决策理论与方法：灰色理论

1、灰色系统理论几种不确定方法的比较n 概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。研究对象具有某种不确定性，是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。n n 模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。比如“年轻人”内涵明确， 但要你划定一个确定的范围， 在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。 n 概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。要求大样本，并服从某种典型分布。n n 灰色系统理论着重研究概率统计

2、， 模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究 “外延明确，内涵不明确”的对象。如到 2050 年，中国要将总人口控制在 15 亿到 16 亿之间，这“15 亿到 16 亿之间“是一个概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。概述概述一、灰色系统一、灰色系统 .定义：部分信息已知，部分信息未知的系统称为灰色系统。 黑箱信息缺乏 白箱信息充足 例：人体是个灰色系统，人体某些外形参数：身高，体重以及某些内部参数如血压，脉搏等。但有更多的信息的，如人体穴位的多少及作用，人体体温场，人体的信息网络等。此外，社会系统，经济系统，生态系统，农业系统，商业系统等抽象系统没有物理原型，又

3、不清楚系统的作用机理，很难判断信息的完备性，难以对系统关系，结构做精确地描述。 人们只能凭逻辑推理，凭某些观念意识，凭某种准则对系统的结构，关系进行论证，然后再建立某种模型。这类抽象系统我们称为特征性灰色系统。 严格说来，灰色系统是绝对的，而白色与黑色系统是相对的。 社会，经济，农业等系统的预测，都属于特征性灰色系统的预测。灰色系统的应用情况例.1983年，邓聚龙接受了我国粮食发展决策中的一个课题，即粮食发展预测与粮食发展的长期规划。建立GM（1,1）模型，预测1983-2000年粮食产量，1983年预测值与统计值误差仅为4。例对湖北省2000年宏观经济的发展趋势进行预测，提出自己的结论和建议

4、。例河南省人民胜利渠利用灰色系统理论制定最佳灌溉方案，使全流区农田得到大丰收。二、灰色系统的研究内容二、灰色系统的研究内容 灰色系统的分析，建模，预测，决策，控制等多个内容。 1. 1.系统分析系统分析 现有系统分析的量化方法，大都是数理统计方法，如：回归分析，主成分分析，方差分析。 不足： （1）要求大样本 （2）要求样本有较大的分布规律 （3）计算工作量大 （4）可能出现量化的结果与定性分析的结果不符 说明回归分析有较大的局限性，特别是对我国的经济分析局限性就更大。 灰色系统理论提出了一种新的分析方法，称为系统的关联度分析方法。这是根据因素之间发展态势的相似或相异程度，来衡量因素间关联程度

5、的方法。 由于关联度的分析方法是按发展趋势作分析，因此对样本量的多少没有过分要求，也不需要典型的分布规律，计算量小，且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一至的现象。 关联度分析的应用情况：农业经济，水利，材料科学，宏观经济等。对抽象系统，社会现象等进行关联度分析，首先要找准数据序列，而用什么数据才能反映系统的行为特征，是首先要研究的。用某种数据来间接地表征系统行为，称为找映射量即找系统行为的映射量。 如：法国人口学家曾统计和研究过中国的宋朝，元朝，明朝，清朝的人口这些人口数字都不是直接统计的，而是根据中国食盐的销售量折算得到的。（食盐作为人口的映射量是恰当的）。 照相行业的收入反映社会精神面

6、貌的变化。 用学生人数来反映教育的发达程度，用大专以上文化程度的人数来反映教育水平的高低。 以上这些是各种社会现象的一些可能的映射量当有了系统行为的数据列（即各时刻的数据）后，根据关联度计算公式便可算出关联程度。 关联度不仅是一种系统分析方法，而且进一步可拓广为关联空间这将为离散数学的分析学奠定基础。 2.2.系统模型的建立系统模型的建立 微分方程模型的不足：微分方程中的系统数据的出现是输入输出的导数，他们一般是不能量测得到的；实际上，由于导数信号难获得，所以解不存在。 灰色系统解决了这个一向认为不能解决的连续微分方程的建模问题.为什么灰色系统理论能解决这个问题呢?其重点是灰色系统有一种新观点

7、,即 1.任何随机过程都是在一定幅值范围,一定时区内变化的灰色量,我们称随机过程为灰色过程。 2.在处理手法上,灰色过程是通过原始数据的整理来寻找数的规律的,叫数的生成,这就是一种就数找数的现实规律的途径。 概率统计的随机过程,则是按统计规律,按先验规律来处理问题,作这种处理,要求数据越多越好(大样本).事实上,即使有了大样本也不一定能够找到统计规律,即使有统计规律也不一定典型,而非典型的过程(如非平稳,非高斯分布,非白噪音等)是难处理的。 而灰色过程则无此限制.事实上,将许多原始数据累加处理后便出现了明显的指数规律。 灰色系统认为:尽管客观系统表象复杂,数据离散,但它们总是有整体功能的,总是

8、有序的.因此,它必然潜藏着某种内在规律.关键在于要用适当方式去挖掘它,然后利用它。三、灰色系统的观点三、灰色系统的观点 一切随机量都看作是在一定范围内变化的灰色量。比如大气气温的变化是随机量，气温高低，可将它当作是在50范围变化的灰色量。对灰色量的处理不是找概率分布、求统计规律，而是用数据处理的方法来找数据间的规律。我们称某种数据处理方式为一种数生成方式，数据生成即数据处理，这就是一种找数的规律的途径。 客观世界尽管复杂，表述其行为特征的数据可能是杂乱无章的，然而它必然是有序的，有某种功能的，有某种因果关系的，或者说任何系统本身都有某种内在规律的，不过这些规律被纷缭的现象所掩盖，被数据间这种杂

9、乱无章的表象所迷惑，对系统的行为特征数据进行成，就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律。灰色系统常用的生成方式有三类：灰色系统常用的生成方式有三类：累加累加生成生成累减累减生成生成映射映射生成生成 由于生成数据列有了较强的规律,有可能对变化过程做较长时间的描述,因此,有可能建立微分方程.建立微分方程模型,还要利用到灰色理论的其他成果,如:关联空间的知识,离散函数的收敛,根据,离散函数的光滑度,灰导数,灰微分方程,等概念。 通过累加生成来寻找规律的过程： 记 其值如下： 00001234XXXX1kX10111002122268XXXXX1311X 无规律，其发展态势是摆动的。如果将原始数据作

10、累加生成，已将个累加生成数为 ，并且1416X 无规律的原始数据生成后，得到较规律的数据，即无摆动的递增规律数据。 在建立系统各要素的关联模型时，灰色理论是五步建立的，分别是： 语言模型 网络模型 量化模型 动态量化模型 优化模型2 GM2 GM（1,11,1）模型）模型 灰色理论的微分方程性模型称为GM模型，GM（1，n）表示1阶的，N个变量的微分方程型模型，而GM（1,1）是1阶的，1个变量的微分方程型模型。灰色理论的灰色理论的GMGM模型的机理和特点模型的机理和特点： 一般系统理论只能建立差分模型，不能建立微分模型。而灰色系统理论建立的是微分方程型模型。差分模型是一种递推模型，只能按阶段

11、分析系统的发展，只能用于短期分析，只能了解系统显漏的变化。灰色理论，基于关联度收敛原理、生成数、灰导数、灰微分方程等观点和方法建立了微分方程型模型。 系统行为数据列往往是没有规律的，是随机变化的。对随机 变量、随机过程，人们往往用概率统计的方法进行研究。而概率统计的方法要求数据量大，必须从大量数据找统计规律，只便于处理统计规律中有较典型的概率分布，有平稳过程的这一类，对其它非典型分布、非平稳过程、有色噪音的处理，都感到很棘手。 而灰色理论，则将一切随机变量看作是在一定范围内变化的灰色量，将随机过程看作是在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程。对灰色量不是从找统计规律的角度，通过大样本量进行研

12、究，而是用数据处理的方法（灰色理论称为数据生成），将杂乱无章的原始数据整理成规律较强的生成数列再作研究。预测预测预测方法有300种，通常用回归分析法、德尔菲法、趋势外推法、最小方差预测法、马尔克夫预测法、模型法、指数平滑法、残差辨识方法等。三种类型：回归马尔可夫 统计型 灰色预测与模型法 连续型 指数平滑与残差辨识 递推型灰色系统模型的预测，称灰色预测。灰色预测可分为五类：数列预测 对系统行为特征值大小的发展变化进行预测，称为系统行为数据列的变化预测，简称数列预测。例如粮食产量的预测商品销售量发展变化的预测年平均降水量发展变化的预测人口的预测外贸额发展变化的预测 这种预测的特点是：对行为特征量

13、等时距地观测。预测的任务是：了解这些行为特征量在下一个时刻有多大。灾变预测 对系统行为特征量超出某个临界值的异常值将在何时出现的预测称为灾变预测。灾变预测即对异常值出现时刻的预测。年平均降水量大于某个值（可容许值）便是涝灾年平均降水量小于某个值是旱灾年产量大于某个指定值，是丰年年产量小于某个指定值，是欠年环境中某种物质含量超出某个值，是污染 灾变预测的特点是：对异常值出现的时间进行预测。预测的任务不是确定异常值的大小（因为异常值的大小是指定的灰数），而是确定异常值出现的时间。灾变预测建模所用数据已不是行为特征量本身，而是异常行为特征值发生的时间，这是对时间来说不是等间距的，或者说建模数据的序列

14、，是按序号给出的时间间隔。季节灾变预测 若行为特征量异常值的出现，或者某种事件的发生是在一年中个特定时区，则这种预测称为季节灾变预测。 其特点是：灾变一般仅仅发生在一年的某个特定时段。拓扑预测（亦称波形预测、整体预测） 拓扑预测是对一段时间内行为特征数据波形的预测。拓扑预测在不同的场合有不同的意义。 对水利方面年径流量曲线来说，拓扑预测意味着在对未来某段时间内总径流量的预测。 对气象方面年平均降水量曲线来说，拓扑预测是对某几年总降水量的预测。 对生产系统来说，拓扑预测可以是对几年内生产总产值、总产量的预测。 而从本质来看，拓扑预测则是对一个变化不规则的行为数据数列的整体发展进行预测。系统综合预

15、测 将某一系统各种因素的动态关系找出，建立系统动态框图。系统的行为特征量是系统的输出。总系统行为特征量是系统总输出，系统中各环节的行为特征量是系统的中间输出。 系统综合预测，是控制系统动态研究的内容。其预测模型与前述数列预测、灾变预测的不同。它不是一个孤立的GM（1，1）模型，而是一串相互关联的GM（1，N）模型，即控制理论中的状态模型，或者传递函数模型，这是一种输出输入关系，不是单一数列的变化关系。例题：灾害预测例题：灾害预测 一般地，如果表征系统行为特征的指标超出了某个临界值则称发生了灾害。因此，所谓灾变是相对于所研究的问题的表征变量而言的。是否发生灾变要依据有关的表征变量的数值大小而定。

16、旱灾和涝灾是相对于农作物生长过程中，作物需水与大气降水的差值大小而言的。如果以降水量作为旱涝灾害标征指标，则只有当降水量小于(或大于)某一值时，才认为发生了旱(或涝)灾。灾变预测就是指对灾变发生的年份的预测。对于表征系统行为的指标数列：00012nXXX 规定一个灾变阈值t，指标中那些t（或t）的点被认为是具有异常值的点(灾变发生点)，把它们按原来的编序挑选出来组成一个新的数据序列。称之为下限(或上限)灾变数列。 则灾变预测就是按灾变日期序列，建立GM(1，1)预测模型所进行的灾变日期预测。 譬如，某地区连续17年的降水量数据如表所示。若规定降水量t320mm的年份为旱灾年份，试用灾变预测法预测下次旱灾发生的年份。（