第七章 Microsoft PowerPoint 演示文稿

1、一、机械波的产生一、机械波的产生产生条件产生条件 （1）波源；（）波源；（2）弹性介质。）弹性介质。 波动只是振动状态在媒质中的传播，介波动只是振动状态在媒质中的传播，介质的各质点并不随波传播，只在各自的平衡质的各质点并不随波传播，只在各自的平衡位置附近振动。位置附近振动。机械波机械波 机械振动在弹性介质中的传播。机械振动在弹性介质中的传播。注意注意横波横波 质点振动方向质点振动方向与与波的传播方向垂直。波的传播方向垂直。二、横波与纵波二、横波与纵波 特征特征 具有交替出现的波峰和波谷。具有交替出现的波峰和波谷。u纵波纵波 质点振动方向与波的传播方向平行。质点振动方向与波的传播方向平行。特征特

2、征 具有交替出现的密部和疏部。具有交替出现的密部和疏部。u三、波线和波面三、波线和波面波线波线 沿波的传播方向画的带箭头的线。沿波的传播方向画的带箭头的线。波面波面 在波的传播过程中，在波的传播过程中，任一时刻任一时刻媒质媒质中各振动相位相同的点连接成的面。中各振动相位相同的点连接成的面。 在任一时刻，波面可以有任意多个。在任在任一时刻，波面可以有任意多个。在任一时刻，只有一个波前。一时刻，只有一个波前。在各向同性的介质中，波线与波面垂直。在各向同性的介质中，波线与波面垂直。 波前波前 在任一时刻，由波源在任一时刻，由波源最初振动状态最初振动状态传到的各点所连成的曲面。传到的各点所连成的曲面。

3、*球面波球面波平面波平面波波前波前波面波面波线波线四、波长四、波长 周期周期 频率频率 波速波速OyAA-ux1. 波长波长 波传播时，同一波线上两个相邻的、波传播时，同一波线上两个相邻的、相位差为相位差为2的质点之间的距离。的质点之间的距离。2. 周期周期 T 波前进一个波长的距离所需要的时波前进一个波长的距离所需要的时间。间。T1Tu/(2) 波的频率波的频率 与媒质的性质无关。与媒质的性质无关。说明说明 (1) 波长反映了波的空间周期性。波长反映了波的空间周期性。周期周期表征了波的时间周期性。表征了波的时间周期性。3. 频率频率 周期的倒数，即单位时间内波动所传周期的倒数，即单位时间内波

4、动所传播的完整波的数目。播的完整波的数目。4. 波速波速 u 振动状态（即振动相位）在媒质中振动状态（即振动相位）在媒质中的传播速度（也叫相速）。的传播速度（也叫相速）。/Yu a. 拉紧的绳子或弦线中横波的波速拉紧的绳子或弦线中横波的波速 /Tu b. 均匀细棒中，纵波的波速均匀细棒中，纵波的波速 (3) 波速波速u 大小主要决定于媒质的性质。大小主要决定于媒质的性质。T 张力张力 线密度线密度Y 固体棒的杨氏模量固体棒的杨氏模量 固体棒的密度固体棒的密度c. 液体和气体液体和气体只能只能传播纵波，波速传播纵波，波速/Bu B 液体或气体的体积模量液体或气体的体积模量 液体或气体的密度液体或

5、气体的密度简谐波简谐波 如果所传播的是谐振动，且波所如果所传播的是谐振动，且波所到之处，媒质中各质点均作同频率、同振幅的到之处，媒质中各质点均作同频率、同振幅的谐振动，这样的波即为简谐波。谐振动，这样的波即为简谐波。平面简谐波平面简谐波 波面为平面的简谐波。波面为平面的简谐波。说明说明(1) 复杂的波可分解为一系列简谐波。复杂的波可分解为一系列简谐波。(2) 平面简谐波各处振幅相同。平面简谐波各处振幅相同。一、平面简谐波的波函数一、平面简谐波的波函数波函数波函数 介质中任一质点（坐标为介质中任一质点（坐标为 x）相）相对其平衡位置的位移（坐标为对其平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变）随时间

6、的变化关系，即化关系，即 y = f ( x, t )。1. 推导以速度推导以速度 u 沿沿 + x 方向传播的平面简方向传播的平面简谐波波动方程。谐波波动方程。)cos()(0OtAty设原点设原点O 的振动方程为的振动方程为y xxuP PO 点点O 的振动方程的振动方程) cos()(0tAtyO点点 P 振动方程振动方程uxt/ t 时刻点时刻点 P 的运动的运动t-x/u 时刻点时刻点O 的运动的运动)(cos0-uxtAyP点点P 振动方程振动方程(1) 时间推迟方法时间推迟方法 波函数波函数点点 P 比点比点 O 落后落后的相位的相位uxt(2) 相位落后法相位落后法O点的相位为

7、点的相位为 时时, P点的相位为点的相位为t)(uxt -y xxuP PO )(cos0-uxtAyP点点P 振动方程振动方程 波函数波函数波函数的其它形式波函数的其它形式沿沿 x 轴轴正正方向传播方向传播 取取 “-” ；沿沿 x 轴轴负负方向传播方向传播 取取 “+” 。)(2cos)(0 xtAx,ty)(2cos)(0 xTtAx,ty)(2cos)(0 xutAx,ty2. 波函数的物理意义波函数的物理意义-xtAuxtAy2cos)(cos（1） 当当x一定，一定，t 变化时变化时-x2（具有时间的周期性具有时间的周期性）),(),(TtxytxytAtycos)( 则则表示表示

8、x点处质点的振动方程点处质点的振动方程ytt+T/4时刻时刻 t 时刻时刻（波具有空间的周期性）（波具有空间的周期性）),(),(txytxy（2） 当当 t 一定，一定，x 变化时变化时Ct 令令（定值）（定值） -xAxy2cos)(则则表示表示 t 时刻波传播方向上各质点的位移时刻波传播方向上各质点的位移, 即即t 时刻的波形时刻的波形yxut0 时刻的波形曲线时刻的波形曲线yttu x1x2ut 1时刻时刻 t2时刻时刻t1 时刻，时刻，x1 处质点的位移为处质点的位移为)(cos),(01111-uxtAtxy)(cos),(02222-uxtAtxyt2 时刻，时刻，x2 处质点的

9、位移为处质点的位移为)()(cos011-uxtuxtA（3）若）若x，t 均变化，波函数表示波形沿传播方均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）向的运动情况（行波） 若若 tux ，则，则 。),(),(2211txytxy x1 处质点的位移在处质点的位移在t 时间后出现在时间后出现在 x2 (= x1 + ut) 处，处，即即x1 处点的位移经处点的位移经t 时间时间传播了传播了x= ut 的距离，传播速度为的距离，传播速度为u。)(cos),(01111-uxtAtxy)()(cos),(01122-uxtuxtAtxym)10. 050(cos04. 0 xty- )210

10、. 0250(2cos04. 0 xty-把波动方程改写成把波动方程改写成解解 方法一方法一（比较系数法比较系数法）例例1 一平面简谐波沿一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其轴正方向传播，已知其波函数为波函数为 。求求 (1)波的振幅、波长、周期及波速；波的振幅、波长、周期及波速；(2)质点质点振动的最大速度。振动的最大速度。)(2cosxTtAy-比较标准波函数比较标准波函数 ，得，得s04. 0502Tm2010. 02s/m500Tum04. 0Am )10. 050(cos04. 0 xty-振幅、周期、波长和波速为振幅、周期、波长和波速为 方程方程 方法二方法二（由各物理量的定义解）

11、（由各物理量的定义解） 周期周期T 质点振动相位变化质点振动相位变化2所经历的时间所经历的时间振幅振幅A 即位移的最大值即位移的最大值，所以，所以 A=0.04m2)10. 050()10. 050(12-xtxt设设x处质点在处质点在T = t2 - t1的时间内相位变化的时间内相位变化2 s 04. 012-ttT波长波长 在同一波形图上相位差为在同一波形图上相位差为2的两点间的两点间的距离。的距离。 m2012-xx波速波速 单位时间内某一振动状态（相位）传单位时间内某一振动状态（相位）传播过的距离。播过的距离。)10. 050()10. 050(1122xtxt-)10. 050()1

12、0. 050(1122xtxt- 设时刻设时刻t1，x1处的相位在质点在时刻处的相位在质点在时刻t2传到传到x2 处，则处，则s/m5001212-ttxxu )10. 050(sin5004. 0 xtty-vs/m28. 65004. 0maxvm )10. 050(cos04. 0 xty-最大值为最大值为(3) 质点的振动速度为质点的振动速度为 ux2x1Oy1mx1m例例2 一平面简谐横波以一平面简谐横波以400m/s的波速在均匀的波速在均匀介质中沿直线传播。介质中沿直线传播。 已知波源的振动周期为已知波源的振动周期为0.01s，振幅，振幅 A=0.01m。设以波源振动经过平。设以波

13、源振动经过平衡位置向正方向运动时作为计时起点，衡位置向正方向运动时作为计时起点，求求(1)以距波源以距波源2m处为坐标原点写出波函数。处为坐标原点写出波函数。(2)以以波源为坐标原点写出波函数。波源为坐标原点写出波函数。 (3)距波源距波源 2m和和1m两点间的振动相位差两点间的振动相位差。解解 (1)以波源为坐标原点以波源为坐标原点 t =0时，时，y0=0，u00，所以初相位为所以初相位为-/2 。)2cos()(00tTAtys 40022uxt波源的振动方程为波源的振动方程为)2200cos(01. 0-t波从波从O点传播到点传播到2m处质点所需要的时间为处质点所需要的时间为距波源距波

14、源2m处质点的振动方程处质点的振动方程)(cos)(0-ttAty)24002200200cos(01. 0-tux2x1Oy1mx1m)23200cos(01. 0)(-tty)(cos),(-uxtAtxy以距波源以距波源2m处为坐标原点的波函数为处为坐标原点的波函数为23)400(200cos01. 0-xt)2200cos(01. 0-ty以波源为坐标原点的波函数为以波源为坐标原点的波函数为(2)波源的振动方程为波源的振动方程为 2)400(200cos01. 0),(-xttxy)23200cos(01. 0)(2-tty)200cos(01. 0)(1-tty距波源距波源2m和和1

15、m两点间的振动相位差两点间的振动相位差为为2)200()23200(-tt(3) 将将x=2m和和x=1m分别代入分别代入(2)中的波函数中的波函数 ux2x1Oy1mx1m O点的振动相位超前于点的振动相位超前于x0点点 x0/u，则，则O点点的振动方程为的振动方程为)(cos000uxtAy )cos(0tAy例例3 一平面简谐波，波速为一平面简谐波，波速为u，已知在传播方，已知在传播方向上向上x0点的振动方程为点的振动方程为 。 试就试就图所示的图所示的(a)、(b)两种坐标取法两种坐标取法分别写出分别写出各自的波函数。各自的波函数。解解 (a) 坐标取法中，坐标取法中，波的传播方向与波

16、的传播方向与 x 轴轴正方向相同。正方向相同。y xx0uO )(ay xx0uO )(b沿沿 x 轴正方向传播的平面简谐波的波函数为轴正方向传播的平面简谐波的波函数为)(cos000-uxuxtAy)(cos00-uxxtA 波由波由O点传播到点传播到x0点使得点使得O点的振动相位落后于点的振动相位落后于x0点点 x0/u(b) 坐标取法中，波的传播方坐标取法中，波的传播方向与向与x轴正方向相反。轴正方向相反。y xx0uO )(b沿沿x轴反方向传播的平面简谐波的波函数为轴反方向传播的平面简谐波的波函数为)(cos000-uxuxtAy)(cos00-uxxtA则则O点的振动方程为点的振动方

17、程为)(cos000-uxtAyy xx0uO )(b一、波的能量和能量密度一、波的能量和能量密度设绳子的横截面积为设绳子的横截面积为S，波的传播速度，波的传播速度为为 u。取波的传播方向为。取波的传播方向为 x 轴，绳子的振动方轴，绳子的振动方向为向为 y 轴，则简谐波的波函数为。轴，则简谐波的波函数为。)/(cos0-uxtAy在绳子上在绳子上x处取线元处取线元x ，则，则xm为绳子的质量线密度。为绳子的质量线密度。1. 波的能量波的能量y xO x该线元的振动速度为该线元的振动速度为)(sin0-uxtAtyv(1) 线元的动能线元的动能2k21vmW)(sin210222-uxtxA

18、在波的传播过程中，由原长在波的传播过程中，由原长x 变成变成l，形变为形变为l -x ，线两端受张力，线两端受张力T=T1=T2。张力张力做的功等于线元的势能做的功等于线元的势能)(pxlTW-y xO x1T2Tly2/ 1222)(1 )()(xyxyxl2/ 12)(1 xyx)(211 2xyxl用二项式定理展开，并略去高此项，得用二项式定理展开，并略去高此项，得xxyTxlTW-2p)(21)()(sin0-uxtuAxy)(sin210222p-uxtxAW(2) 线元的势能线元的势能)(sin0222pk-uxtxAWWW(3) 线元的总机械能线元的总机械能讨论讨论(1) 在波动

19、传播的媒质中，任一线元的动在波动传播的媒质中，任一线元的动能、能、 势能、总机械能均随势能、总机械能均随 x, t 作周期性变化，作周期性变化，且变化是且变化是同相位同相位的。的。(2) 体积元在平衡位置时，动能、势能和总体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能机械能均最大。均最大。(3) 体积元的位移最大时，体积元的位移最大时，三者均为零。三者均为零。(4) 任一线元都在不断地接收和放出能量，任一线元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量。即不断地传播能量。 任一线元的机械能不守恒，任一线元的机械能不守恒，随随 t 作周期性变化，所以，作周期性变化，所以，波动过程是能量的波动过程是能量的

20、传播过程传播过程。2. 能量密度能量密度w 单位体积介质中波的能量。单位体积介质中波的能量。)(sin222uxtASxWVW-w22021d1AtTTww为绳子单位体积的质量。为绳子单位体积的质量。w平均能量密度平均能量密度 能量密度在一个周期内的平均值。能量密度在一个周期内的平均值。二、能流密度二、能流密度uTSuTSIww单位时间内，沿波的传播方向垂直通过单单位时间内，沿波的传播方向垂直通过单位面积的平均能量。位面积的平均能量。 udtSuuAI2221( 波的强度波的强度 )uIw写成矢量形式为写成矢量形式为 三、平面波和球面波的振幅三、平面波和球面波的振幅1. 平面波平面波 （介质不

21、吸收能量）（介质不吸收能量）21WW 21AA 介质不吸收能量介质不吸收能量TSIW1112/222222uSTATSIW一个周期内通过两个面的能量分别为一个周期内通过两个面的能量分别为2/221uSTA平面波在媒质不吸收的情况下平面波在媒质不吸收的情况下, 各处振幅相同。各处振幅相同。u1S2S2. 球面波球面波一个周期内通过两个球面的能量分别一个周期内通过两个球面的能量分别为为2/ 421221111TruATSIW2/ 422222222TruATSIW介质不吸收能量介质不吸收能量21WW 2211rArA2S1S2r1r 设距波源单位距离处波的振幅为设距波源单位距离处波的振幅为A0，则

22、距，则距波源波源 r 处的波的振幅处的波的振幅rAA/00 )(cos),(00-rurtrAtry则则球面简谐波的波函数为球面简谐波的波函数为球面波的振幅随球面波的振幅随 r 增大而减小。增大而减小。2S1S2r1r四、波的吸收四、波的吸收吸收媒质吸收媒质, ,实验表明实验表明xIIdd-xIIdd-xeII-0(1) 为介质吸收系数，与介质的性质及为介质吸收系数，与介质的性质及波的频率有关。波的频率有关。说明说明(2) 波的强度随传播距离按指数衰减。波的强度随传播距离按指数衰减。xOIxdx0I 波在传播的过程中遇到障碍物或小孔时，波在传播的过程中遇到障碍物或小孔时，能够绕过障碍物的边缘继

23、续传播的现象。能够绕过障碍物的边缘继续传播的现象。衍射衍射 惠更斯原理惠更斯原理 (1) 行进中的波面上行进中的波面上任意一点都可看作是新的任意一点都可看作是新的次波源；次波源； (2) 所有次波源各自所有次波源各自向外发出许多子波；向外发出许多子波； (3) 各个次波所形成的包络面，就是原波面各个次波所形成的包络面，就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。在一定时间内所传播到的新波面。说明说明 (1) 若已知某一时刻波前，可用几何方法若已知某一时刻波前，可用几何方法求出下一时刻波前。求出下一时刻波前。tt tur 2S1StS2S1Ou t(2) 解释衍射、反射、折射现象。解释衍射、反射、折

24、射现象。波的反射波的反射 反射角等于折射角。反射角等于折射角。AB1B2B3A3utABBA33333BAAABBo9033ABAB B333ABBBAA12i i21ii波的折射波的折射DAE1E2CBtiituBC1iACsintuAD2sinACtutuACiAC21sinsin2121sinsinnuui (3) 亦适用于电磁波，非均匀和各向异性亦适用于电磁波，非均匀和各向异性媒质。媒质。 (4) 不足之处（未涉及振幅，相位等的分不足之处（未涉及振幅，相位等的分布规律）。布规律）。说明说明一、波的叠加原理一、波的叠加原理1. 波传播的独立性波传播的独立性2. 叠加原理叠加原理几列波相遇

25、之后，几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有仍然保持它们各自原有的特征（频的特征（频、波长、振幅、振动方向等）不、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样。到过其他波一样。在相遇区域内任一质点的振动，为各列波在相遇区域内任一质点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动的合振动。单独存在时在该点所引起的振动的合振动。二、相干波与相干条件二、相干波与相干条件干涉现象干涉现象 相干条件相干条件频率相同、振动方向相同、相位差恒定。频率相同、振动方向相同、相位差恒定。 两列（或多列）相干波叠加，将在空两列（或多列）相干波

26、叠加，将在空间形成一种稳定的强弱相间的强度间形成一种稳定的强弱相间的强度 (振幅振幅) 分布。分布。相干波相干波满足相干条件的两列波。满足相干条件的两列波。 1s2sP*1r2r波源振波源振动方程动方程)cos(111tAy)cos(222tAy)2cos(1111rtAyp-)2cos(2222rtAyp-点点P 的两个分振动的两个分振动三、干涉规律三、干涉规律)cos(21tAyyyppp点点P 的合振动的合振动cos22122212AAAAA12122rr - P 点处波的强度点处波的强度合振动的振幅合振动的振幅其中其中cos22121IIIII讨论讨论(1) 合振动的振幅（波的强度）在

27、空间各合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的。点的分布随位置而变，但是稳定的。, 2 , 1 , 02kk, 2 , 1 , 0) 12(kk21maxAAA21minAAA-2121max2IIIII (2) 干涉相长干涉相长 (3) 干涉相消干涉相消2121min2IIIII-, 2 , 1 , 0kk, 2 , 1 , 0)2/1(kk21maxAAA21minAAA-2121max2IIIII 干涉相长干涉相长 干涉相消干涉相消2121min2IIIII-波程差波程差12rr -若若 则则212-例例1 A、B 两点为两相干波源两点为两相干波源, 振幅均为振幅均

28、为 5 cm,频率均为频率均为100 H z, 当当 A 点为波峰时点为波峰时, B 点适为点适为波谷波谷, 设波速为设波速为10 m /s ，求求 P 点的干涉结果。点的干涉结果。 解解已知已知 AP = 15 m, AB = 20 mm2522ABAPBP12-m1 . 010010u20m15mABP两波在两波在P点的相位差为：点的相位差为：201212-APBP由于两波在由于两波在 P 点相位相反点相位相反, 故合振幅为零。故合振幅为零。A = 0 20m15mABP例例2 两波源分别位于同一介质两波源分别位于同一介质A和和B 处，振动处，振动方向相同，振幅相等，频率皆为方向相同，振幅

29、相等，频率皆为100Hz，但，但A 处波源比处波源比 B 处波源相位落后处波源相位落后。若。若 A、B 相距相距10m，波速为，波速为4000m/s，试求由，试求由A、B之间连线之间连线上因干涉而静止的点。上因干涉而静止的点。xrxr-10BA解解 建立所示的坐标系，任取一点建立所示的坐标系，任取一点x，则两波，则两波到该点的波程分别为到该点的波程分别为O10mrArBBAxx4 - x)210(4001002x-ABAB2rr -两波相位差为两波相位差为)10(2xxu-,2, 1 ,0) 12 (4-kkx12 kx所以，因干涉而静止的点为所以，因干涉而静止的点为m,9,7,5,3,1x因

30、干涉而静止的点，满足干涉相消条件因干涉而静止的点，满足干涉相消条件一、弦线上的驻波实验一、弦线上的驻波实验驻波驻波 两列振幅、振动方向和频率都相同，两列振幅、振动方向和频率都相同，而传播方向相反的同类波相干叠加的结果形成而传播方向相反的同类波相干叠加的结果形成驻波。驻波。二、驻波波函数二、驻波波函数)(2cos )(2cos21xtAyxtAy-)(2cos)(2cos21xtxtAyyy-txA2cos)2cos2(txAcos)(讨论讨论(1) 振幅分布振幅分布振幅随位置振幅随位置 x 按余弦分布。按余弦分布。xAxA2cos2)(02cosx)21(2kx 2 , 1 , 0 4) 12

31、(，kkxk0minAa. 波节波节24) 12(4 1) 1( 21-kkxxkk相邻波节间的距离相邻波节间的距离12cosx2kx 2 , 1 , 0 2，kkxkAA2maxb. 波腹波腹222) 1(1-kkxxkk相邻波腹间的距离相邻波腹间的距离424) 12(-kkx相邻波节和波腹间的距离相邻波节和波腹间的距离( (2) )相位分布相位分布tAtxAycoscos)2cos2(结论结论1 1 相邻两波节间各点振动相位相同相邻两波节间各点振动相位相同。)2,2(2-xtxAycos)2cos2(02cos, )4,4(-xx结论结论2 一波节两侧各点振动相位相反一波节两侧各点振动相位

32、相反。02cos),43,4(xx)cos()2cos2(cos)2cos2(-txAtxAy相位不做定向传播，振动状态无定向传播。相位不做定向传播，振动状态无定向传播。)23,2(2xxy443454-2k)(dtyW2p)(dxyWAB C波节波节波腹波腹xx位移最大时位移最大时平衡位置时平衡位置时( (3) )能量分布能量分布a. 驻波的能量在相邻驻波的能量在相邻的波腹和波节间往的波腹和波节间往复变化复变化;b.相邻波节间动能和相邻波节间动能和势能相互转换势能相互转换;c. 动能主要集中在波动能主要集中在波腹腹,势能主要集中在势能主要集中在波节波节,但但无能量的定无能量的定向传播。向传播

33、。 驻波一般由入射、反射波叠加而成，反驻波一般由入射、反射波叠加而成，反射发生在两介质交界面上，在交界面处出现射发生在两介质交界面上，在交界面处出现波节还是波腹，取决于介质的性质波节还是波腹，取决于介质的性质 。n 小小 波疏介质波疏介质, , n 大大 波密介质。波密介质。介质分类介质分类(4) 半波损失（相位跃变）半波损失（相位跃变） 当波从当波从波疏介质垂直入射到波密介质波疏介质垂直入射到波密介质，被，被反射到波疏介质时形成反射到波疏介质时形成波节波节。入射波与反射波入射波与反射波在此处的相位时时在此处的相位时时相反相反, , 即反射波在即反射波在分界处分界处产产生生的相位的相位跃变跃变

34、，相当于出现了半个波长的波，相当于出现了半个波长的波程差，称程差，称半波损失半波损失。半波损失半波损失（相位跃变）（相位跃变） 当波从波密介质垂直入射到波疏介质，当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质时形成被反射到波密介质时形成波腹波腹。入射波与反入射波与反射波在此处的相位时时射波在此处的相位时时相同相同，即反射波在分，即反射波在分界处界处不不产生相位产生相位跃变跃变。(5) 振动的简正模式振动的简正模式驻波频率为驻波频率为两端固定的弦线形成驻波时，波长两端固定的弦线形成驻波时，波长n和弦和弦线长线长 l 应满足应满足2nnl, 2 , 1,2nlunn 由频率由频率n决定的各种

35、振动方式称为弦线振决定的各种振动方式称为弦线振动的动的简正模式简正模式。, 2 , 12nnln 两端两端固定固定的弦振动的简正模式的弦振动的简正模式21l222l233l一端一端固定固定一端一端自由自由 的弦振动的简正模式的弦振动的简正模式, 2 , 12)21(-nnln41l432l453l例例1 一长为一长为L的弦线，拉紧后将其两端固定。拨的弦线，拉紧后将其两端固定。拨动弦线使其振动，形成的波将沿弦线传播，在动弦线使其振动，形成的波将沿弦线传播，在固定端发生反射而在弦线上形成驻波。已知波固定端发生反射而在弦线上形成驻波。已知波在弦线中传播的速度为在弦线中传播的速度为 ，式中，式中 是是

36、弦线单位长度的质量，弦线单位长度的质量，T是弦线的张力。证明是弦线的张力。证明此弦线只能作下列固有频率的振动此弦线只能作下列固有频率的振动Tu ,3,2,1,2nTnn21l222l233l解解 由于弦线两端固定，波在固定端反射时有半由于弦线两端固定，波在固定端反射时有半波损失，形成驻波时，两端点处为波节，两相波损失，形成驻波时，两端点处为波节，两相邻波节之间距离为邻波节之间距离为 ，所以有，所以有2/n,3,2,1,2nnLn即即 ,3,2,1,2nnLn将弦线中的波速将弦线中的波速 代入上式，得代入上式，得 Tu ,3,2,1,2nTnn)(2cos1xTtAy-)(2cos2-xTtAy

37、例例2 一沿一沿x 方向传播的入射波在方向传播的入射波在 x = 0处发生反处发生反射，反射点为一波节。已知波函数为射，反射点为一波节。已知波函数为求求 (1) 反射波的波函数；反射波的波函数；(2) 求合成波（驻波）的波函数；求合成波（驻波）的波函数； (3) 各波腹和波节的位置坐标。各波腹和波节的位置坐标。解解 (1)反射点为波节反射点为波节，说明波反射时有，说明波反射时有的相位的相位跃变，所以跃变，所以反射波的波函数为反射波的波函数为)(2cos)(2cos21-xTtAxTtAyyy)22cos()22cos(2-TtxATtxA2sin2sin212sinx)21(2kx(2) 合成

38、波（驻波）的波函数为合成波（驻波）的波函数为 (3) 形成波腹的各点，振幅最大，即形成波腹的各点，振幅最大，即12sinx 2 , 1 , 0 4) 12(，kkxk2kx 2 , 1 , 0 2，kkxk形成波节的各点，振幅为零，即形成波节的各点，振幅为零，即 一、波源静止，观察者运动一、波源静止，观察者运动多普勒效应多普勒效应 由于观察者（或波源、或二由于观察者（或波源、或二者）相对于媒质运动，而使观察者接收到的频者）相对于媒质运动，而使观察者接收到的频率发生变化的现象。率发生变化的现象。 uou v0o/uu v0o)1 (uv观测者靠近波源，观测者靠近波源，vO 0 ；反之，反之，vO

39、 0; 反之反之, vS S 远离运动，则远离运动，则 u时，多普勒效应失去意义，所有时，多普勒效应失去意义，所有波前将聚集在一个圆锥面上，波的能量高度集波前将聚集在一个圆锥面上，波的能量高度集中形成中形成冲击波冲击波，如核爆炸、超音速飞行等。，如核爆炸、超音速飞行等。多普勒效应的应用多普勒效应的应用（5）卫星跟踪系统等。卫星跟踪系统等。（1）交通上测量车速；交通上测量车速；（2）医学上用于测量血流速度；医学上用于测量血流速度；（3）天文学利用电磁波红移说明大爆炸理论；天文学利用电磁波红移说明大爆炸理论；（4）用于贵重物品、机密室的防盗系统；用于贵重物品、机密室的防盗系统；例例1 一声源，其振动频率为一声源，其振动频率为1000Hz。（1）当它以当它以20m/s的速度向静止的观察者运动的速度向静止的观察者运动时，此观察者接收到的声波频率是多大？时，此观察者接收到的声波频率是多大？（2）如果声源静止，而观察者以）如果声源静止，而观察者以20m/s的速度的速度向声源运动时，此观察者接收到的声波频率是向声源运动时，此观察者接收到的声波频率是