第十二章离散小波变换

1、Digital Signal Processing Digital Signal Processing q小波函数尺度离散化方法 ,1( )(),0,attaaa 210120000000,1,.,.jaaajZaa aaaa或幂级数基底a0的取值反映了尺度离散化程度 a0越接近1，离散化程度越低,越大于1，离散化程度越高 离散化程度高，从离散小波变换结果恢复（重建）分析信号的难度就越大，对母小波的要求越高 尺度参数离散化的常用幂级数基底a0=2 Digital Signal Processing q小波函数位移离散化方法 位移 的离散化间隔 001aa00,kkZ 位移 的离散化间隔 01j

2、aa00( )()jjata taa在时间方向扩展倍00,jk akZ00jaDigital Signal Processing q小波函数离散化 00000,000,( )()( ),jjjjjaa akaaktaa tktjkZ00*00,( , )(,)( )( )jjxxakWTj kWT akx tt dtq离散小波变换 离散小波变换中的“离散”含义是指对尺度参数和位移参数进行离散化，并没有对分析信号和小波函数中的时间变量进行离散化 Digital Signal Processing q尺度和位移离散化的规则 Digital Signal Processing q框架定义( ),kt

3、 kZ0AB 222( )( ),( )( )kkA x tx ttB x t2( ),( )kt kZL R称构成空间的一个框架 ( )( ),( )kkT x tx tt框架甚至是紧框架不一定能构成空间的的一个基。这意味着任一信号按基函数 展开时，其展开系数不一定具有唯一性 ( ),kt kZDigital Signal Processing q对偶框架 1*( )( ),kktF Ft kZ22211( )( ),( )( )kkBx tx ttAx tq原函数的重建 ( )( ),( )( )jjjx tx ttt( )( ),( )( )jjjx tx tttDigital Sign

4、al Processing q对偶框架的计算和原函数的重建 当 时1AB( )( )jjtt( ),，jtjZ构成正交基信号分解具惟一性( )( ),( )( )jjjx tx ttt当 时，紧框架 1AB信号分解不具惟一性1( )( )jjtAt1( )( ),( )( )jjjx tAx ttt最经济重建公式Digital Signal Processing 当 时AB2( )( )jjttAB对偶框架的一阶近似2( )( ),( )( )( )2( ),( )( ),jjjjjjx tx tttRx tABBAx tttRABBA近似重建公式0112( )( ),( )( )2( )(

5、)( ),( )( ),( )( )jjjNNjNjjjx tx tttABxtxtx ttxtttAB精确重建递推公式Digital Signal Processing q小波框架 小波框架的定义 尺度、伸缩离散化构成的函数簇 00,( ),jaktjZkZ00222,( )( ),( )( )jakjkA x tx ttB x t00,0( ),jakABtjZkZ 当构成小波框架小波框架的频域表示 00002lnln1220( )aaAdB Digital Signal Processing 对偶小波框架和信号重建当 时1AB当 时，紧框架 1AB0000,( )( )jjakaktt0

6、0000000,( )( ),( )( )( )( )jjjjakakakakjkjkx tx tttWTtt00001,( )( )jjakaktAt000000001,1,( )( ),( )( )( )( )jjjjakakjkakakjkx tAx tttAWTtt当 时AB0000,2( )( )jjakakttAB0000,2( )( )( )jjakakjkx tWTttABDigital Signal Processing q连续小波变换离散化参数和框架的关系 21/42/22( )(1)3ttteDigital Signal Processing q小波框架的性质 满足框架条

7、件的小波函数必然是允许小波 离散小波变换不具备时移不变特性 Digital Signal Processing 离散小波的重建核方程 00,0 000000,000 0000000,0 0000*000*,*,00,1(,)( )( )1( )( )( )1( )( )( )1( )(,; , )jakjjjakjjjakjjxakakjkakakjkakjkWT akx tt dtAWTttt dtAWTttt dtAWTt Kj kj kA000000,0 000 00*00,(,; , )( )( )( ),( )jjjjakakakakKj kj ktt dttt正交小波基：00(,;

8、 , )() ()Kj kj kjjkkDigital Signal Processing q小波级数 离散化尺度的幂级数基底和位移离散化参数 的离散小波变换 002,1a定义 R小波 和 Riesz基 00,2 ,( )( )( ),jjj kkaktttjZkZ2,( )j kclZ222,( )j kj kj kj kjkA cctB c,( ),j ktjZkZR小波与框架小波相比，具有更高的要求 Digital Signal Processing 小波级数表达式 ,( )( )j kj kjkx tdt对偶R小波 , ( ),( )() ()j kj kttjjkk,( ),( )j

9、 kj kdx tt,( )( ),( )( )j kj kjkx tx ttt,( )( ),( )( )j kj kjkx tx ttt计算小波级数的关键是寻找R小波和求解对偶小波 Digital Signal Processing q小波分类 正交小波 是一个R小波 ( ) t 满足正交性条件 , ( ),( )() ()j kj kttjjkk正交小波具有自对偶 ,( ),j ktjZkZ,( )( )j kj ktt小波级数系数 ,( ),( )j kj kdx ttDigital Signal Processing 半正交小波 是一个R小波 ( ) t 仅在尺度方向满足正交性条件

10、对偶小波 ,( ),j ktjZkZ小波级数系数 ,( ),( )()j kj kttjj2( )( )(2)kk ,( ),( )j kj kdx ttDigital Signal Processing 半正交小波 是一个R小波 ( ) t 尺度和位移方向均不满足正交性条件 对偶小波与原R小波在尺度和位移方向正交,( ),j ktjZkZ小波级数系数 ,( ),( )j kj kdx tt, ( ),( )() ()j kj kttjjkkDigital Signal Processing q小波函数的重要特性 正交性 适合重建精确度和数据压缩 紧支撑性 减少截断误差影响信号重建精确度 线性

11、相位性 小波函数具有奇对称或偶对称性减少相位失真 Digital Signal Processing 尺度和位移都离散化的离散小波变换牺牲了位移不变性 二进小波变换只对尺度进行离散化处理位移仍连续变化 00/22 ,( )( )2(),2jjjjattt 二进小波变换在信号的奇异性检测和图像处理方面有着广泛应用 Digital Signal Processing q二进小波变换 定义 /2,( , )( )*( )2( )()2jxkkjtWTjx ttx tdt二进小波变换定义成卷积形式，CWT是内积形式 ( )()tt定义/2,/2,( , )( )*()2( ) ()22sgn( )(

12、),( )jxkkjjktWTjx ttx tdtjx ttDigital Signal Processing 二进小波的逆变换 二进小波构成框架小波时 222,( )( ),( )( )jjA x tx ttB x tA=B=1 A=B!=1 A!=B,( )( )jjtt,( )( , )( )xjjx tWTjt d,( )( )jjtt1,( )( , )( )xjjx tAWTjt d,1( )( , )( )xjjx tWTjt dABDigital Signal Processing q二进小波的其它要求 二进小波以2为基底的尺度二进剖分之后，要求小波尺度函数 的频谱能够覆盖整个

13、频率轴 1012,2 ,2 ,.,( ),( ),( ).ttt小波函数的频域局域化指标 *2 ,( )22 ,2222jjjjjt中心频率和带宽之比 *rDigital Signal Processing 小波尺度伸缩后覆盖频谱情况 r=3/2,正好无缝对频率轴实现二进剖分 1设r3/2,设r=2 *21221221222 ,2222313131313131.44,4422,2211,11 .222222222222.4,82,41,2 .8,44,22,1jjjjj zjjjjjjjjj .相邻二进小波之间的频带相互重叠 相邻二进小波之间的频带存在间隔 Mexican Hat小波 */0.

14、25/0.2251.11r Digital Signal Processing 框架理论给出了正交小波需要满足的条件 如果找到正交小波可将 空间的函数转换成 空间的数列 2( )L R2( )lZ,( )( )j kj kjkx tdt如何寻找频率特性好的正交小波？ 多分辨率分析MRA不但为离散小波变换提供了快速算法，也为正交或双正交小波基的构造提供了一种通用方法 Digital Signal Processing q信号的频域二进剖分 MRA在不同尺度（频域区间）对信号进行观察 大尺度（长时间窗）观察信号全貌或信号的缓变成份，或对信号进行粗略逼近 小尺度（短时间窗）观察信号局部或信号的快速变

15、化成份 信号在频域的二进剖分（频率已归一化）Digital Signal Processing 频域剖分过程就是不断滤波过程Digital Signal Processing 频域剖分至第J级时，信号的分解形式120JJVWWWVWj是各级分解的细节成份，由低通滤波得到 Vj是各级分解的近似成份，由高通滤波得到 Wj与WJ正交，频域互不重迭，频域的分解具有恒Q特性 ijWW*132jj12jjB*23jjBQDigital Signal Processing q信号的多分辨率分析 多分辨率分析指满足下列条件的一个空间序列 ,jVjZ一致单调性 逼近性 尺度伸缩规则 固定尺度下的平移不变性 正交

16、基存在性 012.VVV 20 ,( )jjj Zj ZVVL R1( )(2 ),jjx tVxtVjZ( )()jjx tVx tnV0() ,(), ()()Vspantntjtjjj(),tn nZ一个多分辨率分析对应一个尺度函数 Digital Signal Processing V3V0V1V2多分辨率分析的空间示意图 Digital Signal Processing 小波空间和小波函数 尺度空间之间相互包含不具有正交性 定义尺度空间的正交补空间 1jjjjjVVWWV称 是小波空间 ,jWjZ小波空间示意图V1W2W3V3V0V2W1Digital Signal Process

17、ing 正交基存在性： 小波空间的特性 正交性 逼近性 尺度伸缩规则 , , ,jkWWjk j kZ2( ),jL RWjZ 1( )(2 ),jjx tWxtWjZW1空间的一组正交基 (),tn nZ1() ,(),()()Wspantntjtjjj一个多分辨率分析对应一个小波函数 Digital Signal Processing q信号的多分辨率分析 对 空间按如下方式分解 2( )L R2( )JjJjL RWV计算信号x(t)在各空间下的投影 ,( )( )( )Jj kj kJ kJ kjkkx tdtct 当分解尺度J趋向无穷大，信号全部分解在小波空间 ,( )( )j kj

18、 kjkx tdt 0JV 小波级数分析时框架常数A=B=1时信号重建公式，与上式完全相同。MRA分析从空间二进剖分角度得到了信号的正交小波分解 Digital Signal Processing q尺度函数和小波函数的性质 不同位移的两个尺度函数正交 , ( ),( )()j kj kttkk小波函数的伸缩平移函数对尺度和平移参数正交 , ( ),( )() ()j kj kttjjkkWj和Vj空间正交 , ( ),( )()j kj kttkkDigital Signal Processing qMRA分析中的双尺度方程 V0空间的一次分解011VVWV0空间正交基(),tn nZV1空

19、间的尺度函数 在V0空间展开 W1空间的小波函数 在V0空间展开 1,0( ) t1,0( ) t1,01( )( )( ) ()22ntth ntn1,01( )( )( ) ()22nttg ntn*1,0( )( ), ()2( )(2 )h nttnttn dt*1,0( )( ), ()2( )(2 )g nttnttn dtDigital Signal Processing MRA分析的双尺度方程 1,01( )( )( ) ()22ntth ntn1,01( )( )( ) ()22nttg ntnVj空间的分解 11jjjVVW1()2( ) ()22jjntth nn1()2

20、( ) ()22jjnttg nnMRA分析的表示方法MRA分析的表示方法( )( ),( )( )tth ng n与或与Digital Signal Processing q信号在MRA分解空间上的投影设信号在Vj-1空间的投影是:1,jncnZ1,1,( )( )jnjnnx tct1,1,( ),( )jnjncx ttVj空间的投影与Vj-1空间投影的关系,1,1,1,1,( ),( )( ),( )( ),( )j kj njnjnj njnjnj nnncx ttcttctt1221,11*( ),( )2()2()221( ) ()()2221(2 ) ( )()(2 )22jj

21、jnj njjjttttnk dttttnk dtttunku dtkuh nk令令*,1,(2 )j kjnncch nkDigital Signal Processing Wj空间的投影与Vj-1空间投影的关系*,1,(2 )j kjnndcg nkMRA投影过程 Digital Signal Processing MRA分解的滤波器实现 Vj空间的投影与Vj-1空间投影关系的滤波器结构*,1,(2 )j kjnncch nk*1,1,( )( ()()jnjnnny kchknch nk( )y kWj空间的投影与Vj-1空间投影关系的滤波器结构Digital Signal Proces

22、sing MRA分析分解过程的完整滤波器实现结构 Digital Signal Processing q信号空间分解的重建过程 设信号在空间Vj的投影序列是:设信号在空间Wj的投影序列是:,j kckZ,j kdkZ设信号在空间Vj-1的投影序列是:1,jkckZ1jjjVVW1, ( )( )( )jj kj kj kj kkkPx tctdt1,11,1,1, ( ),( )( ),( )( ),( )jkjjkj kj kjkj kj kjkkkcPx ttcttdtt*,1,1,( ),( )(2 ),( ),( )(2 )j kjkj kjktth nkttg nk因为*1,(2 )

23、(2 )jkj kj kkkcch nkdg nk所以空间Vj的投影和Wj空间投影重建Vj-1空间投影Digital Signal Processing 空间Vj的投影和Wj空间投影重建Vj-1空间投影的滤波结构*1,(2 )(2 )jkj kj kkkcch nkdg nk序列 经过 滤波输出 ,0,j kj kckek为奇数为偶数*( )h n*,( )()(2 )j kj kkky neh nkch nk序列 经过 滤波输出 ,0,j kj kdkek为奇数为偶数*( )gn*,( )()(2 )j kj kkky neg nkdg nkDigital Signal Processing

24、 空间Vj的投影和Wj空间投影重建Vj-1空间投影的完整滤波结构Digital Signal Processing q信号空间分解的滤波器实现结构-Mallta算法 Digital Signal Processing qMRA分析的表示方式 尺度函数的小波函数(适合CWT和二进WT)高通滤波器g(n)和低通滤波器h(n),适合离散正交小波变换通过滤波器组的精确重建理论寻找小波函数Digital Signal Processing qMRA分析的一级空间分解和一级空间综合一级空间分解和一级空间综合的滤波器实现结构分解结果不作任何处理时，综合结果必须与输入完全.实际上相当于双通道滤波器的精确重建

25、问题Digital Signal Processing qMRA分析滤波器组需要满足的条件双通道滤波器的精确重建条件( )( )( )( )kH z H zG z G zcz()( )()( )0Hz HzGz G zMRA分析对滤波器组的要求(主要是各空间之间的正交性)( )( )()()2H z HzHz Hz( )( )()()2G z G zGz Gz11( ) ()() ()0H z G zHz Gz滤波器的频率特性要求h(n)有好的低通特性,g(n)有好的高通特性h(n),g(n线性相位性等Digital Signal Processing qMRA分析和精确重建的双通道滤波器组的

26、解 Daubechies给出的CQF形式解 11( )2( )2pzH zF z12011 cos()2jpjjpjF ej P=2时 121()2cos2( ) ()222jjjeezzF eF z F z11( )(13)(13)2F zz112 1( )() (13)(13)22zH zzDigital Signal Processing q双正交小波 分析滤波器H(z)和G(z)满足正交性要求时，滤波器会失去对称性,不能满足线性相位特性 放弃H(z)和G(z) 正交性约束，换取线性相位特性 Digital Signal Processing q由滤波器组参数推导小波函数和尺度函数 MR

27、A分析与滤波器精确重建理论一致 通过滤波器的精确重建理论可计算重建滤波器组 通过滤波器组计算小波函数和尺度函数的意义 计算的小波函数可用于CWT或二进小波变换 通过对小波函数和尺度函数频谱分析可评价小波分析质量MRA分析时只需用到滤波器组的四个滤波器 Digital Signal Processing 时域迭代法 10( )2( ) (2)Nnth ntn双尺度方程1110( )( )2( )(2)NkkkntTth ntn000( )0,1,sup ( )0,tptt设初值属于紧支集0(21)limsup ( )lim 0,0,12kkkkktNptN并不是所有h(n)都能迭代收敛 Digi

28、tal Signal Processing 逐点计算法 ( ),0,1,.,1h n nN0j (0)2(0) (0)(1)2(0) (2)(1) (1).(1)2(0) (2)(1) (1)hhhNhh100,1,2,.,1,( )2( ) (2)NntNth ntn令代入得1j 101 3210,.( )2( ) ()2 222NnNtth ntn令,代入得(1/2), (3/2), (5/2),. (2(1)/2)NDigital Signal Processing 频域迭代法 10( )2( ) (2)Nnth ntn1122001( )2( ) (2)( )( )21() ()222

29、NNjnjtj tnnh ntn edth n et edtH 10( )( )Nj nnHh n e其中( )( )j tt edt 01( )( )2HHDigital Signal Processing 频域迭代法 反复回代得:0( )cosH例120111200( )cos(2)cos(2) . cos(2).sin(2)sin(2)sin(2).2sin(2) 2sin(2)2sin(2)sin(2)lim2sin(2)sin(2)sinlim22kkkkkkkkk Digital Signal Processing 频域迭代的数值解 201( )()kkzHzDigital Sig

30、nal Processing q小波采样的初始化 离散小波变换需要知道初始序列（或称为小波采样值） 0kc最简单的方法是将奈氏采样序列 当作小波的初始序列 ( )x n利用MRA对奈氏序列的小波分解后可精确重建奈氏序列的小波变换结果与小波采样结果之间存在偏差奈氏序列的小波变换结果处理后的重建结果同样还与期望之间产生偏差结论:离散小波变换最好对小波采样实施,否则会引入采样误差Digital Signal Processing 小波变换特别适合捕捉信号中的低能量的瞬变部分 典型应用 间断点（第I类和高阶导数不连续点）检测 信号趋势 自相似性 数据压缩 消噪 Digital Signal Proce

31、ssing 例12-8-1matlab软件中包含一个第I类间断点的信号nearbrk.dat，试用DFT变换和离散小波变换检测该不连续点 Digital Signal Processing q一维离散小波变换的消噪过程根据信号特性和分析要求选择小波函数确定分解层数 对采样信号进行离散小波分解 对小波分解最底层的低频系数和各层的高频系数进行硬阀值或软阀值处理 利用阀值处理后的最底层的低频系数和各层的高频系数进行小波重构 Digital Signal Processing 例12-8-2设信号，其中是零均值、方差等于0.5的高斯白噪声，试用离散小波变换对其实施消噪处理。 THR,SORH,KEEP

32、APP,CRIT = ddencmp(IN1,IN2,X) XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2 = wdencmp(gbl,X,wname,N,THR,SORH,KEEPAPP) Digital Signal Processing qMRA分析过程的空间剖分特点 V0W1W1V1V2W2W3V3W2W1V0W1V1V2W2W3V3小波空间的分辨率不够 信号落在小波空间中带宽很窄，则信号的特征可能会被大空间中的其它成份所掩盖 Digital Signal Processing q理想的小波包时频空间分解 12,12(),(),0,j nj nutk kZutk kZnn2,(),(

33、)ij niutk kZL RDigital Signal Processing q最优小波基 针对每一类待分析信号，选定小波包，信号由不同的子空间组合构成。Digital Signal Processing q正交小波包变换 第j级的第n个子空间 ,(),j nutkkZ第j级的第n个子空间奇偶分解,2,( )2(2)jnkj nuth utk,21,( )2(2)jnkj nutg utk当n=0,j=11,01,00,0( )2(2)( )( )kuth utktt1,11,00,0( )2(2)( )( )kutg utkttDigital Signal Processing 例，HARR小波包的空间分解 1,