第2章 正弦交流电路

1、第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路2.1 正弦交流电量及基本概念2.2 正弦交流电的相量表示方法 2.3 单一参数元件的正弦交流电路2.4 电阻、电感与电容元件串联的正弦交流电路 2.5 正弦交流电路的分析与计算 2.6 谐振电路分析 *2.7 功率因数的提高2.8 三相交流电路 小结第第2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路【本章学习要求本章学习要求】理论理论：掌握正弦交流电的三要素、单一参数元件电路中电压与电流的相量关系、三相负载的星型联结及中性线的作用；熟悉正弦量的相量

2、表示法及相量模型、阻抗串并联电路的分析计算；了解谐振电路的特点、三相负载的三角形联结及特点。技能技能：会正确使用仪表测量正弦交流电流、电压及能量。第第2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路2.1 正弦交流电量及基本概念2.1.1 正弦交流电量 图 2-1几种电压和电流的波形 a)图中，电压和电流的大小与方向都不随时间的变化而变化，是恒定的，统称为直流电量。b)d)图中，电压和电流的大小与方向都随时间的变化而变化，是交变的，统称为交流电量。而在图d)中，电压和电流的大小与方向都随时间按正弦规律变化，故这种交流电量称为正弦交

3、流电，简称为正弦量。第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路2.1 正弦交流电量及基本概念 2.1.2 正弦交流电的三要素 1正弦量数学表达式 一个正弦电压量可表示为： u =Umsin(t + u) （2-1） u为瞬时值，用小写的英文字母表示。 Um为正弦量的最大值，为角频率，u称为初相位，这三个物理量所确定的正弦量是惟一的，因此称为正弦量的三要素。式（2-1）所对应的波形图如图2-2所示。图2-2 正弦交流电波形图 第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路 由于正弦波周期性变化，最靠近原点左右两侧各有一个过零

4、点，为了避免混淆，习惯上初相位的取值范围为| |。 2有效值 若某一交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量，与某一直流电流I通过同一电阻在相同的时间内产生的热量相等，则称这一直流电流的数值为该交流电流的有效值。 正弦交流电流i的有效值为:m 2UU 2mm01sin() d 2TiIIIttTm 2EE 同理，交流电动势有效值为:交流电压的有效值为: 在交流电路中，一般所讲电压或电流的大小都是指有效值。 第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路 3相位差 两个同频正弦量相位之差，用表示。设同频正弦电压u和电流i，其波形图如图2-3所示，其数学表达式

5、分别为:u = Um sin(t + u) i = Imsin(t + i)则u、i的相位差 = (t + u)-(t - i) = u - i (2-8)可见，相位差亦为它们的初相位之差，与时间无关。从图2-3可看出，若u i，电压在相位上超前电流角；图2-3 电压与电流相位差 图2-4 两正弦量的同相与反相 若 = 0，称同相；若 = ，称反相，如图2-4所示。第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路 2.2 正弦交流电的相量表示方法 相量法就是用相量来表示正弦量，相量是用复数来表示的 。 2.2.1 复数及其运算 1.复数的表示方法图2-5 复数的

6、矢量表示 (1)代数式 A = a +jb (2)三角函数式 A = r(cos +jsin ) (3)指数式 A = rej (4)极坐标式 2.复数的四则运算 设有两个复数A、B，分别为 A = a1 + jb1 = r1 1 , B = a2 + jb2 = r2 2 (1)加减运算 A B = ( a1 a2 ) + j( b1 b2 ) (2-15)Ar 第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路复数的加减运算还可以用矢量合成分析，利用平行四边形法则进行运算，如图2-6所示。 (2)乘除运算 图2-6 矢量的平行四边形法则112212121111

7、2222()A BrrrrrrABrr （）2.2.2 正弦量的相量表示法 建立一个复平面：复数的模为正弦量有效值I，幅角为正弦量的初相角 ，逆时针旋转的速度为角频率，这个复数就称为电流i的有效值相量，记作 ，即I= IIII第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路 在复平面中，相量 可用长度为U，与实轴正方向的夹角为的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图，如图2-7所示。 图2-7 电压的相量图 也可以用幅值相量来表示正弦量： = Im （2-19） 正弦量和相量是一一对应的关系（注意：正弦量和相量不是相等关系！）。如 = I 和 i = Imsin

8、(t +)是 一一对应的关系（不能写成i = Imsin(t +)= = I ）。ImIIU第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路2.3 单一参数元件的正弦交流电路 由电阻、电感和电容单个元件组成的正弦交流电路，是最简单的交流电路，复杂交流电路可以看成是由若干个单一参数元件电路组成的。2.3.1 相量模型 对正弦交流电路，在不改变电路的组成结构下，将电路中的变量如u、i、e分别用相量 表示，即 ；将电路中的元件参数R、L 、C分别用复阻抗R、jXL、-jXC表示，即，.iIeE.、j jLCRR LXCX、U I E、 通过这种转变后就能得到相量模型电

9、路，并可将复阻抗R 、jXL 、-jXC当作直流电路中的电阻看待，用直流电路的方法进行分析计算。如图2-8a所示的交流电路可转化为图2-8b所示的相量模型电路。.uU、第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路2.3.2 纯电阻电路 图2-9a是纯电阻电路。设加在电阻R两端的电压为u = Umsint，通过R的电流为i，图2-8 交流电路和相量模型1电压电流关系图2-9 纯电阻电路 在图2-9b相量模型中，在关 、 联方向下，可直接写出类似于直流电路中的欧姆定律： .UI R(2-20)式(2-20)称为欧姆定律的相量形式。 图2-9b为其相量模型。从式（

10、2-20）可得如下结论：1) 电压和电流有效值之间的关系为U = RI。UI第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路 2) 电压和电流是同频同相的，如图2-10b所示。 2电阻电路的功率 1）瞬时功率p = ui= UmsintImsint=UI(1-cos2t) 从该式可知p 0，即电阻从电源吸取功率，是耗能元件，瞬时功率P的变化频率是电源频率的两倍，如图2-10c。 2）有功功率 图2-10 纯电阻电路波形图、相量图和瞬时功率曲线第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路2.3.3 纯电感电路 1.电压电流的关系

11、 图2-11a为纯电感电路，b）为相量模型，可得电感电路欧姆定律的相量形式： .jLUI X(2-21) 有功功率的单位为瓦特（W），也用千瓦（kW）表示。平时我们所说的40w灯泡、30w电烙铁等都是指其有功功率。图2-11 纯电感电路从式（2-21）可得如下结论： 1）电压和电流有效值有如下关系 U = XLI；其中XL = L称为感抗，具有电阻的量纲，单位为欧姆（ ），对交流电具有一定的阻碍作用。感抗XL = L = 2fL，与电感L和频率f成正比。 当f ，则XL，此时电感可视为开路（断路）。第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路 当f = 0（

12、直流），则XL=0，此时电感可视为短路。故电感元件具有“通低频阻高频”的特性。 2)电压在相位上超前电流900 。 纯电感电路电压、电流波形图和相量图如图2-12a、b所示。2.电感电路的功率图2-12 纯电感电路波形图、相量图(1)瞬时功率P=ui=Umsin(t+900)Imsint =UIsin2t如图2-12c所示，电感从电源吸取的功率有正有负。001dsin2d0TTPp tUIt tT(2)有功功率电感元件本身不消耗电能，是储能元件。第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路2.3.4 纯电容电路 1.电压电流的关系 从图2-13b的相量模型，

13、可得纯电容电路的欧姆定律的相量形式：从该式可得如下结论： (3)无功功率Q = UI = I 2XL = U 2/XL 单位为乏(var)，有时用千乏(kvar)。.jCUX I 图2-13 纯电容电路1）电压和电流有效值关系为U = XCI。2）电压在相位上滞后电流900 。纯电容电路波形图和相量图如图2-14a、b所示。第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路 2.电容电路的功率 (1)瞬时功率 p =ui =UmsintImsin(t+900 ) = UIsin2t 瞬时功率的波形图如图2-14c所示。 001sin20TTPpdtUItdtT (

14、2)平均功率 说明电容元件不消耗能量，是贮能元件。 (3)无功功率Q Q = UI = I 2XC= U 2 /XC 图2-14 纯电容电路波形图、相量图和瞬时功率曲线第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路2.4 电阻、电感与电容元件串联的正弦交流电路 2.4.1 电压与电流之间的关系 1. R L C串联电路相量模型 图2-15 R L C串联电路 图2-15a为交流电路，b）为相量模型 。根据串联电路的特性，电路的总阻抗（复阻抗）为Z，则Z = R + jXL+ (-jXC) = R + j(XL-XC) = R + jX （2-23）第第2 2章

15、章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路复阻抗的模|Z|称为阻抗模。 2222|Z| = ()LCRXXRX复阻抗的幅角，又称阻抗角 = arctan = arctan （2-24）XRLCXXR 由欧姆定律可得.UI Z.（2-25） 从该式可得如下两个结论： 1）电路中电压和电流有效值之间的关系为U = |Z|I 。 2）电压和电流之间的相位差（夹角）为 。 2电路的性质 如图2-16所示: 当 0时，即X 0 ，电压超前电流角度，电路呈感性； 当 0时，即X R时，电容和电感端电压数值远大于电源电压，一般Q值可达几十至几百，因此串联谐振又称为电压谐振。2.6.

16、2 并联谐振 在L、C并联电路中产生的谐振，称为并联谐振。谐振频率为：01LC 或 012fLC 并联谐振具有如下特性: 1）电压和电流同相位，电路呈阻性； 2）电路的阻抗模最大，电流最小； 3）电感电流和电容电流几乎大小相等，相位相反； 4）电感和电容支路的电流约为电路总电流的Q倍，Q是品质因数： 并联谐振又称为电流谐振。001LQRCR第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路2.8 三相交流电路 2.8.1 三相电源及其联接1三相电源 三相交流电一般是由三相交流发电机产生的。三相电源就是指三个频率相同、幅值相等、相位相互间隔1200 的正弦电压源按一

17、定的方式连接而成的，故称三相对称电源。三相绕组中产生正弦感应电动势，分别为eU、eV、eW，若以U相为参考正弦量，则三相电动势为：（2-29）若以相量形式表示，则.0U.0V.0W0120120EEEEEE第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路 它们的波形图和相量图如图2-22所示。由图可知，三相对称电源有如下特性： eU + eV + eW= 0 或 .UVW0EEE图2-22 三相对称电动势波形图和相量图2三相电源的星形联结 (1) 三相四线制 从始端U1、V1、W1引出的三根导线称为相线，从中性点引出的导线称为中性线，常分别涂以黄、绿、红和黑色(

18、或淡蓝色)四种颜色表示。第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路图2-23 电源星形联结三相四线制三相四线制的供电系统，通常是低压供电网采用。 (2) 相电压和线电压 在图2-23中，相线和中性线之间的电压，称为相电压，如uU、uV、uW；相线与相线之间的电压，称为线电压,如uUV、uVW、uWU 。 (3) 相电压和线电压的关系 在图2-23中，相电压和线电压用相量可表示为：.UVUVVWVWWUWUUUUUUUUUU第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路 三相对称电压的相量图如图2-24所示。利用平行四边形法

19、则，相量合成可得线电压和相电压的关系。从相量图可知 ，线电压也是对称的，且相位超前相电压300 ，有效值 是相电压有效值 的 倍。即 。3PULU3LPUU图2-24 三相对称电压的相量图 (4) 三相三线制 当三相电源连接成星形，只引出相线，这种供电方式，称为三相三线制，负载只能使用线电压。三相三线制一般为动力线路供电。第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路 2.8.2 三相负载的联结 1. 三相负载的星形联结 将三相负载的一端连接在一起和电源中性线相连，另一端分别和相线相连，形成负载星形联结的三相四线制电路，如图2-25所示。图2-25 负载星形联

20、结的三相四线制电路 (1) 三相对称负载 在图2-25所示电路中，每相负载的等效阻抗分别为ZU、ZV、ZW，如果ZU = ZV = ZW = Z，则称为三相对称负载。否则，称为三相不对称负载.第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路(2) 线电压和相电压 电源的相电压，其大小等于电源线电压的1/ 。 负载星形联结时，负载两端的电压等于3(3) 线电流和相电流 线电流用 表示；相电流用 表示。显然，Y连结时相电流等于相应的线电流，即IP = IL。.UVWIII?、 、.UNWNVNIII?、 若是三相对称负载，三相电流也是对称的。电压、电流相量图如图2-

21、26所示。这时只需计算任一相电流，根据对称关系便可知另两相的电流。 图2-26 负载星形联结相量图 .PUUN.0PVNV.0PWWNUVW( 120)(120)arctanUIIZUIIZUIIZXR ?第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路 若是三相对称负载，则中性线电流为0，即 可见，三相对称负载中可将中性线省去，成为三相三线制系统。但三相负载多为不对称，中性线中有电流通过，此时中性线是不能省去的，故中性线上不允许安装开关和熔断器。 (4) 中性线电流 中性线中流过的电流，称为中性线电流，由KCL可知.UVWNUVW0 =0 NIIIIoriii

22、i?.NUVWNUVW IIIIoriiii? 例例2.2 如图2-27所示的三相四线制系统中，每相接入一组灯泡，其等效电阻R = 400，若线电压为380V，试计算： 各相负载的电压和电流的大小； 如果L1相断开时，其他两相负载的电压和电流的大小； 如果L1相发生短路，其他两相负载的电压和电流的大小； 若除去中性线，重新计算、。第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路 解： 在正常情况下，如图2-27a所示。三相负载对称，三相的电压和电流都是对称的，只需任求一相即可，根据线电压、线电流与相电压、相电流的关系可得相电压相电流UVWPL1380V220V3

23、3UUUUUPP220A0.55A400UIR 当L1断开时，如图2-27c所示。L2、L3相的负载端电压还是保持为相电压，能正常工作，电压和电流数值同； 当L1相短路，如图2-27d所示。 L1相上的保险装置使L1相断开，L2、L3相上负载仍能正常工作，电压和电流数值同； 若除去中性线，正常情况下三相四线制系统成为三相三线制系统，如图2-27b所示。每相的电压和电流大小同； 若此时L1相断开，则R2、R3灯组串联接在L2L3之间，承受线电压380V。因R2 = R3，故灯组承受的电压为 :第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路图2-27 例2.4图2

24、3L1380V190V22UUU2232190A0.475A400UIIR电流 第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路 若此时L1相短路，在瞬间R2、R3分别接在两相L1L2、L1L3之间，灯组两端的电压均为380V，通过的电流均为 380/400 A = 0.95A，两灯组迅速变亮，即刻烧坏。 因R2、R3灯组两端电压低于额定电压220V，因此R2、R3灯组变暗。 由此可见，星形联结非对称三相负载，必须采用三相四线制系统供电，中性线不能省略。2.8.3 三相电路的功率三相电路的功率 三相负载，无论是星形联结还是三角形联结，三相电路的总有功功率等于各相

25、有功功率之和，总的无功功率等于各相无功功率之和。 1. 有功功率 设三相有功功率分别为 ，则三相电路的有功功率为:UVWPPP、第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路UVWPPPP 若是三相对称负载，则每相的有功功率相等，故有UPP33cosPPU I（2-72） 式 中是相电压和相电流的相位差。（2-72）（2-71）对于三相对称负载星形联接，有如下关系：对于三相对称负载三角形联结，有如下关系：分别代入式（2-72）中，均可得 （2-73）3LPLpUUIILPLp3UUIIL L3cosPU I 2. 无功功率 设每相电路的无功功率分别为 ，则三相电路无功功率为:UVWQQQ、第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路LL3sinQU I同理，可得: （2-76） 3. 视在功率 三相负载的视在功率定义为 S = （2-77） 一般情况下三相负载的视在功率不等于各相视在功率之和，只有当负