随机样本和抽样分布PPT课件

1、 4.1.1 4.1.1 总体与样本总体与样本第1页/共47页总体总体 研究对象全体元素组成的集合 所研究对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X . X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.一、基本概念一、基本概念第2页/共47页样本样本 从总体中抽取的部分个体.称 为总体 X 的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现.),(21nxxx),(21nXXX用 表示, n 为样本容量.样本空间样本空间 样本所有可能取值的集合. 个体个体 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机变量 X 的某个取值.用 表示.iX第3页/共

2、47页若总体 X 的样本 满足:),(21nXXX一般,对有限总体有限总体,放回抽样放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样不放回抽样代替.而代替的条件是nXXX,21(1) 与X 有相同的分布nXXX,21(2) 相互独立12n( X ,X ,X )则称 为简单随机样本.简单随机样本简单随机样本N / n 10.总体中个体总数总体中个体总数样本容量样本容量第4页/共47页设总体 X 的分布函数为F (x),则样本121( ,)( )nniiFx xxF x总若总体X 的d.f.为 f( x),则样本121nniif ( x ,x ,x )f( x )总的联合 d.f.

3、为),(21nXXX的联合分布函数为第5页/共47页设 是取自总体X 的一个样本, ),(21nXXX12nf(r ,r ,r )为一实值连续函数,且不含有未知参数,12nf( X ,X ,X )则称随机变量为统计量统计量.12nf ( x ,x ,x )12n( x ,x ,x )若是一个样本值,称12nf( X ,X ,X )的一个样本值为统计量统计量第6页/共47页例例 是未知参数未知参数, 22, ),(NX若 , 已知,则为统计量niiniiXXnSXnX122111,1是统计量, 其中),(2NXi是一样本,),(21nXXX则但niiX1221不是统计量.第7页/共47页常用统计

4、量常用统计量niiXnX11) 1 (为样本均值样本均值niiXXnS12211)2(为样本方差样本方差niiXXnS1211为样本标准差样本标准差),(21nXXX设是来自总体 X 的容量为 n 的样本,称统计量第8页/共47页113nkkii( )Xn为样本的k 阶原点矩原点矩例如1X第9页/共47页例例 从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件, 测得其重量为(单位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩.解解),(1021xxx令210 243 185 240 215228 196 2

5、35 200 199(,)第10页/共47页43.433)(9110122iixxs10221147522.510iix19.217)199200235196228215240185243230(101x则则第11页/共47页 确定确定统计量的分布统计量的分布是数理统计的基是数理统计的基本问题之一本问题之一. . 正态总体正态总体是最常见的总体是最常见的总体, ,本节介本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言绍的几个抽样分布均对正态总体而言. .抽样分布第12页/共47页二、统计中常用分布二、统计中常用分布(1)(1) 正态分布正态分布特别地特别地, ,nNXnXnii21,1则若nXXX,21

6、),(2iiN则niiiniiiniiiaaNXa12211,),(2NXi若nXXX,21若Xi相相互互独独立立中心极限定理中心极限定理第13页/共47页标准正态分布的 分位数定义定义分布的 分位数.若 ，则称u为标准正态P( Xu )正态分布的双侧 分位数.若 , 则称u/2为标准/ 2P( Xu)第14页/共47页标准正态分布的 分位数图形 0.050.0250.0051.6451.962.575uuu-2-1120.10.20.30.4u 常用数字-2-1120.10.20.30.4/2 /2 u/2-u/2第15页/共47页(2)(2)2( )n分布分布 ( n为自由度 )定义定义

7、设nXXX,21相互独立,且都服从标准正态分布N (0,1),则niinX122)(n = 1 时,其密度函数为0, 00,21)(221xxexxfx2468100.20.40.60.811.2第16页/共47页n = 2 时,其密度函数为0, 00,21)(2xxexfx为参数为1/2的指数分布.2468100.10.20.30.4第17页/共47页222121,02( )( )0,0 xnnne xxf xx一般其中，01)(dtetxtx在x 0时收敛，称为函数，具有性质)(!) 1()2/1 (, 1) 1 (),() 1(Nnnnxxx)(2n的密度函数为自由度为 n 的第18页/

8、共47页5101520250.10.20.30.4n=2n = 3n = 5n = 10n = 15 第19页/共47页nnDnnE2)(,)(122例例)(,),(),(22122121222121nnXXXXnXnX则相互独立，若正态分布时，)(32nn分位数有表可查分布的上)(42n分布的性质分布的性质2( )n20.05(10)51015200.020.040.060.080.1n = 1020.052(10)18.307(10)18.3070.05P第20页/共47页(3) (3) t t 分布分布 (Student 分布)定义定义则称 T 服从自由度为 n 的T 分布.其密度函数为

9、nYXT tntnnntfn2121221)(),(, ) 1 , 0 (2nYNXX ,Y相互独立,设第21页/共47页t 分布的图形(红色的是标准正态分布)n = 1n=20-3-2-11230.10.20.30.4第22页/共47页t 分布的性质分布的性质1f n(t)是偶函数,2221)()(,tnettfn2T 分布的 分位数 t 与双测 分位数 t/2 均 有表可查.第23页/共47页-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35n = 101tttTP0.051.81250.05(10)1.8125P Ttt-t1.81250.05,1.81250.95P

10、TP T8125. 1)10(95. 0 t第24页/共47页2/2/2)(tTPtTP-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35t/2-t/22281. 2)10(05. 02281. 2025. 02281. 2025. 0tTPTP/2/2第25页/共47页(4) F 分布分布则称 F 服从为第一自由度第一自由度为n ,第二自由第二自由度度为 m 的F 分布分布. . 0, 001222),(2122tttmntmnmnmnmntfmnnn其密度函数为定义定义),(),(22mYnXX, Y 相互独立，设mYnXF/令第26页/共47页F 分布的性质分布的性质1

11、( , ) ,1/( , )FF n mFF m n若则1234560.10.20.30.40.50.6例如),(1),(1nmFmnF事实上,19. 51) 5 , 4 (1) 4 , 5 (05. 095. 0FF故),(:),(),(2mnFFPmnFmnF有表可查分位数的上求F(n,m)19. 5) 5 , 4 (05. 0F?) 4 , 5 (95. 0F第27页/共47页),(1mnFFP),(111mnFFP故),(1nmFF由于),(1111mnFFP1),(),(11nmFmnF因而),(111mnFFP例例 证明),(1),(1nmFmnF证证第28页/共47页 三、抽三、

12、抽样分布的某些结论样分布的某些结论() () 一个正态总体一个正态总体) 1() 1(22122nXXSnnii22) 1(Sn 与X相互独立设总体1,nXX,样本为( )，),(2nNX) 1 , 0( NnX) 1(nTnSXSnX(1)(2)2( ,)XN 第29页/共47页( II ) 两个正态总体两个正态总体niiniiXXnSXnX12211)(111令mjjmjjYYmSYmY12221)(111相互独立的简单随机样本.设nXXX,21与mYYY,21分别是来),(211NX自正态总体),(222NY与的第30页/共47页则) 1() 1() 1() 1(2222222121mS

13、mnSn) 1, 1(22222121mnFSS若21则) 1, 1(2221mnFSS(3)第31页/共47页则),(1),(1221211mNYmYnNXnXmjjnii1222()()(0,1)XYNnm),(2221mnNYX相互独立的简单随机样本.设nXXX,21与mYYY,21分别是来21(,)XN 自正态总体22(,)YN 与的第32页/共47页) 1() 1() 1() 1(22222221mSmnSn222221) 1() 1(SmSn) 2(2mnYX 与222221) 1() 1(SmSn相互独立第33页/共47页2) 1() 1()()(2222212221mnSmSn

14、mnYX2) 1() 1(11)()(222121mnSmSnmnYX) 2(mnt(4)第34页/共47页的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?例例 设设(72 ,100)XN ,为使样本均值大于70解解 设样本容量为 n , 则)100,72(nNX故)70(1)70(XPXPn1072701n2 . 0令9 . 02 . 0n得29. 12 . 0n即6025.41n所以取42n第35页/共47页例例 从正态总体),(2NX中，抽取了 n = 20的样本1220(,)XXX(1) 求22012276. 120137. 0iiXXP(2) 求22012276. 120137. 0iiX

15、P解解 (1)19(11922012222iiXXS即) 1() 1(222nSn第36页/共47页22012276. 120137. 0iiXXP故2 .3514 . 720122iiXXP2 .3514 . 712012220122iiiiXXPXXP98. 001. 099. 0查表第37页/共47页(2) (2) )20(22012iiX22012276. 120137. 0iiXP故2 .354 . 72012iiXP2 .354 . 720122012iiiiXPXP97. 0025. 0995. 0第38页/共47页例例 设r.v. X 与Y 相互独立，X N(0,16), Y

16、N(0,9) , X1, X2 , X9 与Y1, Y2 , Y16 分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本, 求统计量1292221216XXXZYYY所服从的分布.解解)169, 0(921NXXX)1, 0()(431921NXXX第39页/共47页16, 2, 1,) 1 , 0(31iNYi)16(3122161iiY16314311612921iiYXXX)16( t2162221921YYYXXX从而第40页/共47页第41页/共47页第42页/共47页例例 在总体 中,随机抽取一个容量为36的样本,求样本均值 落在50.8到53.8之间的概率.)3 . 6,52(2NX解解)36/3 . 6,52(2NX故6/ 3 . 6528 .506/ 3 . 6528 .53)8 .538 .50( XP8239. 0)1429. 1()7143. 1 (第43页/共47页例例 设总体X 的概率密度函数为1