概率论chapt7- (4)

1、 为了解估计值的精确度，需要对为了解估计值的精确度，需要对 的取值估计的取值估计出一个范围；为了解其可靠性，需要知道这个范出一个范围；为了解其可靠性，需要知道这个范围包含参数围包含参数的真值的可靠程度。这样的范围通的真值的可靠程度。这样的范围通常以区间的形式给出，这就是所谓区间估计问题常以区间的形式给出，这就是所谓区间估计问题.设总体设总体X的概率密度为的概率密度为 ，),(xf是未知是未知参数，参数，X1,X2,Xn为为X 的样本，对于事先给定的的样本，对于事先给定的(0 1)，若存在统计量若存在统计量),(21nXXX ，)X,X,X(n21 和和，P 1使得使得 ),(则称区间则称区间是

2、参数是参数的置信度为的置信度为1- 的置信区间，的置信区间，和和分别称为置信度分别称为置信度为为1- 的置信区间的置信下限和置信上限的置信区间的置信下限和置信上限， 1- 称为称为置置信度信度。),(P 11.不要把不要把理解为理解为 落在区间落在区间的概率为的概率为1- .是统计量，即是统计量，即 是随机区间，而是随机区间，而 是一个客观存是一个客观存),(在的未知数在的未知数. .所以确切的理解是随机区间所以确切的理解是随机区间 包含包含),(内的概率为内的概率为1-，这种理解不够确切这种理解不够确切. .因为因为 和和 都都例如：例如： 对总体取对总体取100个容量为个容量为n 的样本观

3、察值，可得到的样本观察值，可得到100个个95. 0 P=0.05) 应理解为：应理解为：),(，其中平均有，其中平均有95%个包含了未知参个包含了未知参确定的区间确定的区间数数 的真值的真值，还有大约，还有大约5%个不包含个不包含 的真值的真值.2.置信区间的长度反映了估计的精确度，置信区间的长度反映了估计的精确度，置信区间长度置信区间长度越小，估计的精确度越高越小，估计的精确度越高. . 3.3.置信度置信度1反映反映了估计的可靠度了估计的可靠度， 先先保证保证可靠度（可靠度（置信度）置信度）1, ,再选再选置信区间中置信区间中长度长度最小的那个以提高精确度最小的那个以提高精确度. . 1

4、 越大越可靠越大越可靠. . 若提高可靠度就会降低若提高可靠度就会降低精确度，提高精确度精确度，提高精确度就会就会降低可靠度降低可靠度. .1.明确问题，确定要求的是哪一个参数的置信区间，明确问题，确定要求的是哪一个参数的置信区间，置信度是多少置信度是多少.2. 构造一个有确定分布的样本的函数：构造一个有确定分布的样本的函数：它含有待估参数但不含其它未知参数它含有待估参数但不含其它未知参数.12(, )ng XXX4.对不等式对不等式bXXXgan ),(21作等价变形，作等价变形，),(3.根据随机变量的分布，对给定的置信度根据随机变量的分布，对给定的置信度1 ，定出常数定出常数 a , b

5、 ,使得使得bXXXgaPn 1),(21得到如下形式得到如下形式: : 得置信区间：得置信区间：，P 11. 方差方差 2已知已知, 的置信的置信度为度为的的置信区间置信区间是：是：）（22znX,znX 推导：推导：N(0, 1)nXZ |Xn 对给定的置信水平对给定的置信水平1 ，设总体设总体XN ( , 2). X1 , X2 , , Xn是取自是取自X的的样本，样本，样本均值样本均值 样本方差样本方差S2，X2z P1 (x)x-z /2/2z /2/21 2zn P1 |X 2Xzn 2Xzn P1 ）（22znX,znX 于是得于是得 的的置信区间为：置信区间为：也可简记为：也可

6、简记为：）（2znX 2|1XPzn ？为何要取为何要取2/z当置信区间为当置信区间为时，区间的长时，区间的长）（22,znXznX 度为度为 达到最短达到最短. .，22zn2. 方差方差 2未知未知, 的置信的置信度为度为1- 的的置信区间置信区间是：是：）（nS)n(tX,nS)n(tX1122 XTSn 推导：推导：|/XSn ）（nSntXnSntX) 1(,) 1(22 于是得于是得 的的置信区间为：置信区间为：也可简记为：也可简记为：）（12 ntnSX对给定的置信水平对给定的置信水平1 ， (1)t n P2(1)t n 1 2(1)SXt nn 2(1)Stnn P1 |X

7、2(1)SXt nn P1 3. 当当 已知时已知时, 方差方差 2 的置信的置信度为度为1的的置信区间置信区间是是 ），（)n()X()n()X(niinii211221222 标准差标准差 的置信的置信度为度为1-1- 的的置信区间置信区间是：是：），（)n()X()n()X(niinii211221222 推导：推导：221niiX 212()niiX 221()niiX 2( )n 221( )n 22( )n 1 P由由2 221( )n 2211( )n P1 2212()( )niiXn 22121()( )niiXn P1 所以所以 2 的的置信度为置信度为1- 的的置信区间为

8、置信区间为： ），（)()()()(211221222nXnXniinii 标准差标准差 的置信的置信度为度为1- 的的置信区间置信区间是：是：），（)n()X()n()X(niinii211221222 2222211221()()1( )( )nniiiiXXPnn ）（)n(S)n(,)n(S)n(11112122222 4. 当当 未知时未知时, 方差方差 2 的置信的置信度为度为1- 的的置信区间置信区间是是 标准差标准差 的置信的置信度为度为1- 的的置信区间置信区间是是）（)n(S)n(,)n(S)n(11112122222 222(1)nS 推导：推导：221nS （）所以，所

9、以，方差方差 2 的置信的置信度为度为1- 的的置信区间置信区间是：是：）（)n(S)n(,)n(S)n(11112122222 2(1)n 221nS （）221(1)n 22(1)n P1 221(1)n 2211(1)n P1 2 2221(1)nSn （）22211(1)nSn （）P1 标准差标准差 的置信的置信度为度为1-的的置信区间置信区间是：是：）（) 1() 1(,) 1() 1(2122222 nSnnSn例例1. 已知幼儿身高服从正态分布，现从已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿岁的幼儿中随机地抽查了中随机地抽查了9人，其高度分别为：人，其高度分别为：115, 12

10、0, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;假设标准差假设标准差 =7，试求，试求总体均值总体均值 的的置信度为置信度为0.95的置信区间的置信区间.解：解： 已知时，已知时， 的置信度为的置信度为0.95的的置信区间置信区间是：是：）（2znX 7, 其中其中x 又又2z 计算：计算：）（22znx,znx 1154.5733 ,1154.5733（）110.4267 , （所以，总体均值所以，总体均值 的的置信度为置信度为0.95的置信区间是：的置信区间是：9,n 0.05 ，0.025z1.96 2zn1.96 7/94.5733 110.4267 ,1

11、19.5733（）119.5733）115，例例2.某工厂生产一批滚珠某工厂生产一批滚珠, , 其直径其直径 X 服从服从正态分布正态分布解：解： N( 2), 现从某天的产品中随机现从某天的产品中随机抽取抽取 6 件件, , 测得测得 (1)求求 的置信区间的置信区间； (2) 求方差求方差 2的置信区间的置信区间.（置信度均为置信度均为0.95）直径为直径为：15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1(1) 因为因为 2未知未知时时, 的置信度为的置信度为0.95的的置信区间置信区间是：是：）（nS)n(tX,nS)n(tX1122 )(t.50250

12、10.95, 由给定数据知由给定数据知6n ，) 1(2 nt又又2(1)st nn 2.5706, 0.05, s x 2.5706 0.2258/60.2370, 计算计算）（ns)n(tx,ns)n(tx1122 14.950.2370 ,14.950.2370（）(14.7130, 15.1870)1870.15,7130.14(得得 的置信度为的置信度为0.95的置信区间为：的置信区间为：）（nS)n(tX,nS)n(tX1122 14.95，0.225820.025(5) 2s （2）方差方差 2的置信度为的置信度为0.95的的置信区间置信区间为：为：，）（)n(S)n(,)n(S

13、)n(11112122222 又又5 0.051 5 0.051(,)12.8330.831 ）（)n(s )n(,)n(s )n(11112122222 (0.0199, 所以，所以，方差方差 2的置信度为的置信度为0.95的的置信区间置信区间是：是：)3069. 0,0199. 0(12.833,20975(5) 0.831，0.3069 )22(1) n 221(1)n 0.0511,21nXXX为取自总体为取自总体 N ( 1 12 ) 的样本的样本,2,21nYYY为取自总体为取自总体 N ( 2 22 ) 的样本的样本,2221,;,SYSX分别表示两样本的样本均值与样本方差分别表

14、示两样本的样本均值与样本方差1. 方差方差 1 2 、 2 2已知时，已知时，1- 2的置信的置信度为度为1- 的的置信置信区间区间是：是： ）22212122212122nnzYX,nnzYX( 且两总体相互独立。且两总体相互独立。推导：推导：N(0, 1)12221212()XYZnn 由由122221212|()|1XYPznn 解得解得12 2221212X Yznn P2221212X Yznn ） 1 从而得从而得1- 2的置信的置信度为度为1- 的的置信区间置信区间是：是：），22212122212122nnzYXnnzYX( ）2221212(nnzYX 也可简记为：也可简记为

15、：(2) 未知未知 但但 时，时，12的置信的置信度度2221,22221 为为1 的的置信区间置信区间是：是：)2) 1() 1(112,2) 1() 1(112(21222211212121222211212122 nnSnSnnnnntYXnnSnSnnnnntYX）（）（122211221212() ()(1)(1)112XYnSnSnnnn 推导：推导：nntnnS)n(S)n(nn| )()YX( |P 1221111212212222112121）（2221122121212(1)(1)1122nSnSXYtnnnnnn （）解得解得12的置信的置信度度为为1 的的置信区间置信区

16、间是：是：12 (2)t nn 2221的置信的置信度为度为1- 的的置信区间置信区间是：是：222122212121212222/(1,1)(1,1)SSSFnnFnnS （，) 1, 1(21 nnF22112222/SFS 22122212/SS 又又推导：推导：1 1212(1,1)Fnn 122(1,1)Fnn P22122212/SS 1221(1,1)Fnn 12121(1,1)Fnn P1 2212122/(1,1)SSFnn 22121212/(1,1)SSFnn P1 12121(1,1)Fnn 212(1,1)Fnn 2122 22122212/SS 解得解得222212

17、112122122222/(1,1)1(1,1)SSSPFnnFnnS 22212121212222/(1,1)(1,1)SSSFnnFnnS （，）所以所以 的置信的置信度为度为1- 的的置信区间置信区间是：是：22212222212112212212122/1(1,1)(1,1)SSSSPFnnFnn 例例3.3.某食品加工厂有甲、乙两条加工猪肉罐头的某食品加工厂有甲、乙两条加工猪肉罐头的生产线，设罐头质量生产线，设罐头质量 服从服从正态分布，从正态分布，从甲生产线甲生产线抽取抽取1010只罐头，测得平均质量只罐头，测得平均质量 ，已知标，已知标准差准差 1 =5(g)=5(g)；从从乙生

18、产线抽取乙生产线抽取2020只罐头，测得平只罐头，测得平均质量均质量 ，已知标准差，已知标准差 2 =4(g)=4(g)，求甲、，求甲、乙生产线的罐头的平均质量差乙生产线的罐头的平均质量差1- 2的的置信度为置信度为0.99的的置信区间置信区间)(501 gx )(498 gy 解：解：知知1- 2的置信的置信度为度为1- 的的置信区间置信区间是：是： ）22212122212122nnzYX,nnzYX( 由由 1 =5(g)=5(g)， 2 =4(g)=4(g)，）（gx501 ）（gy498 又又，201021 nn，99. 01 ，01. 0 2z 0.005z2.575 221212

19、nn 22541020 1.8166, 2221212znn 2.5751.8166 4.6777 ）22212122212122nnzyx,nnzyx( (501 498 4.6777, 501 498 4.6777 ） ( 1.6777 , 7.6777）所以所以1- 2的置信的置信度为度为0.99的的置信区间置信区间是：是： ）6777. 7,6777. 1( 例例4.某食品处理前取样分析其含脂率为：某食品处理前取样分析其含脂率为：0.19，0.12，0.18，0.30，0.21，0.27，0.30，0.42，0.66，0.08；处理后取样分析其含脂率为：处理后取样分析其含脂率为：0.1

20、5，0.04，0.13，0.08，0.00，0.20，0.07，0.12，0.24，0.13，0.24，假如处理前后的含脂率均假如处理前后的含脂率均 服从正态分布，且方差不服从正态分布，且方差不变，试求处理前后的含脂率期望之差变，试求处理前后的含脂率期望之差1- 2的的置信度置信度为为0.95的的置信区间置信区间.1- 2的置信的置信度度为为1-的的置信区间置信区间是：是：解：解：由由 未知，但未知，但 ，可知，可知，2221,22221 由给定数据算得由给定数据算得x y 22s 21s ；101 n，112 n)2) 1() 1(112,2) 1() 1(112(21222211212121222211212122 nnSnSnnnnntYXnnSnSnnnnntYX）（）（0.273，0.0281，0.1273，36.0618 10 ，2211221212(1)(1)112nsnsnnnn ）（190250.t ）（2212 nnt，95. 01 ，05. 0