctan)(21xxxxS ， 第52页/共71页53, )(2)(1xxSxS )1ln(21arctan)(21xxxxS 故故 )1ln(arctan2)(22xx

36、xxxS . . 由于所给幂级数在由于所给幂级数在1 x处都收敛处都收敛, ,且且)(xS在在1 x处连续，故上式在处连续，故上式在1, 1 成立成立. . 第53页/共71页54答案:求幂级数求幂级数 121) 12(11 () 1(nnnxnn的收敛的收敛区间与和函数区间与和函数. . 类题05(16)12, )1ln(arctan21)(222xxxxxxf .1 x第54页/共71页55( (9 99 9, ,3 3 分分) ) 级级数数 )21(11 nnn. . 题型题型4 4：求数项级数的和：求数项级数的和 例1令令 11)(nnnxxS， 解于于是是 4)21()21(11 S

37、nnn. . )()( 1 nnxxS则则)1( xx,)1(12x 1| x第55页/共71页56解求级数求级数 022)1()1(nnnnn的和的和. . 原原式式 02)21()21)(1(nnnnnn, , 322/111)21(0 nn, , 2)1(nnxnn 222)1(nnxnnx )(22 nnxx )111(2 xxx 32)1(2xx , , 1| x； 将将21 x代代入入, , 得得 274)21)(1(2 nnnn, , 所所以以原原式式272232274 . . 例2(93五7)第56页/共71页57( (9 98 8, ,6 6 分分) ) 设设有有两两条条抛抛

38、物物线线nnxy12 和和2) 1(xny 11 n，记记它它们们交交点点的的横横坐坐标标的的绝绝对对值值为为na， （1 1）求求这这两两条条抛抛物物线线所所围围成成的的平平面面图图形形的的面面积积nS； （2 2）求求级级数数 1nnnaS的的和和. . 例3解解解方方程程组组 11) 1(122nxnynnxy 得得 )1(12 nnx， 从从而而 )1(1 nnan. . 第57页/共71页58xyo)1(1 nnan nanxnxnnnxS022d11) 1(12 naxxnn02d)1(12,)1()1(134 nnnn因因此此 )1(134 nnaSnn)111(34 nn， 于

39、于是是 1nnnaS)111(34lim nn34 . . 第58页/共71页59( (0 00 0, ,6 6分分) )设设 40dcossin xxxInn, , 1 , 0 n， 求求 0nnI. . 例4解 40dcossin xxxInn 40sindsin xxn401sin11 xnn ,)22(111 nn 010)22(11nnnnnI,)22(11 nnn所以考虑幂级数 ,)(1 nnnxxS,11)(11xxxSnn 1| x 01d)0()(xxSxS, )1ln(x 11 x所以. )22ln()221ln()22(0 SInn第59页/共71页60( (+ +0 0

40、8 8, ,9 9 分分) )利利用用正正项项级级数数判判敛敛方方法法说说明明级级数数 1211nnnn 是是收收敛敛的的； （2 分分） （2）求求出出上上面面收收敛敛级级数数的的和和。 （7 分分） 。 解例5(1)0211 nnnna，正正项项级级数数， nnnaa1lim 所以级数收敛； 考虑幂级数考虑幂级数 11nnxnn， (2)它它的的收收敛敛域域是是 )1, 1( ； nnnnnnn2112121lim1 用比值判别法，,121 第60页/共71页61考虑幂级数考虑幂级数 11nnxnn， (2)它它的的收收敛敛域域是是 )1, 1( ； 和函数 11)(nnxnnxS 1)1

41、11(nnxn 1111nnnnxnx, )(111xSxxx 0 x其其中中 11111)(nnxnxS， 逐项求导，逐项求导， 11)(nnxxSxx 1， 第61页/共71页62, )(11)(1xSxxxxS 0 x所以所以 1211nnnn)21(S 2ln22 . . xxxS 1)(1所以)0(d1)(101SxxxxSx , )1ln(xx 于是)(11)(1xSxxxxS )1ln(11xxxxx , )1ln(111xxx ,1|0 x第62页/共71页63( (9 95 5, ,6 6 分分) ) 将将函函数数)21ln(2xxy 展展开开成成 x 的的幂幂级级数数，并并指指出出其其收收敛敛域域. . 题型题型5 5：将函数展开成幂级数：将函数展开成幂级数 例1解利利用用展展开开式式 11)1()1l