【北京科技大学考研专业课电路命题人课件】dl-15(演示版)

1、第十五章 电路方程的矩阵形式15-1 割集15-2 关联矩阵A 、回路矩阵B 、割集矩阵Q*15-3 矩阵A、B、Q之间的关系15-4 回路电流方程的矩阵形式15-5 结点电压方程的矩阵形式15-6 割集电压方程的矩阵形式*15-7 列表法6/27/20221引言：电路的分析方法1. 小规模电路人工观察法回路电流法结点电压法2. 大规模电路 仍采用以上具体方法，但求解过程具有以下几个特点： 1采用系统化方法建立电路方程； 2电路方程用矩阵形式表示； 3利用计算机作为求解工具。6/27/2022215-1 回路电流方程的矩阵形式2. 回路矩阵1独立回路矩阵回路矩阵 假设一回路由某些支路组成，那么

2、称这些支路与该回路关联。支路与回路的关联性质可以用所谓的独立回路矩阵加以描述。独立回路矩阵简称为回路矩阵。 以回路电流作为电路的待求变量，对电路进行分析的方法称为回路电流法。1. 回路电流法 设有向图的独立回路数为l，支路数为b，在对所有独立回路和支路均加以编号后，该有向图的独立回路矩阵B将是一个lb 的矩阵。6/27/20223 B的每一行对应一个独立回路，列对应于支路，它的任一元素bjk定义如下： bjk = +1，表示支路k与回路j关联，并且它们的方向一致； bjk = -1，表示支路k与回路j关联，并且它们的方向相反； bjk = 0， 表示支路k与回路j无关联。举例：试写出如下所示有

3、向图的独立回路矩阵。345261解：首先借助于“树的概念选取一组独立回路6/27/20224 一个连通图G的一个树T 包含G的全部结点和局部支路，树T 本身是连通的且又不包含回路。 补充知识：有关“树的一些概念 树中包含的支路称为树支，树支以外的其它支路称为连支。一个具有n个节点、b条支路的电路，其树支数为n-1，连支数为b-(n-1)。345261（a）356（b）346（c）6/27/20225 假设选3、5、6为树支，得到的独立回路组如上图b所示。345261（a）4563561132623（b）进一步得到的回路矩阵为：6/27/202262根本回路矩阵 如果所选独立回路组是对应于一个树

4、的单连支回路组，那么称相应的回路矩阵为根本回路矩阵，并用Bf 表示。 写Bf 时，注意安排其行、列次序如下： 把l条连支依次排列在对应于Bf 的第1到第ll=b-n+1 列，然后再排列树支； 取每一单连支回路的序号为对应连支所在列的序号，且以该连支的方向作为对应回路的绕行方向。 Bf 将具有以下形式式中，下标 l 和 t 分别表示对应于连支和树支的局部； 1l 是一个 l 阶的单位子矩阵。6/27/20227 选3、5、6为树支，那么1、2、4为连支。上图b所示独立回路组即为一组单连支回路，其根本回路矩阵为：举例：试写出如下所示有向图a的根本回路矩阵。345261（a）456356113262

5、3（b）6/27/202283. 基尔霍夫定律和回路矩阵B的关系1用回路矩阵B表示的KCL的矩阵形式 用一个 l 阶列向量表示 l 个独立回路电流，即 由于回路矩阵B的每一列也就是回路矩阵BT的每一行表示每一条支路与回路的关联情况，所以按矩阵的乘法规那么可知，各支路电流的列向量 上式说明电路中各支路电流可以用与该支路关联的所有回路的回路电流表示，这正是回路电流法的根本思想。6/27/20229举例：利用以下图验证 i =BTil 的正确性。345261（a）4563561132623（b）6/27/2022106/27/202211345261（a）4563561132623（b）6/27/2

6、022122用回路矩阵B表示的KVL的矩阵形式 假设电路中的b个支路电压用u=u1 u2 ubT 表示，那么回路矩阵 B 左乘支路电压列向量 u 的结果将是一个 l 阶的列向量。回路1中的回路2中的 回路l 中的根据KVL可知 由于矩阵 B 的每一行表示每一对应回路与各支路的关联情况，所以由矩阵乘法规那么可知，乘积列向量中每一个元素将等于每一对应回路中各支路电压的代数和，即6/27/202213345261（a）4563561132623（b）用回路矩阵B表示的KVL的矩阵形式例如：试用下图验证 的正确性。 6/27/2022144. 复合支路的定义 设第k条支路为复合支路，如以下图所示。-

7、+Zk(Yk)+- 本章对回路电流法中的复合支路有如下规定：1复合支路Zk (Yk) 只能是单一的电阻、电感或电容，而不能是它们的组合； 2复合支路电压、电流为关联参考方向； 3允许一条支路缺少某些元件； 4不允许有无伴电流源支路存在。6/27/2022155. 支路电压、电流方程VCR的矩阵形式1电路中的电感之间无耦合时的情况 当电路中电感之间无耦合时，对于第k条支路应用相量法有- +Zk(Yk)+-假设设：6/27/202216为支路电流列向量；为支路电压列向量；为支路电流源的电流列向量；为支路电压源的电压列向量。那么对整个电路有（1）即式中Z 称为支路阻抗矩阵，它是一个对角阵。6/27/

8、2022172电路中的电感之间有耦合时的情况 当电路中电感之间有耦合时，式1还应计及互感电压的作用，假设第1条支路至第g条支路相互均有耦合，那么式中， ， ， ， ；“ ”号取决于各电感的同名端和电流、电压的参考方向。6/27/202218 由于其余支路之间无耦合，故得 因此，当电路中第1条支路至第g条支路电感之间有耦合，而其余支路之间无耦合时，支路电压与支路电流之间的关系可用以下矩阵形式表示式中， ， 。6/27/202219或写成式中，支路阻抗Z为非对角阵，其主对角线元素为各支路阻抗，而非对角线元素将是相应支路之间的互感阻抗。6/27/2022206. 回路电流方程的矩阵形式 由KCL K

9、VL 支路方程整理后得回路电流方程的矩阵形式 如设Zl=BZBT，那么回路电流方程的矩阵形式可写为其中，Zl是一个l 阶的方阵，称为回路阻抗矩阵，它的主对角线元素为自阻抗，非主对角线元素那么为互阻抗。6/27/202221例：用矩阵形式列出以下图所示电路的回路电流方程。7. 举例+ -3415212解：作出有向图，并选支路1、2、5为树支，可得回路矩阵6/27/202222+ -34152126/27/2022236/27/202224+ -6/27/2022256/27/2022266/27/202227得到电路回路电流方程的矩阵形式为代入6/27/202228重写电路回路电流方程的矩阵形式

10、如下+ -34152126/27/2022298. 回路电流法的步骤以相量形式为例（1）从已知网络，写出 、 、 和 ；（2）根据 求出 ； （3）求出 和 ；（4）列出回路电流方程的矩阵形式（5）根据上式求出 ；（6）由KCL方程 求出各支路电流 ；（7）根据支路方程 求出各支路电压 。6/27/20223015-2 结点电压方程的矩阵形式1. 结点电压法 以结点电压作为电路的待求变量，对电路进行分析的方法称为结点电压法。2. 关联矩阵1关联矩阵 假设一条支路连接于某两个结点之间，那么称该支路与这两个结点相关联。定义 设有向图的结点数为n，支路数为b，且对所有结点与支路均加以编号后，该有向图

11、的关联矩阵Aa为一个(nb)阶的矩阵。6/27/202231 ajk= +1，表示支路k与结点 j 关联并且它的方向背离结点；345261 ajk= 0， 表示支路k与结点 j 无关联。 ajk= -1，表示支路k与结点 j 关联并且它的方向指向结点； 举例 试写出以下图所示电路的关联矩阵。 Aa的行对应结点，列对应支路，它的任一元素ajk定义如下：6/27/202232特点 iAa的每一列只有+1和-1两个非零元素； ii如把Aa所有行的元素按列相加，那么可以得到一行全为零的元素，这说明这些行不是彼此独立的。或者说Aa中的任一行必能从其它(n-1)行导出。2降阶关联矩阵 如果把Aa的任一行划

12、去，剩下的(n-1) b阶矩阵称为降阶关联矩阵，一般用A加以表示。 今后将主要使用降阶关联矩阵，并经常省去“降阶二字。6/27/202233 将上面的第4行划去，那么可得到降阶关联矩阵为： 被划去的行所对应的结点可以作为参考结点。6/27/202234 设电路中的b个支路电流可以用一个b阶列向量表示Ai =结点1上的i结点2上的i 结点(n-1)上的i 根据KCL可知3. 基尔霍夫定律和关联矩阵A的关系1用矩阵A表示的KCL的矩阵形式 假设用矩阵A左乘电流列向量，那么乘积是一个(n-1)阶列向量，由矩阵相乘规那么可知，它的每一个元素为相应结点上各支路电流的代数和，即6/27/202235例如：

13、利用以下图验证 Ai =0 的正确性。3452616/27/2022362用矩阵A表示的KVL的矩阵形式 设电路中的b个支路电压可以用一个b阶列向量表示 (n-1)个结点电压可以用一个(n-1)阶列向量表示 由于矩阵A的每一列，也就是矩阵AT的每一行，表示每一对应支路与结点的关联情况，所以用矩阵A表示的KVL的矩阵形式为 上式说明电路中各支路的电压可以用与该支路相关联的两个结点的结点电压表示，这正是结点电压法的根本思想。6/27/202237解：设是参考结点，电压为零，那么345261例如：利用下图验证 的正确性。6/27/2022384. 复合支路定义- +Yk(Zk)+ -+- 对于结点电

14、压法，可采用以下图所示的复合支路。 本书对结点电压法中的复合支路有如下规定： 1电路中不存在受控电压源，同时也不允许无伴电压源支路的存在； 2其它与回路电流法中对复合支路的前三点规定相同。6/27/2022395. 支路电压、电流方程VCR的矩阵形式1当电路中无受控电流源，电感之间无耦合时的情况- +Yk(Zk)+ -+-对整个电路有此时，对于第k条支路有6/27/202240即：式中Y 称为支路导纳矩阵，它是一个对角阵。2电路中无受控电流源，但电感之间有耦合时的情况 此时还应计及互感电压的影响，根据上节结论可知，方程在形式上与上式完全相同，唯一的差异在于此时Y 不再是一个对角阵。6/27/2

15、022413电路中含有受控电流源，但电感之间无耦合时的情况- +Yk(Zk)+ -+- 此时，对第k条支路有 设第k条支路中的受控电流源受第j条支路中无源元件上的电压 或电流 控制，即 或 。6/27/202242- +Yj(Zj)+ -+- 那么在VCCS情况下，上式中的而在CCCS的情况下，上式中的 假设第j条支路如以下图所示6/27/202243于是整个电路支路方程的矩阵形式为6/27/202244 支路方程在形式上仍与情况1时相同，只是矩阵Y 的内容不同而已，此时Y 也不再是对角阵。上式中（当 为VCCS时）（当 为CCCS时）整个电路支路方程的矩阵形式可简写为6/27/2022450

16、（b）0（a）举例：电路如下图所示，图中元件的下标代表支路编号，设 ， ，写出支路方程的矩阵形式。6/27/202246支路导纳矩阵为参考教材P407图15-13解：，6/27/202247代入支路方程 ，可得6/27/2022486. 结点电压方程的矩阵形式整理后得结点电压方程的矩阵形式由KCLKVL支路方程若设 ，则结点电压方程的矩阵形式可写为 其中，Yn是一个(n-1)阶的方阵，称为结点导纳矩阵，它的主对角元素为自导纳，非主对角元素那么为互导纳。6/27/202249 试用矩阵形式列出电路的结点电压方程。电路如以下图(a)所示，图中元件的数字下标代表支路编号。7. 举例R4R3R5L1L

17、2iS3iS4C61234（a）解：作出电路的有向图，如上图b所示。1234164325（b）6/27/202250选结点为参考结点，那么关联矩阵为12341643256/27/202251R4R3R5L1L2iS3iS4C61234电压源列向量电流源列向量支路导纳矩阵为12341643256/27/202252代入结点电压方程的矩阵形式R4R3R5L1L2iS3iS4C612346/27/2022538. 结点电压法的步骤以相量形式为例（1）从已知网络写出 、 、 和 ； （2）根据 求出 ；（3）求出 和 ；（4）列出结点电压方程的矩阵形式（5）根据上式求出 ；（6）由KVL方程 求出各支

18、路电压 ；（7）根据支路方程 求出各支路电流 。6/27/20225415-3 割集电压方程的矩阵形式1. 割集电压法 以割集电压作为电路的待求变量，对电路进行分析的方法称为割集电压法。2. 割集 1定义 连通图G的一个割集是G的一些支路的集合，把这些支路移去将使G别离为两个局部，但是如果少移去其中任意一条支路，图仍将是连通的。 2举例6/27/202255abcdefbdeacf( b,d,e,f )是割集accdfabcdef(a,b,e)是割集6/27/202256 (a,b,c,d,e)不是割集，因为移去割集支路后，G 被别离成三局部。fabcdef (a,d,e, f ) 不是割集，

19、因为即使在割集支路中少移去一条支路 e ，图仍不能连通。bcabcdefbdeacf6/27/2022573割集确实定abcdef(a,b,e) 为割集cdfQ1abcdef 可以通过在连通图G上作闭合面的方法确定一个割集。 如果在G上作一个闭合面，使其包围 G 的某些结点。假设把与此闭合面相切割的所有支路全部移去，G 将被别离为两个局部，那么这样一组支路便构成一个割集。6/27/202258abcdefef(a,b,c,d )为割集(a,e,c,f )为割集abcdefQ3abcdefQ2bd6/27/2022594独立割集和根本割集独立割集 对应于一组线性独立KCL方程的割集称为独立割集。

20、abcdefabcdefabcdefabcdefabcdef 由于右侧四式不独立，所以Q1、Q2、Q3、Q4不是独立割集。6/27/202260根本割集 由树的一个树支与相应的一些连支构成的割集称为单树支割集或根本割集。根本割集组 对于一个具有n个结点的连通图，其树支数为(n-1)，因此将有(n-1)个单树支割集，这里称之为根本割集组。结论：对于一个具有n个结点的连通图而言，其独立的割集数为(n-1) 。 根本割集组是一组独立割集，但独立割集不一定是单树支割集，如同独立回路不一定是单连支回路一样。根本割集组的选择 首先选择图G 的一个树，然后在图G 中做闭合面并使闭合面每次只和一个树支相切割，

21、那么该树支和同闭合面相切割的连支共同构成一个单树支割集，同理可得到其它单树支割集。6/27/202261abcdef 选择a,e,c为树，树支用实线表示，连支用虚线表示。然后在图G中做闭合面，每个闭合面只和一个树支相切割，从而可得到(n-1)个单树支割集。abcdefQ1Q1(a,d, f )abcdefQ2Q2(b,e,d, f )abcdefQ3Q3(b,c, f )举例 以上三个图中的点划线表示树支和连支与相应闭合面相切割的情况。6/27/2022623. 割集矩阵1独立割集矩阵割集矩阵 设一个割集由某些支路构成，那么称这些支路与该割集关联。支路与割集的关联性质可用割集矩阵Q加以描述。

22、对每个割集编号，并指定一个割集方向移去割集所有支路，G 被分割成两局部，从其中一局部指向另一局部的方向称为割集方向，每一个割集只有两个可能的方向后，独立割集矩阵Q为一个(n-1) b阶的矩阵。 Q的行对应割集，列对应支路。割集矩阵Q 的任一元素qjk定义如下：qjk = +1，表示支路k与割集 j 关联，并且它们的方向一致；qjk = 1，表示支路k与割集 j 关联，并且它们的方向相反；qjk = 0， 表示支路k与割集 j 无关联。6/27/202263345261 选支路3、5、6为树支，其独立割集数为3。假设选如下图的3个割集，那么割集矩阵为 451Q24261Q3例如：求以下图所示电路

23、的割集矩阵。321Q16/27/2022642根本割集矩阵 如果选一组单树支割集作为独立割集组，那么称这种割集矩阵为根本割集矩阵，用 Qf 表示。 写 Qf 时，注意安排其行、列次序如下： 把(n-1)条树支依次排列在对应于Qf 的第1到第(n-1) 列，然后再排列连支； 取每一单树支割集的序号为相应树支所在列的序号，且选割集方向与相应树支方向一致。 Qf 将具有如下形式式中，下标 t 和 l 分别表示对应于树支和连支的局部；1t是一个(n-1)阶的单位子矩阵。6/27/202265345261 选支路3、5、6为树支，得到如下图的3个割集，写出根本割集矩阵Qf 为：321Q1451Q2426

24、1Q3例如：求以下图所示电路的根本割集矩阵。6/27/2022664. 基尔霍夫定律和割集矩阵Q的关系1 用割集矩阵Q Q f表示的KCL的矩阵形式 设b个支路电流用i =i1 i2 ibT表示，根据割集矩阵的定义和矩阵的乘法规那么不难得出Qi =割集1对应闭合面上的i割集2对应闭合面上的i 割集(n-1)对应闭合面上的i 根据闭合曲面KCL可知6/27/202267345261例如：利用以下图验证 Qi =0 的正确性。6/27/202268321Q1451Q24261Q36/27/202269 有时也可以写为这里的 ，其中it 表示树支电流，il 表示连支电流。3452616/27/202

25、270321Q1451Q24261Q36/27/2022712用矩阵Qf 表示的KVL的矩阵形式 设(n-1)个树支电压用ut=ut1 ut2 ut(n -1)T表示，b 个支路电压用uf =ut |ulT表示，其中t 表示树支局部的电压，l 表示连支局部的电压。 通常选单树支割集作为独立割集，并将树支电压作为对应的割集电压，那么ut 可看作根本割集组的割集电压列向量。 由于Qf 的每一列，也就是QfT的每一行，表示一条支路与割集的关联情况，按矩阵相乘的规那么可得支路电压 上式说明电路的支路电压可以用树支电压割集电压表示，这就是后面将介绍的割集电压法的根本思想。6/27/202272 支路电压为：uf =u3 u5 u6 u1 u2 u4T设割集树支电压为 ：ut=ut1 ut2 ut3T选支路3、5、6为树支，那么345261例如：利用下图验证 的正确性。6/27/2022735. 复合支路和支路电压、电流方程的矩阵形式 复合支路的定义同结点电压法复合支路，如以下图所示。所以，对整个电路而言，其支路方程的矩阵形式为- +Yk(Zk)+ -+-6/27/2022746. 割集电压方程的矩阵形式整理后得割集电压方