高等数学映射与函数PPT课件

1、1一、集合(1)定义组成这个集合的事物称为该集合的元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM ,Ma .Ma (3)符号(4)表示 列举法 描述法(5)常用集合具有某种特定性质的事物的总体称为集合. RRRQZNN,*1.集合概念(2)有限集和无限集映射与函数第1页/共52页2;,ABBA 且且不含任何元素的集合称为空集, ,记记作作规定空集为任何集合的子集.(6)关系:BA 子集 ( 包含 ),;BxAx :BA 相等,2.集合的运算 并, 交, (1)基本运算BAI AB BAIAB AB=x|x A 且 x BAB=x|x A 或 x B映射与函数第2页/共52页3 补,);

2、(IAAIAC 直积或笛卡儿乘积:.),(ByandAxyxBA 差, ABIAB=x|xA且xBABIABCB= AA()或或映射与函数第3页/共52页4(2)运算法则交换律:;,ABBAABBA 结合律:, )()(CBACBA ;)()(CBACBA 分配律:),()()(CBCACBA ;)()()(CBCACBA 对偶律:,)(CCCBABA .)(CCCBABA 映射与函数第4页/共52页53.区间和邻域),(bxaxba 开区间 (a, b):oxab(1)有限区间,bxaxba 闭区间 a, b:),bxaxba 半开区间 a, b):,(bxaxba 半开区间 (a, b:

3、oxaboxaboxab映射与函数第5页/共52页6),xaxa ),(bxxb oxaoxb(2)无限区间映射与函数第6页/共52页7(3)邻域xa a a:),( aUao邻域邻域的去心的去心点点. 0),( axxaUo.),( axxaU点a的邻域U(a): 以点a为中心的任何开区间.点a的邻域U(a, ):U(a, )的实质:U(a, )=(a , a + ).点a的左 邻域:(a , a ).点a的右 邻域:(a , a+ ).问题：如何用邻域表示(1,2)呢？ 映射与函数第7页/共52页8二、映射 引例(1)一个班里有6名男同学,记为X=1, 2, 6，入学时分配宿舍，共有4个房

4、间可供分配，记为Y=301, 302,303,304我们确定分配方案如下： 1301，2, 3302，4, 5303，6304 引例(2)设X=Y=1, 2, 3, 4，规定对应法则：12，23，34，41 共同之处: 在两个集合X和Y之间建立了一种对应关系,使对X中的每一个元素,有Y中一个唯一确定的元素与它对应。 映射与函数第8页/共52页91.映射概念(1)定义(2)要素设X、Y是两个非空集合，若存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按照法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y1;(2);3.fffDXfRRY=( )定义域对应法则( )值域的

5、范围：如，X=三角形，Y=圆，f：X Y,对每个xX,有唯一确定的y(x的外接圆)Y与之对应. 映射与函数第9页/共52页10注记.YRYRyRyxXfff ，不不一一定定；的的原原像像不不一一定定是是唯唯一一的的中中每每个个元元素素是是唯唯一一的的；的的像像中中每每个个元元素素映射与函数第10页/共52页11(3) 满射、单射和双射(一一映射) 满射：单射：).()(2121xfxfxx 双射（一一映射）：既是单射，又是满射.Rf=Y ,即Y中任一元素都是X中某元素的像； 映射与函数第11页/共52页12补例1 设X是一切非负实数所成的集合，Y= yyR, 0y1，f是从X到Y的一个映射，证

6、明：f是从X到Y的一一映射。1+xxf(x)=证明: 设yY，取x= 1-yy，因为0y0)确定y是x的二值函数。 对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支。 映射与函数第19页/共52页20例函数 y=2yxo1y=2映射与函数第20页/共52页21例6 绝对值函数yxo1-11 0,0,xxxxxyy=|x|映射与函数第21页/共52页22 010001sgnxxxxy当当当当当当xxx sgn例符号函数yxo11xysgn 映射与函数第22页/共52页23例8 1,1,10,2)(xxxxxfy函数xyo21y=f(x)分段函数

7、映射与函数第23页/共52页24补例2 设A、B两地之间的长途电话费在最初的3分钟是6.60(元), 以后的每分钟(不足一分钟按一分钟计)另加1.20(元). 显然长途电话费C(单位:元)是通话时间t(单位:分钟)的函数.试写出函数的公式表示,并描绘它的图形。 解：记长途电话费为C(t)由于t0，于是函数的定义域为(0, +)从给出的信息，我们有 6.60,0 3,6.60+1 1.20, 3 4,C( ) =6.60+2 1.20, 4 5,tttt 映射与函数第24页/共52页25取整函数 y=x其中x 表示不超过 x 的最大整数. 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4

8、3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线例9映射与函数第25页/共52页26例10 .,0,1)(CQxQxxDy 狄利克雷(Dirichlet)函数映射与函数第26页/共52页272.函数的几种特性(1)有界性定义,)(,11成立成立有有若若KxfXxRKDXf 称称为为上上界界；上上有有上上界界在在则则称称函函数数1,)(KXxf,)(,22成立成立有有若若KxfXxRKDXf 称称为为下下界界；上上有有下下界界在在则则称称函函数数2,)(KXxf,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDXf .,)(否否则则就就称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf映射与函数第27页/共52页2

9、8说明 有界性是与自变量取值范围有关的相对性概念命题1： 比如，y=1/x 在(1, +)有界，在(0,1)内无界(无上界,但有下界). 函数(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。 映射与函数第28页/共52页29(2)函数的单调性如如果果区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,)(DIDxf 恒有恒有时时当当及及上任意两点上任意两点对于区间对于区间,2121xxxxI 上上是是在在区区间间则则称称函函数数Ixf)()(xfy )(1xf)(2xfxyoI定义单调增加(或单调减少).)(xfy )(1xf)(2xfxyoI1x2x1x2x注意函数的单调性是一个与自变量取值

10、范围有关的相对性概念(x1) (x2) )映射与函数第29页/共52页30(3)函数的奇偶性偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD yx)( xf )(xfy ox-x)(xf定义则称 f (x) 为偶函数(或奇函数).奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy f (-x) = f (x) (或f (-x) = - f (x) )注意: 有非奇非偶的函数映射与函数第30页/共52页31补例3 判别的奇偶性。 +3= ln-3xfxx分析 - +3-3-=ln=ln=-,- -3+3xxfxf xxx补例4 试证：两偶函数之和、之积均为偶函数。分析 设(x), g(x)为

11、两偶函数,即(-x)= (x),g(-x)= g(x). 记h(x)= (x)+g(x),则 h(-x)= (-x)+g(-x)= (x)+g(x) =h(x),故两偶函数之和为偶函数。映射与函数第31页/共52页32(4)函数的周期性通常说周期函数的周期是指其最小正周期;设函数 f (x) 的定义域为D，若存在一个正数 l ，定义)()(,),xflxfDlxDx 且且有（有（使得使得恒成立，则称 f (x) 为周期函数，l 称为f (x) 的周期xyoxf (x)x+lf (x+l)说明 并非每个周期函数都有最小正周期如狄利克雷(Dirichlet)函数。 映射与函数第32页/共52页33

12、0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(1yfx 反函数反函数o.反函数与复合函数(1)反函数定义 设函数 f :Df(D)是单射，则称其逆映射DDff )(:1为函数 f 的反函数映射与函数第33页/共52页34说明反函数的习惯表示法 若直接函数 y=f (x)，xD， ).(),(1Dfxxfy 则则反反函函数数记记为为直接函数与反函数的单调性 具有一致性直接函数与反函数的图形特点 y=x )(xfy xyo),(abQ),(baP)(1xfy 关于直线y=x对称映射与函数第34页/共52页35()复合函数定义 设函数 y = f (u)，,1Du 函数 u = g(

13、x)，,Dx ,)(1DDg 且且则称函数Dxxgfy ),(为由函数u=g(x)和函数 y = f (u)构成的复合函数说明(1)不是任意两个函数都可复合成一个复合函数的，即两个函数的复合是有条件的；(2)函数复合可以推广到多个函数问题：y=arcsinu 和u=2+x2和能否复合？ 映射与函数第35页/共52页36补例5 设f(x)的定义域是(0,1)，试求复合函数f(lnx)的定义域。 分析 y=(lnx)由y=(u)和u=lnx复合而成，0lnx1，解出1xe故f(lnx)的定义域为(1, e)f(u)与f(x)的定义域一样的，即0u1，所以，补例6 .0,1)(CQxQxxD.)(,

14、 )21(),57(的性质的性质并讨论并讨论求求xDDDD 设映射与函数第36页/共52页37.函数的运算设函数 f (x)，g(x)的定义域依次为D1,D2 ,且,21 DDD则可定义 f (x)和 g(x)的下列运算：:()( )( )( ),;:()( )( )( ),( ):( ),( )0.( )fgfg xf xg x xDf gf g xf x g x xDfff xxxDx g xggg x北=蔽鬃=孜骣 = 桫和积；商例11 设函数 f (x)的定义域为 (-l , l)，证明必存在 (-l , l) 上的偶函数 g(x) 及奇函数 h(x)，使得 f (x)= g(x) +

15、 h(x).映射与函数第37页/共52页38.初等函数(1)基本初等函数 幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(11 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.映射与函数第38页/共52页39 指数函数)1, 0( aaayx)1( a)1 , 0(映射与函数第39页/共52页40 对数函数)1, 0(log aaxya)1( a)0 , 1(映射与函数第40页/共52页41 三角函数正弦函数xysin 映射与函数第41页/共52页42xycos 余弦函数映射与函数第42页/共52页43正切函数xytan 映射与函数第43页/共52页44xycot 余切函数映射与函数第44页/共52页45 反三角函数xyarcsin 反反正正弦弦函函数数映射与函数第45页/共52页46xyarccos 反反余余弦弦函函数数映射与函数第46页/共52页47xyarctan 反正切函数反正切函数映射与函数第47页/共52页48xycot 反余切函数反余切函数arc映射与函数第48页/共52页49(2)初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.补例7说明本课程内所讨论的函数大都是初等函数,0, 1