第三讲DPS应用(4、数学模型模拟分析)

1、第四章 数学模型模拟分析n要建立适合各学科特点的定量数学模型，仅用线性回归分析方法要建立适合各学科特点的定量数学模型，仅用线性回归分析方法是远远不够的。这是因为变量间的关系的形式多样，例如温度与是远远不够的。这是因为变量间的关系的形式多样，例如温度与昆虫发育速率的关系呈昆虫发育速率的关系呈S 形曲线，描述植物病害复利增长过程的形曲线，描述植物病害复利增长过程的逻辑斯蒂曲线，还有诸如施肥量与产量之间、光照度与光合作用逻辑斯蒂曲线，还有诸如施肥量与产量之间、光照度与光合作用效率之间、药剂浓度和害虫死亡率之间的关系等等，都绝非仅仅效率之间、药剂浓度和害虫死亡率之间的关系等等，都绝非仅仅是线性关系的问

2、题。是线性关系的问题。n一种非线性数学模型的选择往往需要结合有关专业知识及学科特一种非线性数学模型的选择往往需要结合有关专业知识及学科特点。例如根据所研究物种的生物学性状和生态学规律选用合理的点。例如根据所研究物种的生物学性状和生态学规律选用合理的数学模型，使所建经验模型符合一定的生物学规律，又回到生物数学模型，使所建经验模型符合一定的生物学规律，又回到生物学研究中帮助人们认识更深层次的生物学问题。由于事物矛盾运学研究中帮助人们认识更深层次的生物学问题。由于事物矛盾运动的普遍性和特殊性，非线性回归模型的形式很多。现有的生物动的普遍性和特殊性，非线性回归模型的形式很多。现有的生物统计书一般在介绍

3、非线性回归模型时，只是列举一些虽然经常遇统计书一般在介绍非线性回归模型时，只是列举一些虽然经常遇到、但多为两个变量间的简单非线性回归模型。这样的模型实际到、但多为两个变量间的简单非线性回归模型。这样的模型实际上仅占生物学研究中有可能被应用的非线性模型的极少部分。上仅占生物学研究中有可能被应用的非线性模型的极少部分。nDPS 系统为用户提供了通用的建立数学模型工具。用户完全可以系统为用户提供了通用的建立数学模型工具。用户完全可以根据自己的需要自定义模型。自定义模型可以是单因变量的线性根据自己的需要自定义模型。自定义模型可以是单因变量的线性回归模型或非线性经验模型，也可是包含多个因变量的联立线性回

4、归模型或非线性经验模型，也可是包含多个因变量的联立线性回归模型或非线性模型方程组。这些线性和非线性模型可以是差回归模型或非线性模型方程组。这些线性和非线性模型可以是差分模型，也可以是对各个变量进行加权处理后产生的模型。只要分模型，也可以是对各个变量进行加权处理后产生的模型。只要用户能够自己定义出模型，就可以在用户能够自己定义出模型，就可以在DPS 系统支持下进行模型模系统支持下进行模型模拟和参数求解。拟和参数求解。一、非线性回归模型n一元非线性回归模型一元非线性回归模型n非线性回归分析模型中最常见的是建立两个变量之间函非线性回归分析模型中最常见的是建立两个变量之间函数关系的一元非线性回归模型。

5、数关系的一元非线性回归模型。DPS 数据处理系统为引数据处理系统为引导用户快速地掌握非线性回归建模技术，对一元非线性导用户快速地掌握非线性回归建模技术，对一元非线性回归模型参数估计过程，提供了非常方便而直观的用户回归模型参数估计过程，提供了非常方便而直观的用户界面。该界面提供了界面。该界面提供了26 种常用且较典型的一元非线性回种常用且较典型的一元非线性回归方程供用户选用归方程供用户选用(下表下表)。应用这些非线性回归方程建。应用这些非线性回归方程建立模型时，系统不需要使用者写入公式即可进行参数估立模型时，系统不需要使用者写入公式即可进行参数估计。但如果你认为这些回归方程式不能完整地表达你所计

6、。但如果你认为这些回归方程式不能完整地表达你所构思的模型，也可以在这些回归方程式的基础上，进行构思的模型，也可以在这些回归方程式的基础上，进行修改、扩充，衍生出适合要求的新的回归方程。修改、扩充，衍生出适合要求的新的回归方程。一、非线性回归模型一、非线性回归模型建模界面的左上部是建模原始数据的建模界面的左上部是建模原始数据的x-y x-y 散点分布图，可以根据数据点的散点分布图，可以根据数据点的分布状况，结合专业知识，选择合适的模型种类。分布状况，结合专业知识，选择合适的模型种类。右边是模型选择框：可右边是模型选择框：可以在此选择模型的种类。以在此选择模型的种类。左下左下“回归方程回归方程”旁

7、边旁边的编辑框中给出该方程的编辑框中给出该方程参数估计表达式，回归参数估计表达式，回归方程式下面是各个参数方程式下面是各个参数缺省初始值。缺省初始值。选定模型后，就可以直接点击右选定模型后，就可以直接点击右下部下部“参数估计参数估计”按钮，执行参按钮，执行参数估计运算，并得到试验数据拟数估计运算，并得到试验数据拟合当前回归方程的计算结果：左合当前回归方程的计算结果：左上部绘制出数据拟合经验曲线，上部绘制出数据拟合经验曲线，且叠加显示在原来原始数据的且叠加显示在原来原始数据的x-y x-y 散点分布图上面；右下部显示几散点分布图上面；右下部显示几个主要的拟合指标，即决定系数个主要的拟合指标，即决

8、定系数( (R R2 2) )、回归方程、回归方程F F 检验值及其显检验值及其显著水平。著水平。一、非线性回归模型n一元非线性回归模型一元非线性回归模型n在拟合过程中，可根据数据拟合图中实际观察值和拟合曲线的在拟合过程中，可根据数据拟合图中实际观察值和拟合曲线的拟合情况、确定系数拟合情况、确定系数R2 大小及显著水平高低来选择合适的模型，大小及显著水平高低来选择合适的模型，最后点击最后点击“输出结果输出结果”按钮，将详细结果输出到电子表格并返按钮，将详细结果输出到电子表格并返回编辑状态，返回的计算结果包括方差分析表、系数回编辑状态，返回的计算结果包括方差分析表、系数ci 的协方的协方差阵、系

9、数差阵、系数ci 的相关阵、参数拟合值及其标准误差、的相关阵、参数拟合值及其标准误差、t 测验值测验值和相应的显著水平，最后给出各样本因变量的观察值、拟合值、和相应的显著水平，最后给出各样本因变量的观察值、拟合值、拟合误差、标准残差、拟合误差、标准残差、cook 距离和杠杆率距离和杠杆率H，供进一步进行模，供进一步进行模型诊断使用。型诊断使用。n如需保存数据拟合结果图，可在图形上双击鼠标，这时会弹出如需保存数据拟合结果图，可在图形上双击鼠标，这时会弹出图形保存界面即可将图形保存下来。如需修改回归方程，可以图形保存界面即可将图形保存下来。如需修改回归方程，可以在回归方程编辑框中对回归方程式进行修

10、改。如果拟合效果不在回归方程编辑框中对回归方程式进行修改。如果拟合效果不好或拟合不成功，可以在参数初始值编辑框中修改有关待估参好或拟合不成功，可以在参数初始值编辑框中修改有关待估参数的初始值，然后再执行参数估计运算。数的初始值，然后再执行参数估计运算。一、非线性回归模型n一元非线性回归模型一元非线性回归模型n实例：实例：n先输入数据：行为样本，先输入数据：行为样本，列为变量；定义数据块时列为变量；定义数据块时要注意一元非线性回归只要注意一元非线性回归只允许定义允许定义2 列数据：第一列数据：第一列为自变量，第二列为因列为自变量，第二列为因变量。变量。n以测定的某种肉鸡在良好以测定的某种肉鸡在良

11、好生长条件下生长过程数据，生长条件下生长过程数据，建立建立Logistic 生长方程为生长方程为例。例。n定义数据块定义数据块(图阴影区图阴影区)。一、非线性回归模型n一元非线性回归模型一元非线性回归模型n实例：实例：n选择选择“数学模型数学模型一元非线性回归模型一元非线性回归模型”功能项，系统首先用直线功能项，系统首先用直线回归方程去拟合出当前数据，得到直线回归方程的拟合结果后，再回归方程去拟合出当前数据，得到直线回归方程的拟合结果后，再进入用户操作界面进入用户操作界面(图图)。一、非线性回归模型n一元非线性回归模型一元非线性回归模型n实例：实例：n如果两变量之间是直线关系，原始数据和理论曲

12、线的拟如果两变量之间是直线关系，原始数据和理论曲线的拟合得很好，确定系数较高，统计检验也达到显著水平，合得很好，确定系数较高，统计检验也达到显著水平，那么就可以当前结果作为最终结果，点击那么就可以当前结果作为最终结果，点击“输出结果输出结果”按钮，完成数据分析过程。按钮，完成数据分析过程。n如果原始数据如果原始数据x-y 散点分布图显示两者关系为非线性关散点分布图显示两者关系为非线性关系，则需要根据数据点的分布，选择适合的非线性模型。系，则需要根据数据点的分布，选择适合的非线性模型。如本例数据点的分布表明如本例数据点的分布表明2 个变量不是直线关系，而是个变量不是直线关系，而是呈呈Logist

13、ic 曲线形式，因此可选择曲线形式，因此可选择Logistic 曲线来拟合曲线来拟合(图图)。一、非线性回归模型选择选择Logistic 曲线后，回归方曲线后，回归方程编辑框中给出回归方程式和参程编辑框中给出回归方程式和参数初始值为。这时，点右下部数初始值为。这时，点右下部“参数估计参数估计”按钮，系统就根据按钮，系统就根据该回归方程式和系统给出的初值该回归方程式和系统给出的初值执行参数估计运算，并得到计算执行参数估计运算，并得到计算结果结果(图图)。一、非线性回归模型可以看出：当为如下理论回归模型时，观察值数可以看出：当为如下理论回归模型时，观察值数据点和拟合曲线高度吻合、确定系数据点和拟合

14、曲线高度吻合、确定系数R2 较大较大(可解可解释因变量变化的释因变量变化的99.44%)，回归方程统计检验达，回归方程统计检验达极显著水平极显著水平(p，=，)三个符号中的一个。三个符号中的一个。n最后一行必须是模型中各个参数的初始值。最后一行必须是模型中各个参数的初始值。三、数学规划n非线性规划非线性规划n例：经过试验，建立了玉米产量与氮例：经过试验，建立了玉米产量与氮x1、磷、磷x2和钾和钾x3关系的关系的肥料效应函数：肥料效应函数：y=532.015+25.733x1+31.118x2+16.322x3-0.682x1x1-1.071x2x2-0.565x3x3-0.0905x1x2+0

15、.148x1x3+0.0388x2x3n现计划种植玉米现计划种植玉米300亩，计划肥料投资亩，计划肥料投资4000元，氮肥价格为元，氮肥价格为0.5元元/500g，磷肥价格为，磷肥价格为0.4元元/500g，钾肥价格为，钾肥价格为0.32元元/500g，现需计算各个养分的用量及如何选择最佳配比。，现需计算各个养分的用量及如何选择最佳配比。n根据题意，其施肥的约束条件是以肥料成本投入为约束条件，根据题意，其施肥的约束条件是以肥料成本投入为约束条件，即即(0.5x1+0.4x2+0.32x3)*300-4000=0。此外各种肥料。此外各种肥料取值应大于、等于零。用非线性规划求解，其公式编辑定义如取

16、值应大于、等于零。用非线性规划求解，其公式编辑定义如下图。下图。三、数学规划n非线性规划非线性规划n根据以上约束条件和目标函数，在根据以上约束条件和目标函数，在DPS 数据处理平台上，按数据处理平台上，按上图格式编辑定义非线性规划的公式块，然后在菜单方式下执上图格式编辑定义非线性规划的公式块，然后在菜单方式下执行非线性规划功能，系统很快输出结果：行非线性规划功能，系统很快输出结果：n目标函数目标函数(产量产量)1067.27 斤斤/亩。亩。n施肥方案：氮肥用量施肥方案：氮肥用量11.70 斤斤/亩，磷肥亩，磷肥10.34 斤斤/亩，钾肥亩，钾肥10.45 斤斤/亩。亩。三、数学规划n投入产出分

17、析投入产出分析n投入产出分析是国民经济计划中常用的一种综合平衡方法，投入产出分析是国民经济计划中常用的一种综合平衡方法，其用途较为广泛。所谓投入产出分析，是指利用投入产出分其用途较为广泛。所谓投入产出分析，是指利用投入产出分析表构成一种经济学模型，对国民经济各个部门之间生产和析表构成一种经济学模型，对国民经济各个部门之间生产和消费的相互依赖关系进行定量研究和分析，以求得最优平衡消费的相互依赖关系进行定量研究和分析，以求得最优平衡和协调，实现真正的有计划按比例。和协调，实现真正的有计划按比例。n投入产出分析的基础是投入产出分析表，它模拟一个地区和投入产出分析的基础是投入产出分析表，它模拟一个地区

18、和一个国家生产部门之间、生产部门和最终需求之间的相互关一个国家生产部门之间、生产部门和最终需求之间的相互关系。表中各部门的相互关系通常用货币价值来表示，称为价系。表中各部门的相互关系通常用货币价值来表示，称为价值表。也有用物理量来表示的，称为实物表。值表。也有用物理量来表示的，称为实物表。三、数学规划n投入产出分析投入产出分析n数据编辑格式如下图阴影部分：其中数据编辑格式如下图阴影部分：其中a，b表示该列是属于哪一部类表示该列是属于哪一部类(a 表示第一部类，表示第一部类，b 表示第二部类表示第二部类)。最后一列是规划产值，如不作规划。最后一列是规划产值，如不作规划预测，可将该列改为最终产品小

19、计预测，可将该列改为最终产品小计(个人消费个人消费+社团消费社团消费+非生产性积非生产性积累累+生产性积累生产性积累)。图中所示例子。图中所示例子(单位：亿元单位：亿元)，最后一列是预测、规，最后一列是预测、规划的产值划的产值(即不等于个人消费、社团消费、非生产性积累、生产性积累即不等于个人消费、社团消费、非生产性积累、生产性积累这几列之和这几列之和)。三、数学规划n投入产出分析投入产出分析n执行投入产出分析得到结执行投入产出分析得到结果如右：果如右：分析结果中，由列昂惕夫逆阵可分析结果中，由列昂惕夫逆阵可知，当农业最终使用增加知，当农业最终使用增加1 亿元亿元时，农业总产值将增加时，农业总产

20、值将增加1.1151 亿元，轻工业增加亿元，轻工业增加0.0502 亿元，亿元，重工业增加重工业增加0.4359 亿元。列昂亿元。列昂惕夫系数矩阵其它数值的经济涵惕夫系数矩阵其它数值的经济涵义类推。义类推。通过列昂惕夫逆阵，还可计算出通过列昂惕夫逆阵，还可计算出影响力系数和感应度系数：从影影响力系数和感应度系数：从影响力系数可以看出，轻、重工业响力系数可以看出，轻、重工业部门的影响力较大；其中的重工部门的影响力较大；其中的重工业部门的感应度系数较大，表明业部门的感应度系数较大，表明该部门较易受其它部门的影响。该部门较易受其它部门的影响。应用投入产出表的分析，可以应用投入产出表的分析，可以得知两

21、大部类所占比例。这里得知两大部类所占比例。这里农业部门生产资料和消费资料农业部门生产资料和消费资料所占比重分别为所占比重分别为0.3564 0.3564 和和0.64360.6436；轻工业部门生产资料；轻工业部门生产资料和消费资料所占比重分别为和消费资料所占比重分别为0.3979 0.3979 和和0.60210.6021；重工业部门；重工业部门生产资料和消费资料所占比重生产资料和消费资料所占比重分别为分别为0.8280 0.8280 和和0.17200.1720。以及。以及劳动报酬和社会纯收入中生产劳动报酬和社会纯收入中生产资料和消费资料所占比重。资料和消费资料所占比重。三、数学规划n投入产出分析投入产出分析n最后，系统根据最终需求的变化预测各个部门的未来总产值的变化。最后，系统根据最终需求的变化预测各个部门的未来总产值的变化。