第十章压杆稳定问题

1、第十章第十章压杆稳定问题压杆稳定问题 10-1 10-1 压杆稳压杆稳定性的概念定性的概念一一. .研究压杆稳定的意义研究压杆稳定的意义 19071907年加拿大魁北克年加拿大魁北克桥的失稳桥的失稳( (跨度跨度548m,548m,重重9000T9000T。8686人施工，死人施工，死7575人人) )莫尔兹桥行架失稳莫尔兹桥行架失稳二二. .失稳的定义失稳的定义1.1.稳定的分类稳定的分类无穷多个无穷多个平衡点平衡点随遇平衡随遇平衡一个平衡一个平衡点点稳定稳定平衡平衡没有平衡没有平衡点点不稳不稳定平衡定平衡2.2.失稳的定义失稳的定义压杆从直轴线状态下的稳定平衡转化为微曲状态压杆从直轴线状态

2、下的稳定平衡转化为微曲状态下的不稳定平衡称为失稳。下的不稳定平衡称为失稳。临界压力临界压力-使压杆失稳的压力称为临界压力。使压杆失稳的压力称为临界压力。压杆的失稳压杆的失稳为什么会产生失稳现象? Lab 材料有承载能力,但结构的平衡位置发生改变,导致结构的失效! 如果:lab 材料的潜力得以充分发挥,材料以强度失效的形式丧失承载能力. 拉伸没有失稳的现象; 压缩变形转换成稳定问题; Pcr由压杆的弯曲形式确定! 求平衡状态的分界点是目的!10-2细长压杆临界压力的欧拉公式一一. .两端铰支细长压杆两端铰支细长压杆的欧拉公式的欧拉公式1.1.压杆截面上的弯矩压杆截面上的弯矩wFxMcr)(弯矩的

3、符号由弯矩的符号由坐标和应力的坐标和应力的符号共同决定：符号共同决定：yIMzFcr2.杆曲线的微分方程杆曲线的微分方程3.微分方程的解微分方程的解wFxMcr)(wFxMwIEcr )(0 wIEFwcr即IEFkcr2令02 wkw则022kki有两个共轭复根特征方程特征方程x ix ixxeCeCeCeCw212121通解：通解：3.3.边界条件边界条件sinkl 0kxBkxAwcossin00 x时：wB00 x l时 ： wAklsin0klnn(, , , )012knl222lIEnFcrlnIEFcr1minn22lIEFcr二二. .一端固定一端自由细长压杆临界压力公式一端

4、固定一端自由细长压杆临界压力公式1.1.弯矩方程弯矩方程xwcrFwcrFcrFy y)(wFMCR3.3.微分方程的解微分方程的解)()(wFxMwIEcr EIFwIEFwcrcr 即IEFkcr2令22kwkw 则ki2 , 1特征方程特征方程kxBkxAwcossin*齐次方程的通解齐次方程的通解非齐次方程的特解非齐次方程的特解w微分方程的解微分方程的解kxBkxAwcossinM M边界条件：边界条件：变形与载荷有关，可由借助变形与载荷有关，可由借助B B、A A、 三个数描三个数描述述0cosklk00wx时：00BAwlx时：0cossinklBklA), 2 , 1 , 0()

5、 12 (21, 0nnklklk2lIEFcr21minn22)2( lIEFcr00wx时：000BkA00cossin00110BAklklk00cossin00110klklk4.4.临界压力临界压力三三. .一端固定一端铰支细长压杆临界压力公式一端固定一端铰支细长压杆临界压力公式1.1.弯矩方程弯矩方程xcrF)(xlFwFMyCR3.3.微分方程的解微分方程的解)()(xlFwFxMwIEycr )(xlEIFwIEFwycr 即IEFkcr2令)(22xlkFFwkwcry 则kxBkxAwcossin*齐次方程的通解齐次方程的通解非齐次方程的特解非齐次方程的特解微分方程的解微分

6、方程的解)(cossinxlFFkxBkxAwcryML-xcrFwy yL LwyFcrF)(xlFFwcry3.边界条件：边界条件：变形与载荷有关，可由借助变形与载荷有关，可由借助B B、A A、 三个数描三个数描述述0)sincos(1klklklFcr00wx时：00ycrFFlBAwlx时：0cossinklBklAlk7 . 0lIEFcr7 . 000wx时：010ycrFFBkA00cossin1010ycrcrFBAklklFkFl00cossin1010klklFkFlcrcrklkl tan7 . 049. 4kl22)7 . 0 (lIEFcr4.4.临界压力临界压力5

7、.位移函数位移函数6.6.拐点拐点 (M=0)(M=0)1 (cossinlxklkxklkxkFFwcrycrycryFlFBkFFA,0)cossin(32 kxlkkxkkFFwcry0cossinkxklkx49.4tan klkx35. 11kx35. 149. 41xl49. 42kx49. 449. 42xllx3 . 01lx 2四四.不同约束条件下细长压杆的临界压力通式不同约束条件下细长压杆的临界压力通式几种典型约束下的细长压杆临界压力几种典型约束下的细长压杆临界压力公式如表所示。公式如表所示。22)(lIEPrc称为长度系数称为相当长度。l)(xMwEI 由于知道知道: M

8、(0.3L)=M(L)=0长为长为0.7L的细长杆两端受轴向压力，其的细长杆两端受轴向压力，其临界压力为：临界压力为：22)7 . 0 (lIEFcr不同约束压杆的临界压力欧拉公式（表）不同约束压杆的临界压力欧拉公式（表） 例例10-110-1五根直径都为五根直径都为 d d的细长圆杆铰接构成的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系平面正方形杆系ABCDABCD，如各杆材料相同，弹性，如各杆材料相同，弹性模量为模量为E E。 求图求图 (a)(a)、(b)(b)所示两种载荷作用下杆系所所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。能承受的最大载荷。解解（a a）BDBD杆受压其余杆受拉杆受压其余杆受拉BD

9、BD杆的临界压力杆的临界压力PEIacr222222EIa故杆系所能承受的最大载荷PPcrmax222EIa243128adEPcr（b b）BDBD杆受拉其余杆受压杆受拉其余杆受压四个杆的临界压力四个杆的临界压力PEIacr22故杆系所能承受的最大载荷：PPcrmax2243max642adEP 例例10-210-2图示结构，图示结构，、两杆两杆截面和材料截面和材料相同，为细长压杆（设相同，为细长压杆（设00/2/2） 。求载荷求载荷P P为最大值时的为最大值时的角。角。90：解得两杆的压力分别为解：由静力平衡条件可sincos21PNPN，两杆的临界压力分别为两杆的临界压力分别为PEIlP

10、EIlcrcr12122222，最大，即都达到临界压力时、PNN21）（）（2sin1cos222212lIEPlIEP便得除以式将式),1 ()2(2221tan)(tgcll)tg(ctgarc290作业作业10-3-6,8,22AlIEAF22crcr)(AIi il22crEbi321di41)(2141dippEpE22crbacr22crEppEscrstcrstnnw22crE20crppEpE22crppEANWMmaxmaxMPa17122crEMPa474sin22dPAPw63stwcrstnn.bhPbhPlcossin621MPa7148.pil1102lPlNlN3

11、221EAlFEAlF2N21N1212PNF531N1PNF562N2PNN3221AF1NkN770413521.dPlPlNlN3221EAlFEAlF2N21N1212PNF531N1PNF562N2PNN3221AF1NkN770413521.dPpdlil804kN1 .4764)(24322crlEdlEIFkN1 .2665stcr2nFPkN126.PPF531NPF562NkN7 .701P222222. 0)3/27 . 0(LEILEIFAB2222)2/2(LEILEIFBC2222270)().(xLEIxEILLx740351. 一、欧拉公式的应用范一、欧拉公式的

12、应用范10-2 压杆的临界应力及临界应力总图压杆的临界应力及临界应力总图1.1.推导欧拉公式的条件推导欧拉公式的条件推导欧拉公式时使用了小变形假设，导出了挠推导欧拉公式时使用了小变形假设，导出了挠曲线的近似微分方程曲线的近似微分方程)(xMvIE 在推导该方程时在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，欧拉应用了胡克定律。因此，欧拉公式也只有在满足胡克定律时才能适用：公式也只有在满足胡克定律时才能适用：（1 1）小变形）小变形（2 2）线弹性）线弹性p2. 2. 压杆的临界应力压杆的临界应力3.3.欧拉公式的应用范欧拉公式的应用范PEIlcr22()crcrPA22EIlA()222E i AlA

13、()()22)/(ilE令li则crE22crpE22压杆的长细比压杆的长细比压杆的柔度压杆的柔度计算压杆的临界计算压杆的临界应力的欧拉公式应力的欧拉公式pE或写成欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围满足该条件的杆称为细长杆（或大柔度杆）满足该条件的杆称为细长杆（或大柔度杆）ppE记p称为临界柔度称为临界柔度称为小柔度杆，欧拉公式不适用称为小柔度杆，欧拉公式不适用p二二. .临界应力总图临界应力总图1.1.欧拉临界应力曲线欧拉临界应力曲线crE22p大柔度杆大柔度杆plicrOcrE22坐标系中做出曲线在cr曲线没有实际意义pcrss结构钢的临界柔度值结构钢的临界柔度值100ppE研究表明结构

14、钢研究表明结构钢30时压杆主要是强度不足时压杆主要是强度不足造成破坏，这时的柔度造成破坏，这时的柔度记为记为 。s2.临界应力总图临界应力总图称为中柔度杆称为中柔度杆crabcrE22ssabplicrO小柔度杆小柔度杆中柔度杆中柔度杆大柔度杆大柔度杆spps失稳前发生塑性变形失稳前发生塑性变形采用直线型临界应力的经验公式采用直线型临界应力的经验公式cra b 13-4 13-4 压杆的稳定计算压杆的稳定计算一一. .压杆的稳定条件压杆的稳定条件PPncrstmaxPmaxPcrt snnPPnstcrstmaxnst稳定性条件也可以表示成稳定性条件也可以表示成-为压杆实际的工作稳定安全系数。

15、为压杆实际的工作稳定安全系数。-压杆所受最大工作载荷压杆所受最大工作载荷-压杆的临界压力压杆的临界压力-压杆的规定稳定安全系数压杆的规定稳定安全系数二二. .折减系数折减系数stcrstnstcrn令压杆稳定条件压杆稳定条件stAF即 例例11-211-2托架托架ABAB杆是圆管，外径杆是圆管，外径D=50mmD=50mm，两端为球铰，两端为球铰，材料为材料为A A3 3钢，钢，E=206GPa,E=206GPa, p p=100=100。若规定。若规定nnstst=3,=3,试确试确定许可荷载定许可荷载Q Q。（1 1）分析受力）分析受力解：解：BAC1500QD50030o取取CBDCBD

16、横梁研究横梁研究NABQCB02000150030sin:00QNmABcABNQ83(2)(2)计算计算 并求临界荷载并求临界荷载4/)(64/)(2244dDdDAIimmdDi164221173030cos15000mmlAB1081617301ilA3A3钢，钢，p=100,p=100,pp，用欧拉公式，用欧拉公式kNNAEPcr54.1211054.121322(3)(3)根据稳定条件求许可荷载根据稳定条件求许可荷载stcrnNp由：kNnpNstcr5 .40354.121kNNQ2 .155 .408383mmhi94.2112 例例11-311-3机车连杆，已知：机车连杆，已知

17、：P=120kN,L=200cm,P=120kN,L=200cm,L L1 1=180cm,b=2.5cm,h=7.6cm=180cm,b=2.5cm,h=7.6cm。材料为。材料为A3A3钢钢, ,弹性弹性模量模量E=206GPa,E=206GPa,若规定若规定n nstst=2=2，试校核稳定性。，试校核稳定性。结构如图所示结构如图所示解解. 求求：(1)xy(1)xy平面内失稳，平面内失稳，z z为为中性轴：中性轴： =1=1bhbhAIiz12/32 .91194.2200111iL（a a）L=200PPxyyx（2 2）xzxz平面内失稳，平面内失稳，y y为中性轴：为中性轴： =

18、0.5=0.5L1=180bzx（b b）bhhbAIiy12/37 .1247217. 01805 . 0212iL由于由于1 12 2，故先在，故先在xzxz平面内，以平面内，以y y为为中性轴弯曲中性轴弯曲cmbi7217. 012.求临界应力、校核稳定性：求临界应力、校核稳定性：用欧拉公式用欧拉公式p=100p=1002 2MPaEcr7 .13022实际工作应力：实际工作应力：MPabhP16.63076. 0025. 0120000stcrcrnPpn07. 216.637 .130满足稳定条件。满足稳定条件。 例例11-411-4图示结构，图示结构，CFCF为铸铁圆杆，直径为铸铁圆杆，直径d d1 1=10cm=10cm c c=120MPa,E=120GPa=120MPa,E=120GPa。BEBE为为A3A3钢圆杆钢圆杆, , 直径直径d d2 2=5cm=5cm， =160MPa,E=200GPa, =160MPa,E=200GPa, 横梁视为刚性，求许可荷载横梁视为刚性，求许可荷载P P。解：解：1 1、结构为一次、结构为一次超静定，求杆内力超静定，求杆内力DCPBANsNc0642:0PNNMcsAFCBE21变形条件：变形条件：AaaaDEFCPB