大学线性代数——空间直角坐标系向量坐标表示

1、教学要求：教学要求：1. 理解空间直角坐标系，理解向量的表示理解空间直角坐标系，理解向量的表示;2. 掌握向量的坐标运算掌握向量的坐标运算;3. 掌握单位向量、方向角与方向余弦、向量的坐标掌握单位向量、方向角与方向余弦、向量的坐标 分解式分解式. .空间直角坐标系一 .运算利用坐标作向量的线性二 .向量的模与方向余弦三 .空间直角坐标系一x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系三个坐标轴的正三个坐标轴的正方向符合方向符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指从正向从正向x轴以轴以2 角角度转向正向度转向正向y轴轴时，大拇指

2、的指向时，大拇指的指向就是就是z轴的正向轴的正向.1. 坐标系的建立坐标系的建立三个坐标面与八个卦限：三个坐标面与八个卦限：xyozxoy面面yoz面面zox面面2. 空间点与有序数组的关系空间点与有序数组的关系空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 113. 坐标轴与坐标面上点的坐标的特征坐标轴与坐标面上点的坐标的特征)0 , 0 , 0(O坐标原点坐标原点),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C4. 关于原点、坐标轴、坐标

3、面对称的点关于原点、坐标轴、坐标面对称的点)(IV),(III),(II),( I )(VIII),(VII),(VI),(V )0, 0, 0(),(zyx 轴轴oxzyx),(),(),(zyxzyxoy 轴轴),(),(zyxzyxoz 轴轴 xoyzyx),(),(),(zyxzyxyoz ),(),(zyxzyxzox ),(zyx ),(zyx ),(zyx 5. 向量的坐标分解式向量的坐标分解式xyzo ),(zyxMPNQR NMPNOPOM OROQOPkzj yi x 称为向量称为向量 的坐标分解式的坐标分解式.;, ,轴上的分向量轴上的分向量在在分别叫做分别叫做ozoyo

4、xkzj yi x ., ,轴上的坐标或投影轴上的坐标或投影在在分别叫做分别叫做ozoyoxzyx ),(zyxkzj yi x . )1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1(称称为为基基本本单单位位向向量量其其中中 kji .运算利用坐标作向量的线性二的的分分解解式式求求设设2122221111 ),(),( . 1MMzyxMzyxMxyzo1M2M)()(111222kzjyixkzjyix kzzjyyixx)()()(121212 ),(121212zzyyxx 1221OMOMMM )()( . 2222111kzjyixkzjyix kzzjyyixx

5、)()()(212121 ),(212121zzyyxx )()(222111kzjyixkzjyix kzzjyyixx)()()(212121 ),(212121zzyyxx )(111kzjyixkk )()()(111kkzjkyikx ),(111kzkykx Solution.,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，ABMxyzoex1 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为两已知点，为两已知点，而在而在AB直线上的点直线上的点M分有向线段分有向线段AB为两部分为两部分AM、MB，使它们的值的比等于某数，使它们的

6、值的比等于某数)1( ，即即 MBAM，求分点的坐，求分点的坐标标. 由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为为中中点点时时，,221xxx ,221yyy .221zzz .向量的模与方向余弦三1. 向量的模向量的模 xyzo ),(zyxMPNQR由右图及勾股定理可知由右图及勾股定理可知: 222OROQOPOM 222zyx 即为向量的模的坐标表示式即为向量的模的坐标表示式. 2122122122

7、1 zzyyxxMM 从从而而有有空间两点间距离公式空间两点间距离公式ex2 求求证证以以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M三三点点为为顶顶点点的的三三角角形形是是一一个个等等腰腰三三角角形形. Solution: 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM.13MM 结论成立结论成立.ex3 设设P在在x轴轴上上， 它它到到)3 , 2, 0(1P的的距距离离为为到到点点)1, 1 , 0(2 P的的距距离离的的两两倍倍，求求点点 P

8、的的坐坐标标. Solution.设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因因为为P在在x轴轴上上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 2. 两向量的夹角两向量的夹角,),(),(. , 记记为为的的夹夹角角向向之之间间不不大大于于正正与与的的夹夹角角就就是是指指与与点点交交于于设设向向量量O.0 且且 ,/ 时时当当 .,;0, 若若反反向向若若同同向向类似地，可定义向量与坐标轴以及坐标轴间的夹角类似地，可定义向量与坐标轴以及坐标轴间的夹角

9、.3. 向量在轴上的投影向量在轴上的投影空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过点过点A作轴作轴u的垂直的垂直平面，交点平面，交点A 即为点即为点A在轴在轴u上的投影上的投影.空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在在轴轴u上的投影分别为上的投影分别为BA ,那那么轴么轴u上的有向线段上的有向线段BA 的的值，称为向量在轴值，称为向量在轴u上的投影上的投影. BAuBABAuBABABAABju , 0 , ,Pr反向反向与与同向同向与与关于向量的关于向量的投影定理投影定理1 1 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影

10、等等于于向向量量的的模模乘乘以以轴轴与与向向量量的的夹夹角角的的余余弦弦：ABjuPr cos| AB 证证uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 注意：注意：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 (5) 在同一轴上投影相等的两个向量不一定相等在同一轴上投影相等的两个向量不一定相等.u关于向量的关于向量的投影定理投影定理2 2两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和.

11、.PrPr)(Pr jjj AA BB CC （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u .Pr)(Pr jkkj 4. 向量向量 x,y,z 的方向余弦的坐标表示式的方向余弦的坐标表示式非零向量非零向量 的的方向角方向角： 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 由投影定理可知由投影定理可知 cos|Pr oxjx cos|Pr oyjy cos|Pr ozjz向量的方向余弦向量的方向余弦,0222时时当当 zyx,cos222zyxx ,cos222zyxy .cos222zyxz 向量方向

12、余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征| .cos,cos,cos )cos,cos,cos( ex4 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的单单位位向向量量的的分分解解式式. Solution:所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或为或为|aa .116117116kji Solution.设设向向量量21PP的的方方向向角角为为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .),3 , 0 , 1(,43, 2,. 5212121的的坐坐标标求求的的坐坐标标为为如如果果和和分分别别为为轴轴的的夹夹角角轴轴和和它它与与已已知知设设有有向向量量PPyxPPPPex .32,3 设设2P的的坐坐标标为为),(zyx, 1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的坐标为的坐标为).