高等数学——极限PPT课件

1、邻域邻域第1页/共71页AnNAAnxn目的：AxANnNAxnnn , 0lim时，有使得自然数要找到一个第2页/共71页NAAA 越来越小，N越来越大！nxn第3页/共71页趋势不定趋势不定收收 敛敛发发 散散第4页/共71页1nxn1n21031041051061071081091010101110nxO第5页/共71页1n21031041051061071081091010101110nxOnxn11第6页/共71页nnxOnnxOnxn第7页/共71页nxnnx) 1(nO10111213141516171819202120212223242526272829303130313233

2、3435363738394041n11目标不惟一！第8页/共71页一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :1.3.2 函数的极限 第9页/共71页xx这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点演示表明：在直线上无论x是趋于 ，还是趋于 ，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点顶点！第10页/共71页|

3、xx xxxxxx |记为AxfAxfAxfxxx)(lim )(lim)(lim且因此，我们得到无穷远处函数极限的关系如右：x| x0第11页/共71页1. 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积测量正方形面积.面积为面积为A )边长为边长为(真值真值:边长边长面积面积直接观测值直接观测值间接观测值间接观测值任给精度任给精度 , 要求要求确定直接观测值精度确定直接观测值精度 :第12页/共71页在点在点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,当当时时, 有有则称常数则称常数 A 为函数为函数当当时的极限时的极限,或或即即当当时时, 有有若若记作记作几何解释几何解释:极

4、限存在极限存在函数局部有界函数局部有界这表明这表明: 第13页/共71页xOy0 x)(xfy AAA0 x0 x 目的：对任意的0, 要找0，使得0|x-x0| 时，有|f(x)-A|.即 A f(x) A.哈哈, 找到了!第14页/共71页xOy0 x)(xfy A1A1A0 x0 x 1 1 1 1目的：对任意的0, 要找0，使得0|x-x0|时，有|f(x)-A|.即 A f(x) A.哈哈, 找到了!第15页/共71页讨论讨论 时时的极限是否存在的极限是否存在 . 解解:因为因为显然显然所以所以不存在不存在 .第16页/共71页思考与练习思考与练习1. 若极限若极限存在存在,2. 设

5、函数设函数且且存在存在, 则则是否一定有是否一定有？第17页/共71页1. 无穷大不是很大的数无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大函数为无穷大 , 必定无界必定无界 . 但反之不真但反之不真 !例如例如, 函数函数当当但但所以所以时时 ,不是无穷大不是无穷大 !第18页/共71页若为无穷大,为无穷小 ;若为无穷小, 且则为无穷大.则据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明:第19页/共71页定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 .说明说明: 无限个无穷小之和不

6、一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，例如， 有限个无穷小之差仍为无穷小有限个无穷小之差仍为无穷小 . 第20页/共71页推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小 .第21页/共71页解解: 利用定理利用定理 2 可知可知说明说明 : y = 0 是是的渐近线的渐近线 .第22页/共71页 第一章第一章 都是无穷小都是无穷小,引例引例 .但但 可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的 . 无穷小的比较第23页/共71页若若则称则称 是比是比 高阶的无穷小高

7、阶的无穷小,若若若若若若若若或或设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶的无穷小低阶的无穷小;则称则称 是是 的同阶无穷小的同阶无穷小;则称则称 是关于是关于 的的 k 阶无穷小阶无穷小;则称则称 是是 的等价无穷小的等价无穷小, 记作记作第24页/共71页时时又如又如 ，故故时时是关于是关于 x 的二阶无穷小的二阶无穷小,且且第25页/共71页时时,证证:第26页/共71页1. 无穷小的比较无穷小的比较设设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小, 且且 是是 的高阶无穷小的高阶无穷小 是是 的低阶无穷小的低

8、阶无穷小 是是 的同阶无穷小的同阶无穷小 是是 的等价无穷小的等价无穷小 是是 的的 k 阶无穷小阶无穷小第27页/共71页第28页/共71页则有定理 1 . （1）若第29页/共71页则有则有说明说明: 可推广到有限个函数相乘的情形可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .( C 为常数为常数 )推论推论 2 .( n 为正整数为正整数 )第30页/共71页且且 B0 , 则有则有第31页/共71页则有证: 因则有(其中为无穷小) 于是由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小的关系定理 , 知定理结论成立 .定理 1 . （1）若说明: 可推广到有限个函数相加、减的情形 .第3

9、2页/共71页则有则有说明说明: 可推广到有限个函数相乘的情形可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .( C 为常数为常数 )推论推论 2 .( n 为正整数为正整数 )第33页/共71页为无穷小为无穷小(详见详见P44)且且 B0 , 则有则有证证: 因因有有其中其中设设无穷小无穷小有界有界因此因此由极限与无穷小关系定理由极限与无穷小关系定理 , 得得为无穷小为无穷小,第34页/共71页例1第35页/共71页这是因为分子、分母都包含着在 x =2时为零的因子 x2 。此时为求极限应设法先消去零因子，然后求极限。解 原式= 例2 求注 此题中若将 x =2代入分子、分母，则得到无意义的

10、式子 ，第36页/共71页例3 解 当 时， ， 的分母都趋于零，原式 出现“ ”的形式，两项均不存在极限，故不能直接使用极限运算法则，此时需先通分，变换一下形式。 原式 = （消去零因子）第37页/共71页解 原式= 解 当 时，分母极限为0，不能直接使用极限运算法则，若将分子有理化例4 求第38页/共71页解解: x = 1 时时分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因第39页/共71页解解: 时时,分子分子分子分母同除以分子分母同除以则则分母分母“ 抓大头抓大头”原式原式第40页/共71页为非负常数为非负常数 )第41页/共71页解解 原式原式 =第42页/共71页定理定理. 设设且

11、且 x 满足满足时时,又又则有则有 说明说明: 若定理中若定理中则类似可得则类似可得第43页/共71页解解: 令令已知已知 原式原式 =第44页/共71页1.是否存在是否存在 ? 为什么为什么 ?答答: 不存在不存在 . 否则由否则由利用极限四则运算法则可知利用极限四则运算法则可知存在存在 , 与已知条件与已知条件矛盾矛盾.解解: 原式原式2.问问第45页/共71页且且两个重要极限第46页/共71页圆扇形圆扇形AOB的面积的面积证证: 当当即即亦即亦即时，时，显然有显然有AOB 的面积的面积AOD的面积的面积故有故有注注第47页/共71页当时第48页/共71页解解: 第49页/共71页解: 原

12、式 =第50页/共71页解：原式解：原式第51页/共71页解解: 原式原式 =第52页/共71页或注: 代表相同的表达式第53页/共71页填空题 ( 14 )第54页/共71页二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第一章第一章 第55页/共71页1x1121111xxyxx，yx1121第56页/共71页有函数的增量有函数的增量第57页/共71页1x1121111xxyxx，yx1121第58页/共71页可见可见 , 函数函数在点在点定义定义:在在的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 则称函数则称函数(1) 在点在点即即(2) 极限极限(3)设函数设函

13、数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;且且有定义有定义 ,存在存在 ;第59页/共71页1x1121111xxyxx，yx1121第60页/共71页若若在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上则称它在该区间上连续连续 , 或称它为该区间上的连续函数或称它为该区间上的连续函数 .第61页/共71页有函数的增量有函数的增量左连续左连续右连续右连续当当时时, 有有函数函数在点在点连续有下列等价命题连续有下列等价命题:第62页/共71页解解: 原式原式第63页/共71页0000( )lim( )(),( )xxf xxf xf xf xx连续的定义：（）设函数在 附近有定义，函数极限若则称在的特殊情形连续.第64页/共71页0lim( )xxf x0()f x在x0