第1章随机事件与概率1-1

1、概率论概率论 随机事件及其运算概率的定义及其确定方法概率的性质条件概率独立性 第一章 随机事件与概率概率论概率论 A. 太阳从东方升起；太阳从东方升起；B. 明天的最高温度；明天的最高温度；C. 上抛物体一定下落；上抛物体一定下落；D. 新生婴儿的体重新生婴儿的体重.确定性现象确定性现象一.随机现象1.1 随机事件及其运算概率论概率论 在我们所生活的世界上，在我们所生活的世界上， 充满了不确定性充满了不确定性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落

2、，到大自然的千变万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化万化，我们无时无刻不面临着不确定性和随，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性机性.概率论概率论 如同物理学中基本粒子的运动、生物学中遗如同物理学中基本粒子的运动、生物学中遗传因子和染色体的游动、以及处于紧张社会中的传因子和染色体的游动、以及处于紧张社会中的人们的行为一样，自然界中的人们的行为一样，自然界中的不定性不定性是是固有的固有的. . 这些与其说是基于决定论的法则，不如说是基于这些与其说是基于决定论的法则，不如说是基于随机论法则的不定性现象，已经成为自然科学、随机论法则的不定性现象，已经成为自然科学、生物科学和社会科学理论发展

3、的必要基础生物科学和社会科学理论发展的必要基础. .概率论概率论 从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西西. . 他们没有认识到有可能去研究随机性，或者他们没有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性是去测量不定性. .概率论概率论 将将不定性数量化不定性数量化, ,来尝试回答这些问题，是来尝试回答这些问题，是直到直到2020世纪初叶才开始的世纪初叶才开始的. .还不能说这个努力已还不

4、能说这个努力已经十分成功了经十分成功了, , 但就是那些已得到的成果但就是那些已得到的成果, ,已经已经给人类活动的一切领域带来了一场革命给人类活动的一切领域带来了一场革命. . 这场革命为研究新的设想这场革命为研究新的设想, ,发展自然科学知发展自然科学知识识, ,繁荣人类生活繁荣人类生活, ,开拓了道路开拓了道路. .而且也改变了我而且也改变了我们的思维方法们的思维方法, ,使我们能大胆探索自然的奥秘使我们能大胆探索自然的奥秘. .概率论概率论 下面我们就来开始一门下面我们就来开始一门“”的的课程的学习，这就是课程的学习，这就是概率论概率论 特点特点 1 当人们在一定的条件下对不定性现象加

5、以观当人们在一定的条件下对不定性现象加以观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个中的某一个. 而且在每次试验或观察前都无法确知其而且在每次试验或观察前都无法确知其结果结果.现在我们来考察一下不定性现象的特点现在我们来考察一下不定性现象的特点例如例如: : 在相同的条件下抛同一枚硬币在相同的条件下抛同一枚硬币, 其结果其结果可能是正面朝上可能是正面朝上, 也可能是反面朝上也可能是反面朝上, 并且在并且在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么.又如又如: :一门火炮在一定条件下向同一一门火炮在一定条件

6、下向同一目标进行射击目标进行射击, ,各次的弹着点不尽相各次的弹着点不尽相同同, ,在一次射击之前无法预测弹着点在一次射击之前无法预测弹着点的确切位置的确切位置. . 概率论概率论 例如例如: :一门火炮在一定条件下进行射击一门火炮在一定条件下进行射击, ,个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差机性的误差, , 但大量炮弹的弹着点则表但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性现出一定的规律性, ,如一定的命中率如一定的命中率, ,一一定的分布规律等等定的分布规律等等. . 又如又如: :在一个容器内有许多气体分子在一个容器内有许多气体分子, ,每每个气体分子

7、的运动存在着不定性个气体分子的运动存在着不定性, ,无法无法预言它在指定时刻的动量和方向预言它在指定时刻的动量和方向. .但大但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定性量分子的平均活动却呈现出某种稳定性, ,如在一定的温度下如在一定的温度下, ,气体对器壁的压力气体对器壁的压力是稳定的是稳定的, ,呈现呈现“无序中的规律无序中的规律”. .概率论概率论 特点特点 2 不定性现象在大量重复观察或试验下，它的不定性现象在大量重复观察或试验下，它的结果却呈现出固有规律性结果却呈现出固有规律性.统计规律性统计规律性 在个别试验中其结果呈现出不确定性在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复在大量重复观察

8、或试验中其结果却具有统计规律性的现象观察或试验中其结果却具有统计规律性的现象,称为称为随随机现象机现象.概率论概率论 从表面上看从表面上看, ,随机现象的每一次观察结果都是随机现象的每一次观察结果都是随机的随机的, ,但多次观察某个随机现象但多次观察某个随机现象, ,便可以发现便可以发现, ,在在大量的偶然之中存在着必然的规律大量的偶然之中存在着必然的规律. .概率论概率论 概率论的研究对象概率论的研究对象 随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性概率论概率论 前面我们了解到，前面我们了解到，随机现象有其偶然性的随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现一面，也有其必然性的一

9、面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性称为随机现象的统计规律性.而概率论正是研而概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科究随机现象统计规律性的一门学科. 现在，就让我们一起，步入这充满随机性的现在，就让我们一起，步入这充满随机性的世界，开始第一步的探索和研究世界，开始第一步的探索和研究.二.随机试验概率论概率论 从观察试验开始从观察试验开始 研究随机现象研究随机现象,首先要对研究对象进行首先要对研究对象进行观察试验观察试验. 这里的这里的试验试验是一个含义广泛的术是一个含义广泛的术语语.它包括各种各样的科

10、学试验它包括各种各样的科学试验,甚至对某一甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验事物的某一特征的观察也认为是一种试验.概率论概率论 . , : 出现的情况出现的情况和反面和反面观察正面观察正面抛一枚硬币抛一枚硬币THE1 : 的情况的情况. .和反面和反面观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,THE2出现出现概率论概率论 . , : 3观察出现的点数观察出现的点数抛一颗骰子抛一颗骰子E . : 4内接到的呼唤次数内接到的呼唤次数记录电话交换台一分钟记录电话交换台一分钟E . : 6温度和最低温度温度和最低温度记录某地一昼夜的最高记录某地一昼夜的最高E : 观察正面观

11、察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,HE7出现的次数出现的次数. .5 : E在一批灯泡中任意抽取一支在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命测试它的寿命.概率论概率论 上述试验具有下列共同的特点上述试验具有下列共同的特点:(1) 试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行; (2) 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个, 并且能事并且能事先明确试验的所有可能的结果先明确试验的所有可能的结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现出现. 在概率论中将具有上述特点的试验称为在概率论中将具有上述特点的试验称

12、为.E概率论概率论 . : 6温度和最低温度温度和最低温度记录某地一昼夜的最高记录某地一昼夜的最高E试验是在一定条件下进行的试验是在一定条件下进行的 寿命试验寿命试验 测试在同一工艺条件下生产测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命出的灯泡的寿命.概率论概率论 : 的情况的情况. .和反面和反面观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,THE2出现出现 : 观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,HE7出现的次数出现的次数. .试验有一个需要观察的目的试验有一个需要观察的目的概率论概率论 我们注意到我们注意到根据这个目的根据这个目的, 试验被观察到多个不同的结果

13、试验被观察到多个不同的结果. 试验的全部可能结果试验的全部可能结果,是在试验前就明确的是在试验前就明确的;或者虽不能确切知道试验的全部可能结果或者虽不能确切知道试验的全部可能结果,但可但可知道它不超过某个范围知道它不超过某个范围. 试验是在一定条件下进行的试验是在一定条件下进行的试验有一个需要观察的目的试验有一个需要观察的目的概率论概率论 的的集集合合的的所所有有可可能能结结果果所所组组成成一一个个随随机机试试验验E 的的称为随机试验称为随机试验 E 记为记为 , , 称为称为的每个结果的每个结果即即样本空间中的元素样本空间中的元素E . 样本点样本点 , 样本空间样本空间样本点样本点 现代集

14、合论为表述随机试验提供了一个方便的现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具工具 . .概率论概率论 例如例如,试验是将一枚硬币抛掷两次试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面观察正面H、反面反面T出现的情况出现的情况: 第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H): 在每次试验中必有在每次试验中必有一个样本点出现且仅一个样本点出现且仅有一个样本点出现有一个样本点出现 .则样本空间则样本空间 =(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)概率论概率论 如果试验是测试某灯泡的寿命：如果试验是测试某灯泡的寿命：则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，则

15、样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，样本空间样本空间故故 若试验是将一枚硬币抛掷两次若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现观察正面出现的次数：的次数： 则样本空间则样本空间由以上两个例子可见由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验样本空间的元素是由试验的目的所确定的的目的所确定的.2 , 1 , 0 = t ：t 0概率论概率论 调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（出，结果可以用（x，y）表示，）表示，x，y分别是烟、分别是烟、酒年支出的元数酒

16、年支出的元数. 也可以按某种标准把支出分为高、中、低三也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档档. 这时，这时，样本点有（高样本点有（高,高）高）,（高（高,中），中），(低低,低）等低）等9种，样本空间就由这种，样本空间就由这9个样本点构成个样本点构成 .这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成内一切点构成 .概率论概率论 . 1本空间本空间写出下列随机试验的样写出下列随机试验的样例例 . , : 出现的情况出现的情况和反面和反面观察正面观察正面抛一枚硬币抛一枚硬币THE1 , TH 1,2,3 , 0 : 观察正面观察正面将一枚硬币抛

17、掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,HE7出现的次数出现的次数. . . : 3内接到的呼唤次数内接到的呼唤次数记录电话交换台一分钟记录电话交换台一分钟E 3, 1,2, , 0 , 8 2其其中中个个大大小小完完全全相相同同的的球球一一个个袋袋中中装装在在例例 , 4 , 4 搅匀后从中任取搅匀后从中任取个是红色的个是红色的个是白色的个是白色的有有 . , 间间求求此此随随机机试试验验的的样样本本空空一一球球 , 红球红球白球白球:1:2:3:概率论概率论 请注意：请注意： 实际中实际中,在进行随机试验时在进行随机试验时,我们往往我们往往会关心会关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合满足某种条件

18、的那些样本点所组成的集合. 例如在测试某灯泡的寿命这一试验中例如在测试某灯泡的寿命这一试验中,若规定若规定灯泡的寿命灯泡的寿命 (小时小时) 小于小于500为次品为次品, 那么我们关心那么我们关心灯泡的寿命灯泡的寿命 是否满足是否满足 .t500t 或者说或者说, 我们关心我们关心满足这一条件的样本点组成的一个集合满足这一条件的样本点组成的一个集合 .500t t 这就是这就是概率论概率论 . , , 等表示等表示常用常用随机事件简称事件随机事件简称事件CBA试验试验 的样本空间的样本空间 的子集称为的子集称为 的的随机事件随机事件.EE概率论概率论 : 样本空间为样本空间为如在掷骰子试验中，

19、观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点事件事件 A=掷出掷出1点点 1,3,5 . 5,6 1 . 事件事件 C 出现的点数大于出现的点数大于44 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1概率论概率论 基本事件基本事件:(相对于观察目的不可再分解的事件相对于观察目的不可再分解的事件)事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 . 事件事件 Ai =掷出掷出i点点, i =1,2,3,4,5,6由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集.基本事件基本事件概率论概率论 当且仅当集合当且仅当

20、集合A中的一个样本点出现时中的一个样本点出现时,称称事件事件A发生发生.如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 . : 样本空间为样本空间为事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点 1,3,5 B发生当且仅当发生当且仅当B中的样本点中的样本点1,3,5中的某一个中的某一个出现出现.6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1概率论概率论 两个特殊的事件：两个特殊的事件：必件然事例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于掷出点数小于7”是必是必然事件然事件;即在试验中必定发生的事件，常用即在试验中必定发生的事件，常用 表示表示; 不件可事能即在一次试验中不可能发

21、生的事件，常用即在一次试验中不可能发生的事件，常用 表示表示 .而而“掷出点数掷出点数8”则是不可能事件则是不可能事件.概率论概率论 . 的事件的事件试验试验 E : 1.包含关系包含关系 BA发发生生必必然然导导致致事事件件如如果果事事件件是事件是事件或称事件或称事件包含事件包含事件则称事件则称事件发生发生 ( , AAB , ) 记作记作的子事件的子事件B . ABBA 或或 , 都有都有对于任何事件对于任何事件 A 相等关系相等关系 , 与与则称事件则称事件且且若若AABBA , 记作记作或称等价或称等价相等相等事件事件 B . BA BABBA21, AACBAE、的样本空间为设试验A

22、概率论概率论 : 2.和事件和事件 的的至少有一个发生所构成至少有一个发生所构成、事件事件BA . 记作记作的和的和与事件与事件事件叫做事件事件叫做事件BA . BA , 称事件称事件类似地类似地 2中至少有一个发中至少有一个发、nAAA1 生的事件为事件生的事件为事件. 21的和事件的和事件、nAAA记之为记之为 ,21nAAA 简记为简记为. 1iniA 称事件称事件 2件件为为中中至至少少有有一一个个发发生生的的事事、AA1. 2的和事件的和事件、事件事件AA1 记之为记之为 ,21 AA 简记为简记为. 1iiA ABBA 概率论概率论 : 3.积事件积事件 同同时时发发生生所所构构成

23、成的的事事件件、事事件件BA . 记作记作的积事件的积事件与事件与事件叫做事件叫做事件BA. ABBA或或 , 称事件称事件类似地类似地 21同同时时发发生生所所构构成成的的、nAAA 的事件为事件的事件为事件. 21的积事件的积事件、nAAA记之为记之为 ,21nAAA 简记为简记为. 1iniA 称事件称事件 21件为事件为事、同时发生所构成的事、同时发生所构成的事、AA. 21的积事件的积事件、件件AA 记之为记之为 ,21 AA 简记为简记为. 1iiA ABAB概率论概率论 例如例如 ,5 , 3 , 2 , 1, 4 , 2 CB CB 则则 性质性质 ; , 1BABBAA ;

24、, 2BBABABAA CB 则则; , BBAABA ; , 3AAAAAA ., , 4BBAAABAB 则则若若 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 . 2概率论概率论 : 4.互斥事件互斥事件 , 即即不能同时发生不能同时发生、若事件若事件BA . 相相容容事事件件. , BABA 记记为为可可将将当当两两事事件件互互不不相相容容时时 . 容容的的基基本本事事件件是是两两两两互互不不相相 , ABAB 事事件件与与事事件件互互斥斥事事件件或或互互不不则称则称为为ABAB互互斥斥、 BA概率论概率论 在一次试验与事件若事件BA : 5.对对立立事事件件 , 、或称事件或称事件为互逆事

25、件为互逆事件与事件与事件则称事件则称事件BABA . 的对立事件记为事件互为对立事件AAAA 对立事件对立事件AABBA且满足条件、即发生中必有且只有其中之一 ,BA ,A概率论概率论 : 关系关系对立事件与互斥事件的对立事件与互斥事件的 . , 但互斥不一定对立但互斥不一定对立对立一定互斥对立一定互斥 两事件两事件A、B互斥：互斥：两事件两事件A、B互逆或互为对立事件互逆或互为对立事件即即A与与B不可能同时发生不可能同时发生.AB 除要求除要求A、B互斥互斥( )外，还要求外，还要求 AB BA概率论概率论 : 6.差事件差事件 不发生所构不发生所构发生而事件发生而事件称事件称事件BA ,

26、记作记作的差事件的差事件与事件与事件成的事件为事件成的事件为事件BA . BA ABABABA ABBABA 概率论概率论 ; , : 1BAABABBA 交换律交换律 , : 2CBACBA 结合律结合律 ; BCACAB , : 3BCACCBA 分配律分配律 ; CBCACAB 事件的运算满足的规律事件的运算满足的规律概率论概率论 : 4对偶律对偶律摩根律摩根律德德 , , BAABBABA , 1111iniiniiniiniAAAA , 1111iiiiiiiiAAAA 5AA BABA 6 . ABA 概率论概率论 1. 若A 是 B 的子事件，则 AB = ( )， AB = (

27、 )2. 设 A 与B 同时出现时 C 也出现，则( ) AB 是 C 的子事件； C 是 AB 的子事件； AB 是 C 的子事件； C 是 AB 的子事件.课堂练习BA概率论概率论 3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则 A 的对立事件为（ ） 甲种产品滞销，乙种产品畅销； 甲、乙两种产品均畅销； 甲种产品滞销； 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置， 试说明下列各对事件间的关系 A =|xa|，B =x a A =x20， B =x22 A =x22， B =x19AB相容不相容概率论概率论 5. 试用A、B、C 表示下列事件： A 出现； 仅 A 出现； 恰有一