参数估计计算

1、正态分布 正态分布是一种很重要的连续型随机变量的正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概率分布。概率分布。生物现象中有许多变量是服从生物现象中有许多变量是服从或近似服从正态分布的或近似服从正态分布的。许多统计分析方。许多统计分析方法都是以正态分布为基础的。此外，还有法都是以正态分布为基础的。此外，还有不少随机变量的概率分布在一定条件下以不少随机变量的概率分布在一定条件下以正态分布为其极限分布。因此在统计学中，正态分布为其极限分布。因此在统计学中，正态分布无论在理论研究上还是实际应用正态分布无论在理论研究上还是实际应用中中 ， 均占有重要的地位。均占有重要的地位。 正态分布的定义正态分布的定义

2、若连续型随机变量若连续型随机变量x的概率分布密的概率分布密度函数为度函数为 其中其中为平均数，为平均数，2为方差，则称随机变量为方差，则称随机变量x服服从正态分布从正态分布(normal distribution)， 记为记为xN(,2)。相应的概率分布函数为。相应的概率分布函数为 222)(21)(xexfxxdxexF222)(21)(标准正态分布标准正态分布 由上述正态分布的特征可知由上述正态分布的特征可知 ，正态分布是，正态分布是依赖于参数依赖于参数和和2 (或或) 的的 分布分布 ， 正态正态曲线之位置及形态随曲线之位置及形态随和和2的不同而不同的不同而不同 。 这就给研究具体的正态

3、总体带来困难，这就给研究具体的正态总体带来困难， 需需将一般的将一般的N(，2) 转转 换为换为 = 0,2=1的正态分布。的正态分布。 标准正态分布标准正态分布 我们称我们称=0,2=1的正态分布为标准正态分布的正态分布为标准正态分布(standard normal distribution)。 标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作(u)和和(u) ： 随机变量随机变量u服从标准正态分布，记作服从标准正态分布，记作uN(0，1) 。 2221)(ueudueuuu22121)(标准正态分布标准正态分布 对于任何一个服从正态分布对于任何一个服

4、从正态分布N(,2)的随机变量的随机变量x，都可以通过标准化变换：都可以通过标准化变换： u=(x-) 将将 其变换为服从标准正态分布的随机变量其变换为服从标准正态分布的随机变量u。 u 称称 为为 标标 准准 正正 态变量或标准正态离差态变量或标准正态离差(standard normal deviate)。 正态分布的概率计算正态分布的概率计算 例如，例如，u=1.75 ，1.7放在第一列放在第一列,0.05放在第七行放在第七行 。 1.7所在行与所在行与 0.05 所在列相交处的数值为所在列相交处的数值为0.9599，即即 (1.75)=0.9599 有有 时时 会会 遇遇 到到 给给 定

5、定 (u) 值值 ， 例例 如如 (u)=0.284， 反过来查反过来查u值。这只要在表中找到值。这只要在表中找到与与 0.284 最接近的值最接近的值0.2843，对应行的第一列数，对应行的第一列数 -0.5， 对应列的第一行数对应列的第一行数 值值 0.07 ，即相应的，即相应的u值值为为 u = - 0.57，即，即 (-0.57)=0.284 如果要求更精确的如果要求更精确的u值，可用线性插值法计算。值，可用线性插值法计算。 正态分布的概率计算正态分布的概率计算 已知已知uN(0，1)，试求：，试求： (1) P(u-1.64)? (2) P (u2.58)=? (3) P (u2.5

6、6)=? (4) P(0.34u1.53) =? 一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算 设设x服从服从=30.26,2=5.102的正态分布，试求的正态分布，试求P(21.64x32.98)。 令令 则则u服从标准正态分布，故服从标准正态分布，故 =P(-1.69u0.53) =(0.53)-(-1.69) =0.7019-0.04551=0.6564 10.526.30 xu)10.526.3098.3210.526.3010.526.3064.21()98.3264.21(xPxP 设有一个总体设有一个总体 ，总体平均数为，总体平均数为 ,方差为方差为2，总体中，总体中各变数为各变

7、数为 x， 将将 此总体称为原总体。现从这个总体此总体称为原总体。现从这个总体中随机抽取含量为中随机抽取含量为n的样本，样本平均数记为的样本，样本平均数记为 。 可以设想，从原总体中可抽出很多甚至无穷多个可以设想，从原总体中可抽出很多甚至无穷多个含量为含量为n的样本。由这些样本算得的平均数有大有小，的样本。由这些样本算得的平均数有大有小，不尽相同，与原总体平均数不尽相同，与原总体平均数相比往往表现出不同程相比往往表现出不同程度的差异。这种差异是由随机抽样造成的度的差异。这种差异是由随机抽样造成的 ，称为，称为抽抽样误差样误差(sampling error)。 显然，样本平均数也是一个随机变量，

8、其概率分显然，样本平均数也是一个随机变量，其概率分布叫做布叫做样本平均数的抽样分布样本平均数的抽样分布。由样本平均数构成。由样本平均数构成的总体称为的总体称为样本平均数的抽样总体样本平均数的抽样总体。x 有甲、乙、丙、丁4名工人，他们的日工资分别为50、60、70、80元，则他们的平均工资是多少以及方差是多少？ 现在随机抽取2人组成样本,对总体4名工人进行推断。 若采用重复抽样一共有多少个样本？ 若采用不重复抽样一共有多少个样本？重复抽样 其平均数和标准差分别记为其平均数和标准差分别记为 和和 。 是样本平均数抽样总体的标准差，简称是样本平均数抽样总体的标准差，简称标标准误准误(standar

9、d error)，它表示平均数抽样误差，它表示平均数抽样误差的大小的大小。统计学上已证明总体的两个参数与。统计学上已证明总体的两个参数与x 总总体的两个参数有如下关系：体的两个参数有如下关系： =， nxxxxx 随着样本含量随着样本含量 n 的增大，的增大， 样本平均数的分样本平均数的分布愈来愈从不连续趋向于连续的正态分布。布愈来愈从不连续趋向于连续的正态分布。当当n30时，时， 的分布就近似正态分布了。的分布就近似正态分布了。x 中心极限定理告诉我们：不论中心极限定理告诉我们：不论x变量是变量是连续型还是离散型，也无论连续型还是离散型，也无论x服从何种分布，服从何种分布，一般只要一般只要n

10、30，就可认为，就可认为 X 的分布是正的分布是正态的。态的。一、一、正态总体正态总体均值与方差的区间估计均值与方差的区间估计 总体均值总体均值 的置信区间的置信区间(1)(1)设设 已知已知时时22( ,),XN (0,1)N221/XPuun 22 1P XuXunn 即 /XUn构造置信度为置信度为 的置信区间是的置信区间是122(,)XuXunn由标准正态分布的上由标准正态分布的上 分位数的定义知分位数的定义知 包糖机某日开工包了包糖机某日开工包了1212包糖包糖, ,称得重量称得重量( (单单位位: :克克) )分别为分别为506,500,495,488,504,486,505,50

11、6,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485. 513,521,520,512,485. 假设重量服从正态分布假设重量服从正态分布, ,解解,12,10 n ,92.502 x计算得样本均值计算得样本均值,10. 0)1(时时当当 645. 1 05. 02/ uu查表得查表得0.05). 0.10 ( 1 10, 和和分别取分别取置信区间置信区间的的试求糖包的平均重量试求糖包的平均重量且标准差为且标准差为例例1 2/unx645. 1121092.502 ,67.507 2/unx645. 1121092.502 ,17.498 90% 的置信区

12、间为的置信区间为的置信度为的置信度为即即 .,.6750717498,05. 0)2(时时当当 02502./uu,96. 1查表得查表得 95% 同理得 的置信度为的置信区间为.,.5850826497.,1 ;,1 ,置置信信区区间间也也较较小小较较小小时时当当置置信信度度置置信信区区间间也也较较大大较较大大时时当当置置信信度度从从此此例例可可以以看看出出 从以上解题过程可以看出，求未知参数的区间从以上解题过程可以看出，求未知参数的区间估计估计最关最关 键一步是，键一步是，选择合适的函数并求出它的分布；选择合适的函数并求出它的分布； 其次是对给定的实数 ，查分位数表求出分位点，通过不等式变