大学物理第8章-王莹

1、本章主要内容本章主要内容静电场的保守性静电场的保守性电势差和电势电势差和电势电势叠加原理电势叠加原理 电势梯度电势梯度 电荷在外电场中的静电势能电荷在外电场中的静电势能 电荷系的静电能电荷系的静电能 静电场的能量静电场的能量第三章 电势第十六章第十六章 电电 势势电势是静电场中的重要物理量。通过研究静电场力对电荷电势是静电场中的重要物理量。通过研究静电场力对电荷做功，发现静电场力是保守力。做功，发现静电场力是保守力。 由于静电场力是保守力，可以引入电势和电势能。由于静电场力是保守力，可以引入电势和电势能。和电场强度一样，电势也是描述静电场分布规律的，它本和电场强度一样，电势也是描述静电场分布规

2、律的，它本身也是空间分布函数。身也是空间分布函数。3-1 静电场的保守性 做功与路径无关（或沿闭合路径一周做功为零）的力，称为做功与路径无关（或沿闭合路径一周做功为零）的力，称为保守力保守力（如引力、弹性力）（如引力、弹性力）。静电场力是不是保守力？。静电场力是不是保守力？1r2rdrcos443030rdrrqrdrrqrdE)()(021PPrdEqA 静电场力对检验电荷静电场力对检验电荷q q0 0做功为做功为)()(021PPrdEqA考虑对单位正检验电荷做功：考虑对单位正检验电荷做功： 先考虑点电荷产生的场：先考虑点电荷产生的场：212120)()(4rrPPrdrqrdE20104

3、4rqrqqrE2P1Prd0q204rdrq 积分结果只与检验电荷的起点和终点的积分结果只与检验电荷的起点和终点的位置有关，与积分路径无关！位置有关，与积分路径无关！3-1 静电场的保守性 iPPiPPiiPPrdErdErdE212121 再考虑点电荷系（或任意带电体）产生的场：再考虑点电荷系（或任意带电体）产生的场： 由场强叠加原理，有由场强叠加原理，有 求和中每一项代表对应点电荷单独存在时产生的场的沿求和中每一项代表对应点电荷单独存在时产生的场的沿 P1 到到 P2 的线积分的线积分与积分路径无关。因此总场的积分也与路径与积分路径无关。因此总场的积分也与路径无关。无关。：静电场力对电荷

4、所做的功静电场力对电荷所做的功 与路径无关。即静与路径无关。即静电场力是保守力，或称静电场为电场力是保守力，或称静电场为。conservation field210PPrdEq4-3 保守力LBALBABArdErdELLABBAALALBrdErdErdELL或表示为：或表示为：00rdEq0LrdE：静电场的静电场的场强沿任意闭合路径积分等于零。场强沿任意闭合路径积分等于零。静电场的电场线不可能闭合静电场的电场线不可能闭合 换言之：换言之：电荷沿任意闭合路径运动一周，静电场力所做电荷沿任意闭合路径运动一周，静电场力所做的功为零。的功为零。03-2 电势和电势差因为电势是通过它的改变量来引入

5、的，所以它具有零点的因为电势是通过它的改变量来引入的，所以它具有零点的相对性。通常需选定某参考点相对性。通常需选定某参考点 P0 为为，则任意，则任意点点 P 处的处的电势为电势为: : 0PPrdE21PPrdE 由于由于 与积分路径无关（只决定于起点与积分路径无关（只决定于起点 P1 和终点和终点 P2 的位置），积分结果必定可以表示为某空间函数的位置），积分结果必定可以表示为某空间函数 的改变量：的改变量： 定义定义 为为，即从，即从 P1 到到 P2 沿任意路径场强的线积分等于沿任意路径场强的线积分等于电势的负增量电势的负增量。1 2 U12 为为 P1 与与 P2 两点间的两点间的。

6、)()()()()(122121rrrrrrdEPP电势和电势差电势和电势差原则上，电势零点可以任意选取，但应视问题的方便而定。原则上，电势零点可以任意选取，但应视问题的方便而定。3-2 电势和电势差 通常电荷在有限区域时，将通常电荷在有限区域时，将无限远点无限远点选为电势零点，此时任选为电势零点，此时任一点一点 P(x, y, z) 的电势为的电势为 PrdEzyx,说明说明： 电势是空间坐标的函数：电势是空间坐标的函数： ，如已知静电，如已知静电场的场强分布，可以求出电势分布场的场强分布，可以求出电势分布势函数。势函数。 电势差与电场对检验电荷做功的关系电势差与电场对检验电荷做功的关系：（

7、重要）（重要） rqrqdrrderqrPr02020444 点电荷的电势为点电荷的电势为 () = 0 rq04120210012)(21UqqrdEqAPP 与场强不同，电势是标量。与场强不同，电势是标量。（以点电荷的电势讨论正负）（以点电荷的电势讨论正负） 例例1 1 求（求（1 1）均匀带电球面；（）均匀带电球面；（2 2）均匀带电球体，产生场的电势分布。）均匀带电球体，产生场的电势分布。设总电量均为设总电量均为 q ，球的半径为，球的半径为 R 。RrRrrrqE 0 430解：（解：（1 1）均匀带电球面，由）均匀带电球面，由Guass 定理求得：定理求得：Rqdrrqrdrrqr

8、dRrRRrRrrr020304440 rqdrrqrdrrqRrrrr02030444（2 2）均匀带电球体，由）均匀带电球体，由Guass 定理求得：定理求得： RrRrqRrrrqE 4 4 30302200223003030302234424 4444RrRqRqrRRqRqdrRqrrdrrqrdrRqRrRrRrRrrrrqdrrqrdrrqRrrrr02030444查看查看 例例1 1 设电荷为均匀带电的（设电荷为均匀带电的（1 1）球面；（）球面；（2 2）球体。总电荷为）球体。总电荷为 Q ，球，球的半径为的半径为 R ，求球内外的场强分布。，求球内外的场强分布。 解：球对称

9、问题，场强沿径向，且解：球对称问题，场强沿径向，且 E = E(r) 。 ( (1) 1) 做半径为做半径为r 的同心球面为高斯面。的同心球面为高斯面。004 : 2ErESdERrrrRQ024 : QrESdERr (2(2) ) 设设 r = 3Q/4R3 为体电荷密度，做半径为为体电荷密度，做半径为r 的的同心球面为高斯面。同心球面为高斯面。3033023414 : RQrrrESdERrr304RQrE024 : QrESdERr204rQE)(rErrR204rQE返回返回讨论讨论： 在在 r = R 处：对于带电处：对于带电球面，球面，E 不连续，不连续， 连续连续；对于带电球体

10、，；对于带电球体， E 连续，连续， 连续。这一特性是普遍连续。这一特性是普遍的的. .rrR)(rErq04)(rRq04Rq04rq042202234Rrrq r R 处（球外区域）的场强处（球外区域）的场强和电势，都相当于电荷集中于中和电势，都相当于电荷集中于中心的点电荷所产生的场和势。这心的点电荷所产生的场和势。这是球对称电荷的共性。是球对称电荷的共性。rE02000PPPPPPPPrdErdErdErdE)ln(ln2200000rrdrrEdrrrrrKeyKey：当电荷的分布扩展到无限远时，电势零点不能选在无限远处。：当电荷的分布扩展到无限远时，电势零点不能选在无限远处。r3-3

11、 电势叠加原理和电势的计算每一每一 i 必须有共同的电势零点必须有共同的电势零点 方法方法2 2 利利用电势叠加原理：把电荷系统分解为点电荷系，用电势叠加原理：把电荷系统分解为点电荷系，再把各点电荷的电势叠加，即对点电荷系和连续带电体分别有再把各点电荷的电势叠加，即对点电荷系和连续带电体分别有利用场强叠加原理可以导出：利用场强叠加原理可以导出：在由电荷系产生的电场中，任一点的电势在由电荷系产生的电场中，任一点的电势等于各个带电体单独存在时在该点所产生电势的等于各个带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和代数和。电势的计算电势的计算 000PPiiiPPiiiPPrdErdErdE电势叠加原理电

12、势叠加原理 方法方法1 1 利用电势的定义式：利用电势的定义式： ，已知场强分，已知场强分布，选方便的路径积分；布，选方便的路径积分； 0PPrdErdqrqiii004 4和和 例例1 1 求电偶极子周围的电势分布。求电偶极子周围的电势分布。解：正、负点电荷在解：正、负点电荷在 P 点单独产生的电势为：点单独产生的电势为：rq04rqrq0044cos , , 2lrrrrrlr rrrrPqlqr3030202044cos4coscos4rrprprrprlqrrrrq04根据电势叠加原理，根据电势叠加原理，P P点的电势为：点的电势为： 例例2 2 求总电量为求总电量为 q , ,半径为

13、半径为 R , ,均匀带电的细圆环均匀带电的细圆环, ,在其轴线上任点的电势。在其轴线上任点的电势。212202322044xRqxRqxdxEdxxdExxx232204xRiqxE解：解：1)1)方法方法1: 1: 已知轴线上场强为已知轴线上场强为: :选取积分路径为从选取积分路径为从 P 沿沿 x 轴到无限远轴到无限远( (电势零点电势零点) )xPORxdqrE2)2)方法方法2: 2: 利用电势叠加原理利用电势叠加原理2/1220000)(44414xRqrqdqrrdq)(22xRr环心出环心出(x=0)(x=0)的电势为的电势为Rq04)0()0(xE 例例3 3 两个同心的均匀

14、带电球面，半径分别为两个同心的均匀带电球面，半径分别为RA和和RB，分别带有电量，分别带有电量qA和和qB。求距球心距离为求距球心距离为r1，r2，r3处的电势。处的电势。RARBr1r2r3P1P2P3qAqB;40RqRrrqRr04解：解：1)1)方法方法1:1:利用电势叠加原理。利用电势叠加原理。已知一个带电球面的电势分布为：已知一个带电球面的电势分布为：,1处rr 101011144rqrqBABA,2处rr BBABARqrq02022244BBAABARqRq0033344,3处rr 2)2)方法方法2:2:利用电势定义利用电势定义 。略。略 PrdE3-4 电势梯度电势相等的点

15、所组成的曲面。电势相等的点所组成的曲面。引入等势面也是为了形象地描述静电场的电势分布。引入等势面也是为了形象地描述静电场的电势分布。等势面的性质：等势面的性质： 沿等势面移动电荷，静电场力做的功为零；沿等势面移动电荷，静电场力做的功为零；( (a) )孤立点电荷孤立点电荷 ( (b) )一对等量异号点电荷一对等量异号点电荷 实例：实例：虚线虚线等势面等势面实线实线电场线电场线1. 1. 等势面等势面 证明：设检验电荷证明：设检验电荷 q 从从等势面等势面上任意一点上任意一点 a 经过元位移经过元位移 移动到点移动到点 b, 静电场力做的功为静电场力做的功为 , rd)(baUUqdAbaUU

16、0 dAcosrdqErdEqdA而，根据功的定义：而，根据功的定义：0cos rdqE即即2因此，电场强度与等势面处处正交。因此，电场强度与等势面处处正交。 电场线指向电势降低的方向；电场线指向电势降低的方向； 因沿电场线方向移动单位正电荷，电场力做正功。因沿电场线方向移动单位正电荷，电场力做正功。 等势面与电场线处处正交；等势面与电场线处处正交； 等势面密的地方，场强数值大；反之，场强小。等势面密的地方，场强数值大；反之，场强小。3-4 电势梯度2. 2. 电势梯度及其与场强的关系电势梯度及其与场强的关系cosrErErErdrdErzEyExEzyx pErdf求导求导保守力保守力场强场

17、强势势 能能电势电势积分积分rdE：电场强：电场强度等于相联系的电度等于相联系的电势的梯度的负值：势的梯度的负值：EP1 1P2 2r11rE取极限得取极限得方向导数方向导数：rEr)( kzjyixkzjyixkEjEiEEzyx3-5 静电势能点电荷在已知场中的静电势能点电荷在已知场中的静电势能 引入引入（简称（简称）：）：2121WWWA即电势能为即电势能为 其中其中 P0 为为势能零点。势能零点。 000PPrdEqqW保守力的功等于保守力的功等于势能增量的负值势能增量的负值 电势是属于静电场电势是属于静电场 的，而电势能属于已知电场的，而电势能属于已知电场 和点电和点电荷荷 q0 所

18、共有。电势所共有。电势的物理意义可以理解为：静电场中单位正电的物理意义可以理解为：静电场中单位正电荷所具有的电势能，即荷所具有的电势能，即 = W/q0 。EE21PPrdE与路径无关（保守场），静电场力对电荷与路径无关（保守场），静电场力对电荷 q0 所做所做的功的功21002121qrdEqAPP也与路径无关（保守力）。也与路径无关（保守力）。EppEqlEdrqEdrEqrdEqqqqWWWBABABABABAcoscoscoscos 例例1 1 求电偶极子（求电偶极子（ ）在均匀电场）在均匀电场 中的电势能。中的电势能。El qp解：设解：设，则，则 +q 和和 q 在在A, B两点的

19、电势为两点的电势为 和和 ，有，有BA 例例2 2 电子与原子核距离为电子与原子核距离为 r , 电子带电量为电子带电量为 e, 原子核带电量为原子核带电量为 Ze。求电子在原子核电场中的电势能。求电子在原子核电场中的电势能。rZerZeeeW02044C C解：设解：设，有，有OqlqEAB3-5 静电势能点电荷系的静电能点电荷系的静电能 将各个电荷从无穷远移到彼此邻近的位置而形成电荷系，将各个电荷从无穷远移到彼此邻近的位置而形成电荷系，外力克服静电场力所做的功，称为这个电荷系的外力克服静电场力所做的功，称为这个电荷系的，简称，简称或或。iiiUqW21对任意点电荷系统总静电能为对任意点电荷

20、系统总静电能为除除qi 外其他所有电荷在外其他所有电荷在 qi 位置上所产生的电势位置上所产生的电势静电能的推导 考虑两个点电荷系统：考虑两个点电荷系统：q1 和和 q2 。移动电荷。移动电荷 q1 时，无静电力时，无静电力作用，但作用，但 q1 就位后，在把就位后，在把 q2 移到距移到距 q1 距离为距离为 r 处的过程中，会处的过程中，会受到受到 q1 产生电场的作用，克服此作用力外力需要做功：产生电场的作用，克服此作用力外力需要做功：rqqrUql dEql dEqAAPPP012122121224)(222任意点电荷系统总静电能的推导：任意点电荷系统总静电能的推导：q q2 2移移到到q q1 1产生电场中，克服此作用力外力需做功产生电场中，克服此作用力外力需做功：先将先将q q1 1移到移到r r1 1处：处： 01A所以带电体系的相互作用能：所以带电体系的相互作用能：W=A2=q2U121q2qP1P2rq q1 1和和q q2 2两个两个点电荷相距点电荷相距的距离的距离如果先将如果先将q q2 2移来