弹性力学基础1

1、2022-6-262022-6-26 弹性力学研究弹性力学研究弹性体弹性体由于受外力作用、由于受外力作用、边界约束、温度改变等原因发生的边界约束、温度改变等原因发生的应力应力、形形变变和和位移位移。 1-1 1-1 弹性力学的内容弹性力学的内容一、研究任务一、研究任务 弹性力学的研究对象为弹性力学的研究对象为任意形状的构任意形状的构件、实体、板壳件、实体、板壳等。等。二、研究对象二、研究对象2022-6-26弹性体的形状弹性体的形状 a) 块体块体(body) b) 平板平板(plate) c) 壳体壳体(shell) d,e) 杆件杆件(bar)直杆、曲杆直杆、曲杆2022-6-26xyzo

2、 平行于单元体面的平行于单元体面的应力称为应力称为切应力切应力，用用 、 表示，其第表示，其第一下标一下标y表示所在的平表示所在的平面，第二下标面，第二下标x、z分别分别表示沿坐标轴的具体表示沿坐标轴的具体方向。方向。yxyz应力标注：应力标注：yyxyz2022-6-26正面上的应力沿坐标正面上的应力沿坐标正向或负面上的应力正向或负面上的应力沿坐标负向为沿坐标负向为正正。口诀：正面正向或负面负向的应力为正。口诀：正面正向或负面负向的应力为正。xyz yx z y zx zy yz图图17正面正面:截面的外截面的外法线方向和坐标法线方向和坐标轴正向一致轴正向一致,反反之为之为负面负面。正负规定

3、正负规定:2022-6-26zyyz yxxy zxxz xyz xy yx x z y xz zx zy yz应力用矩阵表示：应力用矩阵表示：zzyzxyzyyxxzxyx共六个应力分量。共六个应力分量。2022-6-26（三）形变（应变）（三）形变（应变） 形变形变就是形状的改变。物体的形变可就是形状的改变。物体的形变可以归结为以归结为长度的改变长度的改变和和角度的改变角度的改变。xy 1.线应变线应变：图：图1-9中中线段线段PA、PB、PC每单每单位长度的伸缩位长度的伸缩，即单位，即单位伸缩或相对伸缩，称为伸缩或相对伸缩，称为线应变线应变。分别。分别用用 、 、 表示。表示。zP图图1

4、-9ABCP2022-6-26应变的正负：应变的正负：线应变：线应变： 伸长时为正，缩短时为负；伸长时为正，缩短时为负；切应变：切应变：以直角变小时为正，变大时为负；以直角变小时为正，变大时为负； 2. 切应变：切应变：图图1-9中线中线段段PA、PB、PC之间之间直角直角的改变的改变，用弧度表示，用弧度表示，称为切应变。分别称为切应变。分别 用用 、 、 表示。表示。yzzxxy 共六个形变分量。共六个形变分量。P图图1-9ABCP2022-6-26 （2）变形而引起的位移变形而引起的位移 物体内各点之间有物体内各点之间有相对位移，因而物体产生了变形。相对位移，因而物体产生了变形。 （1）刚

5、体位移刚体位移 包括平移、转动。这种位移包括平移、转动。这种位移并不使物体的形状、质点间的相对距离发生变并不使物体的形状、质点间的相对距离发生变化。化。1.当物体各点发生位置改变时，一般认为是由当物体各点发生位置改变时，一般认为是由两种性质的位移组成：两种性质的位移组成：（四）位移（四）位移位移：位移：物体变形时各点位置的改变量称为位移物体变形时各点位置的改变量称为位移2022-6-262.位移的表示方法位移的表示方法 物体内任意一点的位移，用它在物体内任意一点的位移，用它在x 、y 、z 轴上的投影轴上的投影 u 、v 、w 来表示，来表示，以沿坐标轴正以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负向

6、为正，沿坐标轴负向为负。这三个投影称。这三个投影称为该点的位移分量。为该点的位移分量。弹性力学问题：弹性力学问题： 已知已知外力外力、物体的、物体的形状和尺寸形状和尺寸（包括边（包括边界）、界）、材料特性（材料特性（E、）、约束条件约束条件等，求解等，求解应力、形变、位移共应力、形变、位移共15个未知量。个未知量。2022-6-26弹力问题的研究方法弹力问题的研究方法 1、解析法解析法根据弹性体的静力学、几何根据弹性体的静力学、几何学、物理学等条件，建立模型的微分方程组学、物理学等条件，建立模型的微分方程组和边界条件，并应用数学分析方法求解这类和边界条件，并应用数学分析方法求解这类微分方程的边

7、值问题，得出的解答是精确的微分方程的边值问题，得出的解答是精确的函数解。函数解。2022-6-26 2、变分法（能量法）变分法（能量法）根据变形体的能量根据变形体的能量极值原理，导出弹性力学的变分方程，并进行极值原理，导出弹性力学的变分方程，并进行求解。该方法能有效的用于弹性力学问题的数求解。该方法能有效的用于弹性力学问题的数字求解，得到的解答大多是近似解，所以常将字求解，得到的解答大多是近似解，所以常将变分法归入近似解法。变分法归入近似解法。 3、差分法差分法是微分方程的近似数值解法。是微分方程的近似数值解法。它将弹力中导出的微分方程及其边界条件化为它将弹力中导出的微分方程及其边界条件化为差

8、分方程（代数方程）进行求解。差分方程（代数方程）进行求解。2022-6-26 4、有限单元法有限单元法是近半个世纪发展起来是近半个世纪发展起来的非常有效、应用非常广泛的数值解法。它的非常有效、应用非常广泛的数值解法。它首先将连续体变换为离散化结构，再将变分首先将连续体变换为离散化结构，再将变分原理应用于离散化结构，并使用计算机进行原理应用于离散化结构，并使用计算机进行求解的方法。求解的方法。 5、实验方法实验方法模型试验和现场试验的各模型试验和现场试验的各种方法。种方法。 对于许多工程实际问题，由于边界条件、对于许多工程实际问题，由于边界条件、外荷载及约束等较为复杂，所以常常应用近外荷载及约束

9、等较为复杂，所以常常应用近似解法似解法变分法、差分法、有限单元法等求变分法、差分法、有限单元法等求解。解。一、平面应力问题一、平面应力问题图图2 21 1等厚度薄板，只在板边受到平行于板面并等厚度薄板，只在板边受到平行于板面并且不沿厚度变化的且不沿厚度变化的面力面力，同时，同时体力体力也平行也平行于板面并且不沿厚度变化。于板面并且不沿厚度变化。应力特征应力特征 选取坐标系，以板的中选取坐标系，以板的中面为面为xy 平面，垂直于中面平面，垂直于中面的直线为的直线为 z 轴。轴。由于板面上由于板面上不受力，有不受力，有20zz20zxz20zyz因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 轴方向不变

10、。轴方向不变。可认为整个薄板可认为整个薄板的各点都有：的各点都有：0z0 xz0yz图图2 21 1结论：结论：平面应力问题只剩下三个应力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyy应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。xyxyxyxyxyyxxyzzyzxyzyyxxzxyx共六个应共六个应力分量力分量二、平面应变问题二、平面应变问题x 图图 2 22 2如挡土墙、受内压的圆柱管道和长水平巷道等。如挡土墙、受内压的圆柱管道和长水平巷道等。xyP 设有很长的柱体，在柱面上受有平行于横设有很长的柱体，在柱面上受有平行于横截面并

11、且不沿长度变化的面力，同时体力也平截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于行于横截面横截面并且不沿长度变化。并且不沿长度变化。厚壁圆筒厚壁圆筒(1) 几何特征几何特征水坝水坝 一个方向的一个方向的尺寸比另两个方向尺寸比另两个方向的尺寸大得多，的尺寸大得多，且且沿长度方向几何形沿长度方向几何形状和尺寸不变化状和尺寸不变化。 近似认为无限长近似认为无限长(2) 外力特征外力特征 外力（外力（体力、面力体力、面力）平行于横截面作用，）平行于横截面作用，且沿长度且沿长度 z 方向不变化。方向不变化。 约束约束 沿长度沿长度 z 方向不变化。方向不变化。(3) 变形特征变形特征建立如图坐标系：以任一

12、建立如图坐标系：以任一横截面为横截面为 xy 面，任一纵向面，任一纵向线为线为 z 轴。轴。, u, x, x沿沿 z 方向都不变化，方向都不变化，仅为仅为 x、y 的函数。的函数。任一横截面均可视为对称面任一横截面均可视为对称面水坝水坝0w所有各点的位移分量都平行于所有各点的位移分量都平行于 x y 平面。平面。 也叫也叫平面位移问题平面位移问题0z水坝水坝0z,0zyyz,0zxxz),(yxyy),(yxxx( , )xyxyx y 平面应变问题平面应变问题注：注：(1)平面应变问题中平面应变问题中0z但是，但是，0z)(yxz(2)平面应变问题中有四个应力分量：平面应变问题中有四个应力

13、分量：)0(,zyzxxyzyx 仅为仅为 x、 y 的函数。的函数。三三. . 平面问题的求解平面问题的求解问题：问题：已知：外力（体力、面力）、边界条已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：件，求：xyyx,xyyx,vu, 仅为仅为 x、 y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：（2）几何学关系：）几何学关系：应力与体力、面力间的关系；应力与体力、面力间的关系；应变与位移间的关系；应变与位移间的关系； 平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程（3 3）物理学关系：）物理学关系：应变与应力间的关系。应变与应力间的关系。建立边界条件：建立

14、边界条件： 物理方程物理方程（1 1）应力边界条件；）应力边界条件；（2 2）位移边界条件；）位移边界条件；（3 3）混合边界条件；）混合边界条件；),(yxxx 设作用在单元体左侧面设作用在单元体左侧面上的正应力是上的正应力是 。222( , )(, )( , )( , )( , )11()()2!xxxnnxxnx yxx yx yxxx yx yxxxnxddddoxyxPABCxfyfD右侧面上坐标右侧面上坐标x得到增量得到增量dx，该面上的正应力为，该面上的正应力为 ，将上式展开，将上式展开为泰勒级数：为泰勒级数：(d , )xxx y2-2 2-2 平衡微分方程平衡微分方程下面推导

15、平面应力问题的平衡微分方程，对单元下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元体列平衡方程：体列平衡方程：(d ) d1d1(d )d1d1dd10yxxxxyxyxxxyyyxxyxfxy 0 xF yoxydyyyyxdxxxxxydxyxyxxyxdyxyxyyPABCxfyfD0yF 0yxxxfxy0yxyyfyx(d ) d1d1 (d ) d1d1dd10yxyyyxyxyyyxxxyyxyfxy yoxydyyyyxdxxxxxydxyxyxxyxdyxyxyyPABCxfyfD即有平衡微分方程：即有平衡微分方程：00yxxxyxyyfxyfyx 这两个微分方程中包含着三个未知函

16、这两个微分方程中包含着三个未知函数数 。因此决定应力分量的问题是。因此决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解出超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解出问题。问题。 yxxyyx,z 对于平面应变问题，虽然前后面上还对于平面应变问题，虽然前后面上还有有 ,但它们完全不影响上述方程的建立。但它们完全不影响上述方程的建立。所以上述方程对于两种平面问题都同样适用所以上述方程对于两种平面问题都同样适用。2-3 2-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力 PABxyxyyxnyxo斜面的方向余弦分别为：斜面的方向余弦分别为：cos,co

17、slm 设斜面设斜面AB上应力沿上应力沿x轴及轴及y轴的投影分别为轴的投影分别为px和和py。由。由PAB的平衡条件的平衡条件 可得：可得：0 xF ddd0 xxyxpsl sm s除以除以 后移项即得：后移项即得：dsxxyxplm同样由同样由 得出：得出： 0yFyyxypmlPABxyxyyxnyxo斜面斜面AB的面积的面积为为ds，则则PA和和PB的面积分别的面积分别为为mds 和和ldsxpyp设斜面设斜面AB上的正应上的正应力力 ，由投影可得：，由投影可得：n222nxyxyxylpmplmlm斜面斜面AB上的剪应力上的剪应力 ，由投影可得：，由投影可得：n22()()nyxyx

18、xylpmplmlmPABxyxynyxnxpyppNyxo小结：小结：yyxypmlxxyxplm（2-3）（2-4）xyyxNlmml222xyxyNmllm)()(22（2-5）（2-6）()()()()xsxysxysxysylmfmlf（2-18） 平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件(后面会具体讲后面会具体讲)（1 1）斜面上的应力）斜面上的应力2-4 2-4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 在平面问题中，在平面问题中，弹性体中各点都可能弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。产生任意方向的位移。通过弹性体内的任一通过弹性体内的任一点点P，取垂线，取垂线PA和和PB，如图

19、如图2-5所示，所示，PA和和PB的长度分别为的长度分别为dx和和dy 。弹性体受力后。弹性体受力后P、A、B分别移动到分别移动到P、A、B。PoxyAPuvBAB假设假设P产生的位移分别产生的位移分别为为u和和v。一、一、PA和和PB的的线应变线应变(d )dxuuxuxxux同理可求得：同理可求得：yvy此处位移此处位移v引起的引起的PA的伸缩是的伸缩是高一阶高一阶的微量，可的微量，可忽略不计。忽略不计。dvvyyduuyyduuxxdvvxxPoxyABPABuv二、二、P点的切应变点的切应变yuxvxy线段线段PA的转角：的转角：(d )vvxvvxdxx同理可得线段同理可得线段PB的

20、转角：的转角：yu所以所以dvvyyduuyyduuxxdvvxxPoxyABPABuv因此得到平面问题的几何方程因此得到平面问题的几何方程xyxyuxvyvuxy 由几何方程可见，当物体的位移分量完全确由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变分量即可完全确定。定时，形变分量即可完全确定。反之，当形变分反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定量完全确定时，位移分量却不能完全确定。2022-6-26362-5 2-5 物理方程物理方程 在在完全弹性完全弹性的各向同性体内，应变分量与的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系根据胡克定律建立如下：应力分量之间的关系根据胡克定律建

21、立如下：1()1()1()xxyzyyzxzzxyEEE 111yzyzzxzxxyxyGGG2022-6-2637物理方程的说明：物理方程的说明： 正应力只与线应变有关；切应力只与切 应变有关。 是线性的代数方程； 是总结实验规律得出的； 适用条件理想弹性体； 式中，式中，E为弹性模量；为弹性模量；G为剪切模量；为剪切模量；为为泊松比。对于泊松比。对于各向同性材料各向同性材料，三者的关系：，三者的关系：)1 (2EG2022-6-2638在平面应力在平面应力中中作变换作变换112EE就可得到平面应变中就可得到平面应变中的关系式的关系式xyxyxyyyxxEEE)1 (2111122平面应力中

22、的关系式平面应力中的关系式1()1()2(1)xxyyyxxyxyEEE平面应变中的关系式平面应变中的关系式2022-6-26392-6 2-6 边界条件边界条件 当物体处于平衡状态时当物体处于平衡状态时，其内部各点其内部各点的应力状态应满足平衡微分方程，的应力状态应满足平衡微分方程，在边界在边界上应满足边界条件上应满足边界条件。一、位移边界条件一、位移边界条件 按照边界条件的不同，弹性力学问题按照边界条件的不同，弹性力学问题分为分为位移边界问题、应力边界问题位移边界问题、应力边界问题和和混合混合边界问题。边界问题。2022-6-2640 当边界上已知位移时，应建立物体边界上当边界上已知位移时

23、，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件。如令给定点的位移与给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为位移的边界为 ，则有（，则有（在在 上上）：）：uSuS( )suu( )svv其中其中 和和 表示边界上的位移分量，而表示边界上的位移分量，而 和和 在边界上是坐标的已知函数。在边界上是坐标的已知函数。suusvv二、应力边界条件二、应力边界条件 当物体的边界上给定当物体的边界上给定面力面力时，则物体边界时，则物体边界上的应力应满足与面力相平衡的平衡条件。上的应力应满足与面力相平衡的平衡条件。2022-6-2641()()()()xsyxsxysxysylmfmlf其中其中 和和 为面力

24、分量，为面力分量， 、 、 、 为为边界上的应力分量。边界上的应力分量。xfyfsx)(sy)(sxy)(syx)(PABxyxyyxxpypnyxoyyxypmlxxyxplm2022-6-2642若若x=a，为为x正面，正面，l = 1, m = 0, 则上式成为则上式成为)( .)( ,)(effyxyxaxxaxyxba()()()()xsyxsxysxysylmfmlf 当边界当边界面垂直于面垂直于x 轴时，应轴时，应力边界条力边界条件简化为：件简化为：2022-6-2643()()()()xsyxsxysxysylmfmlf若若x=-b，为为x负面，负面，l = -1, m = 0

25、 , 则上式成为则上式成为(), () ( )xbxxbxxyyfffyxba2022-6-2644三、混合边界条件三、混合边界条件1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而具物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分边界上则具有已知有位移边界条件，另一部分边界上则具有已知面力面力。则两部分边界上分别有应力边界条件和。则两部分边界上分别有应力边界条件和位移边界条件。如图位移边界条件。如图2-6，悬臂梁左端面有位，悬臂梁左端面有位移边界条件：移边界条件：00vvuuss右端面将有应力边界条件右端面将有应力边界条件lqxyo2h2h图图2-62-6()xsq2022-6-2645

26、2.在同一边界上，在同一边界上，既有应力边界条件又有位移既有应力边界条件又有位移边界条件边界条件。0()0sxysuuoxy图图2-72-7如图如图2-7连杆支撑边界条件：连杆支撑边界条件：例例: 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB边（边（y = 0）：）：1, 0ml00,( )xyxffp xpl 代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有00)(plxxpyy00yxy(2) BC段（段（x = l）：）：|0,|0 x lx luv0( 1)0( 1)0( )xyxyyxp x tantantantan()( sin)()cos0

27、()cos()( sin)0 xy xxyy xyy xyxy x (3)AC段（段（y =x tan ）:sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNmNABCxyhp(x)p0l2022-6-2648lx 圣维南原理在小边界上的应用：圣维南原理在小边界上的应用： 如图，考虑如图，考虑 小边界，小边界， 精确的应力边界条件精确的应力边界条件2022-6-2649 上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。( , )( , )xxx lxyyx lx yfx y

28、f2022-6-2650在小边界在小边界x=l上，可用下列条件代替上上，可用下列条件代替上式的条件：式的条件： 在同一边界在同一边界 x=l 上，上， 应力的主矢量应力的主矢量Fx , Fy= 面力的主矢量（给定面力的主矢量（给定) 应力的主矩应力的主矩( M )= 面力的主矩（给定）面力的主矩（给定）数值相等数值相等方向一致方向一致(b)积分的应力边界条件积分的应力边界条件2022-6-2651/2N/2()d1 hxx lhyF 具体可列出以下三个积分条件：具体可列出以下三个积分条件：/2/2()d1 hxx lhyyM/2S/2()d1hxyx lhyF 左侧面左侧面：0, 1ml0 x

29、yff()()()()xsxysxysxysylmfmlf代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式00hxxyhxx例例: 图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条应力边界条件件。( 为水的容重为水的容重)()0 xxhxyxhy 右侧面右侧面：0, 1ml,0 xyfy f代入应力边界条件公式，代入应力边界条件公式，有有上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。y 方向力等效：方向力等效：0dhh()yyxsinP对对O点的力矩等效：点的力矩等效：xdx

30、yhhy0)(sin2hPx 方向力等效：方向力等效：dxyhhyx0)(cosPyyxyPxyyx上端面：上端面：（方法（方法2 2）在在P点附近取图示微段，由微段的平衡求得点附近取图示微段，由微段的平衡求得0yF0sin0Pdxyhhysin0Pdxhhyy 0OM0sin20hPxdxyhhyxdxyhhy0)(sin2hP 0 xF0cos0Pdxyhhyxdxyhhyx0)(cosP2022-6-2656（1）按位移求解（位移法、刚度法）按位移求解（位移法、刚度法） 以以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用界条件都用u、v 表示，并求出表示，

31、并求出u、v ，再由几何再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。方程、物理方程求出应力与形变分量。（2）按应力求解（力法、柔度法）按应力求解（力法、柔度法） 以以应力分量 为基本未知函数，将所有方程为基本未知函数，将所有方程都用都用应力分量表示，求出表示，求出应力分量后 ，再用几再用几何方程、物理方程求出形变分量与位移。何方程、物理方程求出形变分量与位移。2-8 2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题平面问题的求解方法整体上可分为以下三种平面问题的求解方法整体上可分为以下三种:2022-6-2657将几何方程代入上式：将几何方程代入上式：)()1 (2)(1)(122yuxvExuyv

32、EyvxuExyyx（a a）yuxvyvxuxyyxxyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(1222022-6-2658再将式（再将式（a）代入）代入平衡微平衡微分方程分方程简化以后，即得简化以后，即得22222222222211()012211()0122xyEuuvfxyx yEvvufyxx y 这是这是用位移表示的平衡微分方程用位移表示的平衡微分方程，也就是按位移，也就是按位移求解平面应力问题时所需用的基本微分方程。求解平面应力问题时所需用的基本微分方程。（1 1）0 xyyyfxy0yxxxfxy2022-6-2659将（将（a）式代入应力边界条件，简化以后，得：）式代入应力

33、边界条件，简化以后，得：221 ()() 121 ()() 12ssxssyEuvuvlmfxyyxEvuvumlfyxxy这是用这是用位移表示的应力边界条件位移表示的应力边界条件，也就是按位，也就是按位移求解平面应力问题时所用的应力边界条件。移求解平面应力问题时所用的应力边界条件。（2 2）()(), ()()xsyxsxysxysylmfmlf2022-6-2660 总结起来，按位移求解平面应力问题时满总结起来，按位移求解平面应力问题时满足足平衡微分方程（平衡微分方程（1）和和位移边界条件位移边界条件或或应力边应力边界条件（界条件（2）。求出位移分量以后，用几何方程。求出位移分量以后，用几

34、何方程求出形变分量，再用物理方程求出应力分量。求出形变分量，再用物理方程求出应力分量。位移边界条件：位移边界条件：vvuuss,二、平面应变问题二、平面应变问题1,12EE 只须将平面应力问题的各个方程中只须将平面应力问题的各个方程中E 和和作代换：作代换：2022-6-2661例例: 考虑考虑两端固定两端固定的一维杆件，如图的一维杆件，如图 。只受。只受重力作用，重力作用， 。试用位。试用位移法求解。移法求解。0,xyffg0gloyx2022-6-2662解：解：则位移则位移 , 00,( )uvv y22ddvgyE gloyx按位移求解，位移应满足式按位移求解，位移应满足式(1),(2

35、)。代入式。代入式(1)，第一式，第一式自然满足，第二式成为自然满足，第二式成为22222222222211()012211()0122xyEuuvfxyx yEvvufyxx y 2022-6-266322gvyAyBE , 0)(, 0)(0lyyvvv0,2gBAlEgloyx解得解得2022-6-2664).2(2),2(2),(22ylgylEgylyEgvyy在在 处，处，2ly0y 代入代入v，并求出形变和应力，并求出形变和应力gloyxxyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(122yuxvyvxuxyyx2022-6-26652-9 2-9 按应力求解平面问题按应力求解平

36、面问题 相容方程相容方程 按位移求解平面问题时，按位移求解平面问题时，必须求解两个二必须求解两个二阶偏微分方程阶偏微分方程，这在数学上是相当困难的。而，这在数学上是相当困难的。而按应力求解弹性力学平面问题，则避免了这个按应力求解弹性力学平面问题，则避免了这个困难，困难，故多采用的是按应力求解故多采用的是按应力求解。 按应力求解时，以按应力求解时，以应力分量为基本未知函应力分量为基本未知函数数，由一些只包含应力分量的微分方程和边界，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，再用物理方程求出形条件求出应力分量以后，再用物理方程求出形变分量，从而用几何方程求出位移分量。变分量，从而用

37、几何方程求出位移分量。2022-6-2666一、用应变表示的相容方程一、用应变表示的相容方程由平面问题的几何方程：由平面问题的几何方程：yuxvyvxuxyyx22332222yxuvyxx yy x 即：即：yxxyxyyx22222这个关系式称为这个关系式称为形变协调方程或相容方程形变协调方程或相容方程。22()xyuvx yyxx y 2022-6-2667即即 必须满足上式才能保证位移分量必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。的存在与协调，才能求得这些位移分量。xyyx,例：例：Cxyxy0 x0y其中：其中：C为常数。为常数。显然，要想使形变协调方

38、程得到满足，除非显然，要想使形变协调方程得到满足，除非C=0，因而不可能求出满足几何方程的解。因而不可能求出满足几何方程的解。yxxyxyyx222222222yxyx2xyCx y 解解: :2022-6-26682. 相容方程的相容方程的应力应力表示表示（1）平面应力情形）平面应力情形将物理方程代入相容方程，得：将物理方程代入相容方程，得：yxxyxyyx22222yxxyxyxyyx22222)1 (2)()(利用平衡方程将上述化简：利用平衡方程将上述化简：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (20yxyyfxy0 xyxxfxy（a）2022-6-26692222()(1)yx

39、xyffxyxy 将将 上式整理得：上式整理得：（2-23）上式为上式为用应力表示的相容方程（平面应力情形）用应力表示的相容方程（平面应力情形）（2）平面应变情形）平面应变情形将将 上式中的泊松比上式中的泊松比代为：代为： ， 得得1（2-24）上式为上式为应力表示的相容方程（平面应变情形）应力表示的相容方程（平面应变情形）22221()1yxxyffxyxy 2022-6-26700)(2222yxyx（2-25）22221()1yxxyffxyxy 2222()(1)yxxyffyxxy 在常体力的情况下在常体力的情况下0)(2yx22222xy 2022-6-2671结论结论: 在单连体

40、的应力边界问题中，如果两个弹在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的外力，那么，不管这两个弹性体的材料是否相外力，那么，不管这两个弹性体的材料是否相同，也不管它们是在平面应力情况下或是在平同，也不管它们是在平面应力情况下或是在平面应变情况下，应力分量面应变情况下，应力分量 、 、 的分布是相的分布是相同的（同的（两种平面问题中的应力分量两种平面问题中的应力分量 ，以及，以及形变和位移，却不一定相同形变和位移，却不一定相同）。）。xyxyz2022-6-2672推论推论2 在用实验方法测量结构或构件的上述应力在用实验方法

41、测量结构或构件的上述应力分量时，可以用便于量测的材料来制造模型，分量时，可以用便于量测的材料来制造模型，以代替原来不便于量测的结构或构件材料；还以代替原来不便于量测的结构或构件材料；还可以用可以用平面应力情况下的薄板模型平面应力情况下的薄板模型来代替来代替平面平面应变情况下的长柱形的结构或构件应变情况下的长柱形的结构或构件。推论推论1 针对任一物体而求出的应力分量针对任一物体而求出的应力分量 、 、 ，也适用于具有同样边界并受有同样外力的，也适用于具有同样边界并受有同样外力的其它材料的物体；针对其它材料的物体；针对平面应力平面应力问题而求出的问题而求出的这些应力分量，也适用于边界相同、外力相同

42、这些应力分量，也适用于边界相同、外力相同的的平面应变平面应变情况下的物体。情况下的物体。xyxy2022-6-2673应力函数应力函数 按应力求解应力边界问题时，在按应力求解应力边界问题时，在体力为常量体力为常量的情况下的情况下，应力分量，应力分量 、 、 应当满足应当满足平衡微分方程：平衡微分方程：xyxy00 xyxxyxyyfxyfyx（a）以及相容方程以及相容方程0)(2222yxyx（b） 方程（方程（a）的解包含两部分：任意一个）的解包含两部分：任意一个特解特解和齐次微分方程的和齐次微分方程的通解通解。2022-6-2674微分方程（微分方程（a）的全解：）的全解：22222,xx

43、yyxyf xf yyxx y （1）将（将（1）代入式（）代入式（b），即得：），即得：22222222()()0 xyf xf yxyyx上式可简化为：上式可简化为：22222222()()0 xyxy函数函数 称为平面问题的应力函数，也称为称为平面问题的应力函数，也称为艾艾瑞应力函数瑞应力函数。2022-6-2675或者展开为：或者展开为：444422420 xxyy进一步表示为：进一步表示为：40（2） 按应力求解应力边界问题时，如果体力按应力求解应力边界问题时，如果体力是常量，就只须由微分方程（是常量，就只须由微分方程（2）求解应力函）求解应力函数数，然后用公式（，然后用公式（1）求

44、出应力分量，但这）求出应力分量，但这些应力分量在边界上必须满足应力边界条件。些应力分量在边界上必须满足应力边界条件。22222,xxyyxyf xf yyxx y （1）例例: 图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力曲应力 和切应力和切应力 的表达式，并取挤压应的表达式，并取挤压应力力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。，然后说明这些表达式是否代表正确解。xyxy解解: :材料力学解答：材料力学解答：0yxyIPyIMx*22S24 zxyzF SPhyI bI（

45、a）式（式（a）满足平衡方程和相容）满足平衡方程和相容方程？方程？式（式（a）是否满足边界条件？）是否满足边界条件？, yIPxx, yIPyxy, 0 xxy, 0yy0 xyff代入平衡微分方程：代入平衡微分方程：0yxyyfxy0 xyxxfxy（2-2）平衡微分方程满足。平衡微分方程满足。00 yIPyIP00000yxPxyI 2224xyPhyI 式（式（a）满足相容方程。）满足相容方程。0)(2222yxyx代入相容方程：代入相容方程：02222xyIPyx00)(2222yxyx0yxPxyI 2224xyPhyI 再验证，式（再验证，式（a）是否满足）是否满足边界条件？边界条

46、件？220, 0hhyyxyy 满足满足00 xx满足满足202dhhxyxyP 等效满足等效满足上、下侧边界：上、下侧边界：左侧边界：左侧边界：0yxyIPyIMx2224xyPhyI 结论：式（结论：式（a）为正确解，不适用于杆端）为正确解，不适用于杆端3-1 3-1 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 多项式解多项式解答答444422420 xxyy （2）边界条件：）边界条件：()()()()xsxysxysxysylmfmlf（2）（1）相容方程：）相容方程：（4）对于多连体，还须满足）对于多连体，还须满足位移的单值条件位移的单值条件。22yyf yx22xxf xy2xyx y （3

47、）应力分量：）应力分量：（3）2022-6-26823-4 3-4 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷 设有矩形截面的简支梁，深度为设有矩形截面的简支梁，深度为 ，长度，长度为为 ，受均布载荷，受均布载荷 ，体力不计体力不计，由两端的反，由两端的反力力 维持平衡，如图维持平衡，如图3-5所示。取所示。取单位厚度的梁单位厚度的梁来考虑，可视为平面应力问题。来考虑，可视为平面应力问题。hl 2qql)(yfy解解: : 本问题宜采用半逆解法本问题宜采用半逆解法。由于由于 将由将由q引起引起,而而q又不又不随随x变化变化,因此可假设因此可假设 只只是是 y的函数：的函数：yyqlqqllloxy2h2

48、h图图3-53-52022-6-2683则：则：22( )f yx1( )( )xf yfyx对对 积分，得：积分，得：x212( )( )( )2xf yxf yfy再积一次分，得：再积一次分，得：其中，其中， 、 是是 y 的任意函数，待定。的任意函数，待定。)(1yf)(2yf（a a）（b b）)(yfyqlqqllloxy2h2h图图3-53-52022-6-2684 现在考察，上述应力函数是否满足相容方程。现在考察，上述应力函数是否满足相容方程。将以上结果代入相容方程：将以上结果代入相容方程：0)(2)()()(2122424414244dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd212( )( )( )2xf yxf yfy444422420 xxyy 相容条件要求该二次方程有无数的根相容条件要求该二次方程有无数的根(全梁内的任全梁内的任意意x值都应该满足值都应该满足)，所以它的系数项和自由项都必，所以它的系数项和自由项都必须等于零。即：须等于零。即：2022-6-26854442124442( )( )( )( )0,0,20d f yd fyd f yd f ydydydydy相应的应力分量为：相应的