简单的三角恒等变换PPT2015级

1、3.2 3.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换第一课时第一课时 问题提出问题提出t57301p21.1.两角和与差及二倍角的三角函数公式两角和与差及二倍角的三角函数公式分别是什么？分别是什么？sin(sin()sincossincoscossincossin tantan1tantan)(tancos(cos()coscos sinsincoscos sinsin mcos2cos2coscos2 2sinsin2 2 2cos2cos2 21 1 1 12sin2sin2 2； 2tan1tan22tan2tan1tan22tan2tan1tan22tan2tan1tan22tan2t

2、an1tan22tan2tan1tan22tansin2sin22sincos2sincos 2.2.三角函数公式是三角变换的理论依据，三角函数公式是三角变换的理论依据，基本的三角公式包括同角关系公式，诱基本的三角公式包括同角关系公式，诱导公式，和差公式和二倍角公式等导公式，和差公式和二倍角公式等. .有有了这些公式，使得三角变换的内容、思了这些公式，使得三角变换的内容、思路、方法丰富多彩，奥妙无穷，并为培路、方法丰富多彩，奥妙无穷，并为培养我们的推理、运算能力提供了养我们的推理、运算能力提供了很好的平台很好的平台. .在实际应用中，我们不仅在实际应用中，我们不仅要掌握公式的正向和逆向运用，还

3、要要掌握公式的正向和逆向运用，还要了解公式的变式运用，做到活用公式，了解公式的变式运用，做到活用公式，用活公式用活公式. .3.3.代数式变换与三角变换的区别在于：代数式变换与三角变换的区别在于：代数式变换主要是对代数式的结构形式代数式变换主要是对代数式的结构形式进行变换；三角变换一般先寻找三角式进行变换；三角变换一般先寻找三角式包含的各个角之间的联系，并以此为依包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行变据选择可以联系它们的适当公式进行变换，其中有两个变换原理是需要我们了换，其中有两个变换原理是需要我们了解的解的. .探究（一）：探究（一）：异角和积互化原理异角和积互

4、化原理 思考思考1 1：对于对于sincossincos和和cossincossin，二者相加、相减分别等于什么？二者相加、相减分别等于什么？思考思考2 2：记记sincossincosx x，cossincossiny y，利用什么数学思想可求出，利用什么数学思想可求出x x、y y？x+yx+ysin(+) sin(+) x-yx-ysin(-)sin(-)方程思想方程思想左边是积右边是和差，左边是积右边是和差，从左到右积化和差从左到右积化和差.思考思考3 3：由上述分析可知由上述分析可知1cossi nsi n()si n()2ababab=+-)sin()sin(21cossin这两个

5、等式左右两边的结构有什么特点？这两个等式左右两边的结构有什么特点？从左到右的变换功能是什么？从左到右的变换功能是什么？思考思考4 4令令 ， ，并交换等式两边的式子可得什么结论？并交换等式两边的式子可得什么结论？si nsi n2si ncos22qjqjqj+-+=si nsi n2cossi n22qjqjqj+-=思考思考5 5：这两个等式左右两边的结构有什这两个等式左右两边的结构有什么特点？从左到右的变换功能是什么？么特点？从左到右的变换功能是什么？思考思考6 6：参照上述分析，参照上述分析，coscoscoscos，sinsinsinsin分别等于什么？其变换功能分别等于什么？其变换

6、功能如何？如何？1coscoscos()cos()2ababab=+-1si nsi ncos()cos()2ababab= -+-思考思考7 7：coscoscoscos，coscoscoscos分别等于什么？其变换功能如何？分别等于什么？其变换功能如何？coscos2coscos22qjqjqj+-+=coscos2si nsi n22qjqjqj+-= -思考思考8 8：上述关系表明，两个不同的三角上述关系表明，两个不同的三角函数的和（差）与积是可以相互转化的，函数的和（差）与积是可以相互转化的，但转化是有条件的，其中和差化积的转但转化是有条件的，其中和差化积的转化条件是什么？化条件是什

7、么？ 两个角的函数同名两个角的函数同名探究（二）：探究（二）：同角和差合成原理同角和差合成原理思考思考1 1：sin20sin20cos30cos30cos20cos20sin30sin30可合成为哪个三角函数？可合成为哪个三角函数？sin(20sin(20+30+30)=sin50)=sin50思考思考2 2：可分别合成为哪个三角函数？可分别合成为哪个三角函数？13si n20cos20 ,22-oo13cos20si n2022-oosin(20sin(20-60-60) )sin(30sin(30-20-20) )思考思考3 3：可分别合成为哪个三角函数？可分别合成为哪个三角函数？si

8、ncos ,xx-cos3 si nxx+si ncos2 si n()4xxxp-=-cos3 si n2si n()6xxxp+=+思考思考4 4： 可合成为哪个三角函数？可合成为哪个三角函数？3 si n()cos()33xxpp+-+2si n ()36xpp+-思考思考5 5：一般地，一般地， 可可合成为一个什么形式的三角函数？合成为一个什么形式的三角函数？si ncosaxbx+22si ncossi n()axbxabxq+=+tanbaq=其中其中 理论迁移理论迁移例例1 1 化简化简 22si nsi nsi ncossi ncosabaabb-tan(tan()例例2 2

9、已知已知cosxcosxcoscoscoscos，求证：，求证： 2tantantan222xxaab+-=例例4 4 如图，已知如图，已知OPQOPQ是半径为是半径为1 1，圆心角，圆心角为为6060的扇形，的扇形，C C是扇形弧上的动点，是扇形弧上的动点，ABCDABCD是扇形的内接矩形，记是扇形的内接矩形，记COP=,COP=,求求当角当角取何值时，矩形取何值时，矩形ABCDABCD的面积最大？并求出这个的面积最大？并求出这个最大面积最大面积. .O O A AB BP P Q QC CD D例例3 3 求函数求函数 的周期，的周期，最大值和最小值？最大值和最小值？sin3cosyxx小

10、结作业小结作业1.1.异角和积互化原理与同角和差合成原异角和积互化原理与同角和差合成原理，是三角变换的两个基本原理，具体理，是三角变换的两个基本原理，具体公式不要求记忆，但要明确其变换思想，公式不要求记忆，但要明确其变换思想，会在实际问题中灵活运用会在实际问题中灵活运用. .2.“2.“明确思维起点，把握变换方向，抓住明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式内在联系，合理选择公式”是三角变换的是三角变换的基本要决基本要决. .sinyAx3.3.对形如对形如 的函数，转的函数，转化为化为 的形式后，可使的形式后，可使问题得到简化，这是一种化归思想问题得到简化，这是一种化归思想.

11、. sincosyabsinyAx作业：作业：P143P143习题习题3.2A3.2A组：组：1(5)(6)(7)(8) 1(5)(6)(7)(8) ，2 2，3 3，4 4，5.5.3.2 3.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 第二课时第二课时 含未知角的求值问题（习题课）含未知角的求值问题（习题课） 例例1 1 已知已知 , ,且且 求求 值值. .1sincos5, 0sin(2)431 250例例2 2 已知已知 ，且，且 , ,求求 值值. .4 3sin()sin35 02cos3 3410-例例3 3 已知已知 ，求，求 的值的值. .2si n(60 )3x-=osi

12、n(60 )3 cos(120)xx+-oo43-例例4 4 已知已知 , , 求求 值值. .3cos45x177124x2sin22sin1tanxxx2875-例例5 5 已知已知 tantan2 2，且，且sinsinsincos(sincos()，求，求tan(tan()的值的值. .4 4例例6 6 已知已知 ， ，求，求 的值的值. .1si n(2 )si n(2 )444ppaa+-=2,4212si ntan1tanaaa+-5 32作业：作业：P146P146复习参考题复习参考题A A组：组： 1 1，2 2，3 3，6 6，7.7. 第三课时第三课时 含非特殊角的求值问

13、题（习题课）含非特殊角的求值问题（习题课） 3.2 3.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换例例1 1 求求 sin(sin(340340)cos400)cos400sin830sin830cos50cos50的值的值. .32例例2 2 求求 的值的值. .cos10(tan103)si n 50-ooo2 2例例3 3 求求 的值的值. .14cos10tan10-oo3-例例4 4 求求 的值的值. .214si n 102si n10+oo3 3 例例5 5 求求 的值的值. .cos103sin10 tan702cos40tan202 2 例例6 6 求求 的值的值. .2266

14、4cos 101cos201cos20-+ooo3232 例例7 7 求求 的值的值. .52cos5cos12作业：作业：P146P146复习参考题复习参考题A A组：组： 4 4，5 5，8.8. 第四课时第四课时 三角函数中的三角变换问题三角函数中的三角变换问题 （习题课）（习题课） 3.2 3.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 例例1 1 已知函数已知函数（1 1）求）求f(x)f(x)的最小正周期和单调递减区的最小正周期和单调递减区 间；间；（2 2）当）当 时，求时，求f(x)f(x)的最大值和的最大值和最小值最小值. . 22( )(sincos )2cosf xxxx

15、0, 2xpT= T= 5, ()88kkkZpppp+m ax( )22f x=+m i n( )1f x= 例例2 2 已知函数已知函数f(x)f(x)sin(xsin(x) cos(xcos(x)为偶函数，求为偶函数，求的值的值. . ()4kkZpap=- 例例3 3 已知函数已知函数（1 1）若对任意）若对任意xRxR都有都有 成立，成立， 求求a的取值范围；的取值范围；（2 2）若）若 ，求关于，求关于x x的不等式的不等式 的解集的解集. .2( )2 cos ( 3 si ncos )(0)f xaxxxa a=+( )4f x0,1a(,)()3kkkZppp+ 例例4 4

16、已知向量已知向量a ，b ，其中，其中 ，求函，求函数数f(x)f(x)ab| |ab| |的值域的值域. . 33(cos, si n)22xx=-(cos,si n)22xx= 0, 2xp3, 12- 例例5 5 已知函数已知函数若函数若函数y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线 对称，求对称，求a的最小值的最小值. .2( )2sin()sin cos3sin3f xxxxx(0)xa amin12a 例例6 6 如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为1 1 ，P P、Q Q分别为边分别为边ABAB，DADA上的点，当上的点，当APQAPQ的的周长为周长

17、为2 2时，求时，求PCQPCQ的大小的大小. .A AB BC CD DP PQ Q4545 作业：作业：P147P147复习参考题复习参考题A A组：组： 10,11,12,13.10,11,12,13.必修必修4 4终结考试说明终结考试说明一、三角函数与三角变换一、三角函数与三角变换1.1.三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号2.2.在给定范围内找终边相同的角在给定范围内找终边相同的角3.3.扇形的弧长公式和面积公式，三角形扇形的弧长公式和面积公式，三角形面积公式面积公式4.4.根据三角函数图象写解析式根据三角函数图象写解析式5.5.求三角函数的单调区间求三角函数的单调区间6.6.判断三角函数的奇偶性判断三角函数的奇偶性7.7.三角函数的图象变换三角函数的图象变换8.8.三角函数的最大值和最小值三角函数的最大值和最小值9.9.简谐运动的振幅、周期、频率、初相简谐运动的振幅、周期、频率、初相的概念的概念10.10.含未知角的三角式求值含未知角的三角式求值13.13.三角函数的简单应用三角函数的简单应用11.11.含非特殊角的三角式求值含非特殊角的三角式求值12.12.三角函数式化简三角函数式化简14.14.三角变换基本公式（同角关系式，诱三角变换基本公式（同角关系式，诱导公式，和差公式，二倍角公式）的