柯西中值定理和不定式极限实用教案

1、定理6.5(柯西中值定理) 设函数 , 在区间 )(xf)(xg,ba上满足:(i) f(x) , g(x) 在闭区间(q jin) a, b 上连续;(iii);0)()(22 xgxf(iv). )()(bgag 则在开区间 内必定 (至少) 存在一点 , 使得),(ba 一、柯西中值定理一、柯西中值定理(dngl)(dngl)(ii) f(x) , g(x) 在开区间 (a, b) 上可导;第1页/共24页第一页，共25页。( )( )( ).( )( )( )ff bf agg bg a 几何(j h)意义首先将 f , g 这两个函数(hnsh)视为以 x 为参数的方程, )(xgu

2、 . )(xfv 它在 O- uv 平面上表示一段曲线(qxin). 由拉格朗日定理恰好等于曲线端点弦 AB 的斜率(见下图):ddxvu 的几何意义, 存在一点 ( 对应于参数 ) 的导数 第2页/共24页第二页，共25页。.)()()()(agbgafbfkAB )(, )( fgP)(, )(bfbgB( ( ) ,( )A g af aOuv 第3页/共24页第三页，共25页。证 作辅助(fzh)函数).()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF 显然, 满足罗尔定理的条件, 所以存在点)(xF),(ba 使得 , 即0)( F. 0)()()()()()(

3、 gagbgafbff( )0( )(iii),gf因因为为否否则则也也为为零零, ,与与条条件件矛矛盾盾.)()()()()()(agbgafbfgf 从而第4页/共24页第四页，共25页。例1 设函数(hnsh) f 在区间 a, b(a 0) 上连续, 在(a, b).ln)()()(abfafbf 证 设 , 显然 f (x), g(x) 在 a, b 上满足xxgln)( 柯西中值定理的条件,于是存在, 使得),(ba ,1)(lnln)()( fabafbf 变形(bin xng)后即得所需的等式.),(ba 上可导, 则存在, 使得第5页/共24页第五页，共25页。在极限的四则运

4、算中, 往往遇到分子(fnz), 分母均为无01.0型型不不定定式式极极限限二、不定式极限二、不定式极限(jxin)(jxin)究这类极限, 这种方法(fngf)统称为洛必达法则.称为不定式极限. 现在我们将用柯西中值定理来研比较复杂，各种结果均会发生. 我们将这类极限统穷小量 (无穷大量) 的表达式. 这种表达式的极限第6页/共24页第六页，共25页。定理6.6满足：满足：和和若函数若函数gf000(i) lim( )lim( );xxxxf xg x00(ii)()xUx在在点点的的某某空空心心邻邻域域内内两两者者均均可可导导，0( );g x 且且 0( )(iii) lim,.( )x

5、xfxAAg x 可以为实数，可以为实数，则00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x 证000()(),f xg xf g我们补充定义所以我们补充定义所以第7页/共24页第七页，共25页。,),(.000 xxxUxx则在区间则在区间任取任取连续连续在点在点 有有上应用柯西中值定理，上应用柯西中值定理，),(0 xx000( )()( )( )(.( )( )()( )f xf xf xfxxg xg xg xg 介于与之间)介于与之间)000( )( )( )limlimlim.( )( )( )xxxxxxf xffxAg xgg x 注，改为改为中的中的

6、将定理将定理 0001xxxxxx00,令令故故xxx 根据归结原理第8页/共24页第八页，共25页。只只要要修修正正相相应应的的邻邻域域，的的情情形形, xx结论同样(tngyng)成立.例41tanlim.sin4求求xxx 解00.容易验证：这是一个型不定式容易验证：这是一个型不定式2441tansec21limlim.sin44cos442xxxxxx 000( )lim,( )xxfxg x如如果果仍仍是是型型不不定定式式极极限限 只只要要满满足足洛洛 第9页/共24页第九页，共25页。例2.)1ln()21(elim2210 xxxx 求求解2201ln() ,xxx因为当时，所以

7、因为当时，所以11222200e(12 )e(12 )limlimln(1)xxxxxxxx132200e(12 )e(12 )limlim1.22xxxxxxx0( )lim( )xxfxg x考考察察必必达达法法则则的的条条件件, ,可可再再用用该该法法则则. .存在(cnzi)性.第10页/共24页第十页，共25页。这里(zhl)在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的代换，其目的就是使得计算(j sun)更简洁些.例301lim.e求求 xxx解可直接利用洛必达可直接利用洛必达型不定式极限型不定式极限这显然是这显然是,00法则. 但若作适当(shdng)变换, 在计算上会显得更简洁些.

8、于是于是时有时有当当令令,00, txxt0001111limlimlim.eeettxxttxt 第11页/共24页第十一页，共25页。例410(1)elim.xxxx求求解 1100(1)(1)elimlim1xxxxxxx120ln(1)1lim(1)xxxxxxx20(1)ln(1)elimxxxxx01ln(1)1eelim.22xxx 第12页/共24页第十二页，共25页。2.型型不不定定式式极极限限定理6.7满足：满足：和和若函数若函数gf00(i) lim( )lim( )xxxxf xg x ；00(ii)()xUx 在在点点的的某某右右邻邻域域内内二二者者均均可可导导，0(

9、 );g x 且且 0( )(iii) lim,.( )xxfxAAg x 可可以以为为实实数数则00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x 第13页/共24页第十三页，共25页。注000 xxxxxx这里的可以用，这里的可以用，件要作相应(xingyng)的改变.例5.lnlimxxx求求解.型型不不定定式式这这是是一一个个 1lnlimlim0.1xxxxx.xx ，来替换 当然定理的条，来替换 当然定理的条,x 第14页/共24页第十四页，共25页。例6.elim3xxx求求解.6elim6elim3elimelim23 xxxxxxxxxxx例7.sin

10、2sin2limxxxxx求极限求极限解,. 如如果果用用洛洛必必达达法法则则型型不不定定式式这这是是一一个个 22322sincoslimlim.( )sincosxxxxxxxx 22coslim,cosxxx 而极限不存在 但是原极限而极限不存在 但是原极限第15页/共24页第十五页，共25页。. 1sin2sin2limsin2sin2limxxxxxxxxxx(3) 式不成立(chngl). 这就说明: limlim.xxfxf xgxg x不不存存在在时时, ,不不能能推推出出不不存存在在我们(w men)再举一例:例8.2arctanarctanlimxxAx 求极限求极限解li

11、m arctan, lim arctan2,22xxxx因为第16页/共24页第十六页，共25页。所以 A = 1. 若错误(cuw)使用洛必达法则：22arctan114limlim2,arctan212xxxxxx这就产生了错误(cuw)的结果. 这说明: 在使用洛必达法则前，必须首先要判别它究竟是否是0.0或或型型3. 其他(qt)类型的不定式极限00010,不不定定式式极极限限还还有有， ， ，等等类类型型 它它0.0们们一一般般均均可可化化为为型型或或者者型型.下面我们举例加以说明下面我们举例加以说明第17页/共24页第十七页，共25页。解1lnln,xxxx 注意到则注意到则000

12、02111lnlimlnlimlimlim()0.xxxxxxxxxxx但若采用(ciyng)不同的转化方式:2000021limlnlimlimlimln11lnlnxxxxxxxxxxxx 很明显, 这样下去将越来越复杂(fz), 难以求出结果.例90limln .xxx 求求0()型型,第18页/共24页第十八页，共25页。解221lncos20lncos0(cos )e,lim.0 xxxxxxx而而是是型型由于(yuy),21cos2sinlimcoslnlim020 xxxxxxx因此(ync) 21120lim(cos )e.xxx例10210lim(cos ).xxx求求(1)

13、型型第19页/共24页第十九页，共25页。解lnarctan2limkxxx 121limarctan12xkxkxx 111limarctan2xkkxx 例11102limarctan() .kxxxk 求求00()型型第20页/共24页第二十页，共25页。 xxkkxarctan2lim11 , 0lim111lim122 kxkxxkkxxkk所以(suy)，原式 = e0 = 1.例12201lim2cot.1cosxxx 求求() 型型第21页/共24页第二十一页，共25页。解 xxx20cot2cos11lim xxxxxx23220sincos1cos2cos2sinlim 43220cos2cos2sinlim2xxxxx 3204cossin6cossin6lim2xxxxxx xxxx220sincos2cos11lim第22页/共24页第二十二页，共25页。.23cos1lim320 xxx220coscoslim3xxxx 第23页/共24页第二十三页，共25页。谢谢您的观看(gunkn)！第24页/共24页第二十四页，共25页。NoImage内容(nirn