结构的稳定计算

1、123所谓结构的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。所谓结构的稳定性是指它所处的平衡状态的稳定性。球在三个位置都能球在三个位置都能处于平衡，但受到处于平衡，但受到干扰后表现不同：干扰后表现不同：如小球受到干如小球受到干扰后仍能恢复扰后仍能恢复到原先的平衡到原先的平衡位置，则称该位置，则称该状态为状态为稳定平衡稳定平衡如小球受到干如小球受到干扰后失去回到扰后失去回到原先的平衡位原先的平衡位置的可能性，置的可能性，则称该状态为则称该状态为不稳定平衡不稳定平衡如小球受到干如小球受到干扰后可停留在扰后可停留在任何偏移后的任何偏移后的新位置上，则新位置上，则称该状态为称该状态为随遇平衡随遇平衡4结构随荷

2、载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不结构随荷载逐渐增大可能由稳定的平衡状态转变为不稳定的平衡状态，称为稳定的平衡状态，称为失稳失稳。保证结构在正常使用的。保证结构在正常使用的情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。情况下处于稳定平衡状态是结构稳定分析的目的。结构的失稳类型结构的失稳类型5FP OFPl第一类失稳的基本特征第一类失稳的基本特征0 FPcrI 稳定稳定II 不稳定不稳定0 FP FPcr时，杆件仅产生压时，杆件仅产生压缩变形。轻微侧扰，杆件微缩变形。轻微侧扰，杆件微弯；干扰撤消，状态复原弯；干扰撤消，状态复原（平衡路径唯一）。（平衡路径唯一）。FP FPcr时，杆件既可保持时

3、，杆件既可保持原始的直线平衡状态，又可原始的直线平衡状态，又可进入弯曲平衡状态（平衡路进入弯曲平衡状态（平衡路径不唯一）。径不唯一）。完善体系完善体系结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载，点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载，称分支点失稳。称分支点失稳。 6发生第一类失稳的还有：发生第一类失稳的还有：qFPFP7l第二类失稳的基本特征第二类失稳的基本特征FPFP OFPcr初始缺陷使得开始加载杆件初始缺陷使得开始加载杆件便处于微弯状态，挠度引起便处于微弯状态，挠度引起

4、附加弯矩。随荷载增加侧移附加弯矩。随荷载增加侧移和荷载呈非线性变化，且增和荷载呈非线性变化，且增长速度越来越快。荷载达到长速度越来越快。荷载达到一定数值后，增量荷载作用一定数值后，增量荷载作用下的变形引起的截面弯矩的下的变形引起的截面弯矩的增量将无法再与外力矩增量增量将无法再与外力矩增量相平衡，杆件便丧失原承载相平衡，杆件便丧失原承载能力。能力。 非完善体系非完善体系8FPFPqFPFP9当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值点失稳（跳跃屈曲

5、）。点失稳（跳跃屈曲）。 扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征扁平拱式结构的跳跃失稳的基本特征FPllfFP OFPcr由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题10稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都稳定问题，它们都是

6、一个变形问题，稳定计算都必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超过临界状态之后的后屈曲平衡状态。过临界状态之后的后屈曲平衡状态。 11确定体系失稳时的位移形态所需要的独立的几何参数的数目确定体系失稳时的位移形态所需要的独立的几何参数的数目称为称为体系失稳的自由度体系失稳的自由度。 FPFPFP1213一、静力法一、静力法在原始平衡状态附近的新的位移状态上建立静力平衡方程，在原始平衡状态附近的新的位移状态上建立静力平衡方程，并以新位移形态取得非零解的条件确定失稳的临界荷载。并以新位移形态取得非零解的条件确定失稳的临界荷载。FPk lFPkEI1= 0

7、OM 0cossinRP lFlFklkFsinR 0sincosP lklF第一解：第一解：0 第二解：第二解： cosPklF FRyxOABAB14临界荷载：临界荷载：klF Pcr0 (1) 大挠度理论大挠度理论 FPFPcrI 稳定稳定II 不稳定不稳定(2) 小挠度理论小挠度理论 cosPklF klF P大、小挠度理论大、小挠度理论 临界荷载相同临界荷载相同150 OM)(sinPlF FRFPk l FPkl 0)cos(R lF RsinsinFkl Psincos1sinFkl yxOABAB160 ddPF 31sin)(sin 2332P1cr(sin)Fkl klFs

8、insin1cosP00.10.20.5360.421.370.6950.381.471.57FP/kl0.6950.5360.4150.10.20.3FP/klO0求极值点处的临界荷载求极值点处的临界荷载1.00(1) 大挠度理论大挠度理论17(2) 小挠度理论小挠度理论klklF 1PklF PcrAFPk l 0.10.200.0FP/kl0.20.40.60.81.01.00.80.60.40.21.21.4 1.60B18分析结论分析结论19第一类失稳常可用物理概念清晰的解析式表达，计算第一类失稳常可用物理概念清晰的解析式表达，计算较简单，有利于对影响临界荷载的各种因素形成直观较简单

9、，有利于对影响临界荷载的各种因素形成直观的认识。但计算出的临界荷载偏大，不安全。的认识。但计算出的临界荷载偏大，不安全。第一类失稳的临界荷载是第二类临界荷载的上限值，第一类失稳的临界荷载是第二类临界荷载的上限值，对因缺陷引起的第二类失稳问题常可以将第一类失稳对因缺陷引起的第二类失稳问题常可以将第一类失稳的临界荷载乘以折减系数，或对其表达式进行适当修的临界荷载乘以折减系数，或对其表达式进行适当修改，以求其临界荷载值，这便于设计应用。改，以求其临界荷载值，这便于设计应用。分析结论分析结论第一类失稳仍有其重要地位第一类失稳仍有其重要地位20FPcr 0Am06 )(PlEIhFlhEIF6 Pcr平

10、衡方程平衡方程特征方程特征方程特征根特征根llhEI1= EIEIFPFP FP lEI3 lEI3ABCDABCDAD06P lEIhF21FP2FPllFP2FP 0Bm 0Am0121 klyyyF)(P02222121 klyklyyFyFPP 0022221yyklFklFFklFPPPPFPcry1，y222 klklF5771423021.,PklFFF423021.),min(PPcrP 0222 klFklFFklFPPPPdet屈曲时可确定屈曲时可确定 )(.)(.PPPPPP21123670361FFFFFklFyy11.3610.36723lllkkFPkkFPy1y2

11、ABCDFRC=ky2FRB=ky1FyA=FPy1/lFyD=FPy2/lFxA=FPEI= EI= EI= FPcry1，y224022 PPPPFklFFFkl31klF PklF 2P321klFFF ),min(PPPcr121 yy121 yy11110221 yFyFklPP)(0 左CM0 右BM0221 yFklyF)(PP 002221PPPPyyFklFFFkl252627二、能量法二、能量法依据能量特征来确定体系失稳时的临界荷载的方法。依据能量特征来确定体系失稳时的临界荷载的方法。势能驻值原理势能驻值原理：弹性体系平衡的充分必要条件是任何可能的：弹性体系平衡的充分必要条

12、件是任何可能的位移和变形均使得总势能位移和变形均使得总势能 EP 取得驻值，即总势能的一阶变取得驻值，即总势能的一阶变分等于零（分等于零（EP =0）。）。该驻值条件等价于平衡条件该驻值条件等价于平衡条件 保证体系位变状态的稳定性，既要满足势能的驻值条件又要保证体系位变状态的稳定性，既要满足势能的驻值条件又要考察体系总势能的二阶变分状态：考察体系总势能的二阶变分状态： P2P0 0&EE 稳定平衡稳定平衡 P2P0 0&EE 随遇平衡随遇平衡 P2P0 0&EE 不稳定平衡不稳定平衡 28PPUUE 变形体系势能：变形体系势能：= 荷载势能荷载势能 + 变形势能变形势能P0 1 2(, ,)i

13、Eina 02211 nnaaEaaEaaEEPPPP),(naaaEE21PP 292211 hFhFUPPP)cos( 2262121 lEIkU 2621 )(PPPhFlEIUUE FPcrllhEI1= EIEIFPFP FP lEI3 lEI3ABCDABCDAD系统总势能系统总势能300 PElhEIF6 Pcr06 )(ddPPhFlEIE06dd22 hFlEIEPP FPcrllhEI1= EIEIFPFP FP lEI3 lEI3ABCDABCDAD表明势能为驻值且位移有非零解的能量特征与势表明势能为驻值且位移有非零解的能量特征与势能的二阶变分为零的内力准则在本质上是相同

14、的能的二阶变分为零的内力准则在本质上是相同的31 222122121lylyylyl )(2221211yyyyl )(P222121yykE 22P11221()Fyy yyl lllkkFPABCD kkFPy1y2EI= EI= EI= FPcr320221 yFyFklPP)(022 PPPPFklFFFkl P01 yE0221 yFklyF)(PP321klFFF ),min(PPPcr P02 yE31klF PklF 2P121 yy121 yy111133kkFPABCD 2kkFPy1y2EI= EI= EI= y1 1kkFPy234MEIy 35FPFPlMyEI )(

15、RPxlFyFM MFR一、静力法一、静力法yxOABAB36)(RxlEIFyy 2 )(sincosPRxlFFxBxAy 0 lB sin l lEIFP22lEIF crPFPFPlMFRyxOABAB37)(xlFyFyEI RP)(RxlEIFyy 2 )(sincosPRxlFFxBxAy 0 PRFFlA0 PRFFB FPl0lBlA sincosFPcrFPMFRyxOABAB38 00001001PR sin cosFFBAlll ll tan39 l y2= tan l 21920lEIF.crP 2270).(lEI 22325ly 1ly tan 2 ll y040

16、323lEIk lFPkEI1FPkyxFRl刚性杆刚性杆I1I2 =nI1ACBDFP kFR )(xFyFyEIRP MFPcr，和柱，和柱AB的计算长度的计算长度41xEIFyy12R 12EIFP xFFxBxAyPRsincos 边界条件边界条件: x = 0 时时 y = 0 x = l 时时 y = y = 0kFlFFlBRPR sin0 PR FFlB cos0 AFPkyxFR 42展开，得超越方程：展开，得超越方程：讨论：讨论：313 klEIlll)(tan 2122 )(PcrlEIF 21221701920).(.PcrlEIlEIF （1）如果）如果I2= 0，则

17、，则 k = 0 ll tan当当EI1为有限值时，为有限值时，l0，所以，所以 l tan2 min)(l（2）如果）如果I2= ，则，则 k = 0 ll tan43（3）如果）如果I2= I1 ，则，则 k = 3EI/l33 3)(tanlll 有讨论（有讨论（1）、（）、（2）知）知494571702. l令令33) ( tan)(llllf 则则l )(lf 所以所以212212Pcr421212).(.lEIlEIF 2 21.l 27.094.43.05.862.30.50.0432.212.20-0.024-0.52.01.6-34.544分析对称杆件的失稳变形形态分析对称杆

18、件的失稳变形形态FPFP由于荷载对称，所以失稳的位移形态也是对称或反对称的。由于荷载对称，所以失稳的位移形态也是对称或反对称的。FPFPFPFP实际结构中压杆的支承常是弹性的：实际结构中压杆的支承常是弹性的：45FPFPFPFPik2 FPFPFPFPik6 对称的失稳对称的失稳的位移形态的位移形态反对称失稳反对称失稳的位移形态的位移形态46当结构基础约束不足以完全阻止刚架柱底的转动时，应将固定当结构基础约束不足以完全阻止刚架柱底的转动时，应将固定支座改为弹性铰支座。弹性支承条件下压杆的临界荷载上限、支座改为弹性铰支座。弹性支承条件下压杆的临界荷载上限、下限可由概念分析得出。下限可由概念分析得

19、出。反对称情况，如刚架梁反对称情况，如刚架梁EI10, ,对应悬臂柱，得临界荷载下限：对应悬臂柱，得临界荷载下限：反对称情况，如刚架梁反对称情况，如刚架梁EI1,对对应滑动支座，得临界荷载上限：应滑动支座，得临界荷载上限：2122 )(PcrlEIF 212PcrlEIF 讨讨 论：论：212Pcr2122lEIFlEI )(刚架反对称临界荷载变化范围刚架反对称临界荷载变化范围：对称失稳临界荷载下限发生在对称失稳临界荷载下限发生在EI10时，压杆柱顶相当于铰链时，压杆柱顶相当于铰链支座，相应临界荷载大于反对称失稳时的临界荷载上限值，故支座，相应临界荷载大于反对称失稳时的临界荷载上限值，故刚架的

20、失稳只能是反对称的。刚架的失稳只能是反对称的。47工程中常见的变截面压杆有两类：阶形杆和截面连续变化工程中常见的变截面压杆有两类：阶形杆和截面连续变化杆。这两类杆或是稳定方程阶数过高，不易展开和求解，杆。这两类杆或是稳定方程阶数过高，不易展开和求解，或是形成变系数的挠曲线微分方程，常很难积分成为有限或是形成变系数的挠曲线微分方程，常很难积分成为有限形式，计算较为复杂。形式，计算较为复杂。lI1I2l2l1FPyxOFP以图示体系为例分段建立平衡微分方程：以图示体系为例分段建立平衡微分方程：)(0 1PlxyFyEI 0111)( 1PlxlyFyEI 0222设：设：121EIFP 222EI

21、FP 48平衡方程的解：平衡方程的解：积分常数由边界条件和两段连接点连续条件确定：积分常数由边界条件和两段连接点连续条件确定：xBxAy11cossin 1110121222111)cossin(tansinlllBlA xBxAy22cossin 222当当x = 0 时，时，y1 = 0；从而导出；从而导出 B1 = 0当当x = l 时，时， y20 ；导出；导出 A2 B2 tan2l = 0当当x = l1 时，时，y1 = y2 、 y1= y2导出导出012122221111)sincos(tancoslllBlA lI1I2l2l1FPyxOFP49由齐次方程非零解条件，令系数

22、行列式为零：由齐次方程非零解条件，令系数行列式为零：212211 ll tantan展开后求得特征方程展开后求得特征方程当当EI2=10EI1, l2= l1= 0.5l 时时,得最小根得最小根1l 1= 3.953 212211233259533lEIlEIF .).(Pcr50二、能量法二、能量法对变截面压杆或轴向荷载复杂情况用静力法确定临界荷对变截面压杆或轴向荷载复杂情况用静力法确定临界荷载比较繁杂。此时用能量法可取得较好效果。载比较繁杂。此时用能量法可取得较好效果。能量法的基本原理和步骤同于有限自由度体系稳定分析，能量法的基本原理和步骤同于有限自由度体系稳定分析，即利用势能驻值原理，在

23、势能的一阶变分等于零的情况即利用势能驻值原理，在势能的一阶变分等于零的情况下，根据位移取非零解的条件确定荷载特征值，临界荷下，根据位移取非零解的条件确定荷载特征值，临界荷载是所有特征值中的最小值。载是所有特征值中的最小值。压杆的失稳曲线可以用一组满足边界条件的基函数线性压杆的失稳曲线可以用一组满足边界条件的基函数线性组合而成。其组合系数称为广义坐标，广义坐标个数为组合而成。其组合系数称为广义坐标，广义坐标个数为自由度数。自由度数。)(xayinii 151压杆在挠曲平衡状态时压杆在挠曲平衡状态时若有多个沿轴向作用不同位置的荷载，则荷载势能若有多个沿轴向作用不同位置的荷载，则荷载势能应变能应变能

24、荷载势能荷载势能 lniiixxaEI02121d)( PPFU lxy0221d)( lniiixxa02121d)( lxyEIU0221d)(PP1miiiUF 52体系势能体系势能xxxEIkjliijd)()( 0 xxxFsjliijd)()(P 0 njjijijask10)(),(ni21 由体系势能的驻值条件由体系势能的驻值条件0 iaEP lniiixxaEIUUE02121d)(PP lniiixxaF02121d)(P 53临界荷载的上限临界荷载的上限 00021212222111211212222111211nnnnnnnnnnnnnaaassssssssskkkkk

25、kkkk 0 aSK 0 SK),min(PPP1PcrnFFFF2 由于压杆失稳的位移曲线一般很难精确预计和表达，用假设的位移曲线由于压杆失稳的位移曲线一般很难精确预计和表达，用假设的位移曲线通过能量法求得的临界荷载往往是近似解，其近似程度取决于选取位移通过能量法求得的临界荷载往往是近似解，其近似程度取决于选取位移曲线与真实曲线的吻合程度。所以恰当选取位移函数是成功应用能量法曲线与真实曲线的吻合程度。所以恰当选取位移函数是成功应用能量法的关键。的关键。54 niiiniiixaxlxay111)()( )(xlxay 212132xxlx )( xlx621 )( FPl21920lEIF.

26、crP )()(xlxx21 FP yxOAB5521920lEIF.crP 011111 ask)(3101114EIlxxxEIkl d)()( 152510111lFxxxFslPPd)()( 2030lEIF.crP 01111sk56)()(xlxaxlxay 3221 0 SK29220lEIF.crP 0105/910/10/15/28 . 444476655 4 4 3 lFlFlFlFEIlEIlEIlEIlPPPP21920lEIF.crP 57 niiliay12121)(cos( )cos(lxay211 xyd)(d221 )(xlq xyxlqUld)(P 0221

27、lqxdx yxO38377lEIq.cr 583421026421lEIaxyEIUl d)(xyxlqUld)(P 0221324221 qa)(PP3246423421 qlEIaUUE0164321234aqlEI)( 016432234 qlEI32988lEIq.cr38377lEIq.cr 59)cos()cos(lxalxay2312121 32242140264816421lEIaaxyEIUl d)(xyxlqUld)(P 022122221212324943324aaaaq PPUUE600431643221234qaaqlEI 01aEP0164932814322341

28、aqlEIqa 02aEP016493281434316432234234qlEIqqqlEI 6138387lEIq.cr 62FPlFP214lxlxay)( 2124lxlay)( 218lay 321023221lEIaxyEIUl d)(laFxyFUl21023821PPPd)( yxOAB63laFlEIaE383221321PP 031664131 alFlEIaEPPdd212lEIF PcrxFEIEIMy21H )(H16422lxEIFy2/ lx 64EIlFxyEIUl96213022Hd)( 2520296021)(d)(HPPPEIlFFxyFUl2Pcr10l

29、EIF )(PHPP253296096EIlFEIlFUUE0HPddFE65lxay sin 2228696. 9lEIlEIFPcrlxlay coslxlay sin2 2424lFlEIlaUUE PPPPd0dEa 66niilxiay112 )(sin213400293402d21alEIxyEIUl.)( 212P02PP4d21alFxyFUl )()/()/()(20441lxlxIxIFPlyxOlxay sin122Pcr8681lEIF . AB67 lxyEIU0221d)(2PP01d2()lUFyx lxalxay 321sinsin2Pcr21 85.EIFl

30、22212134046837193402aaaalEI. 2221294aalF P686970yyxxy-y x-x 71QMyyy 222222xyxyxyQMdddddd EIMxyM 22ddxMGAkGAFkxyQddddQ Qdd 122 xyQ22xMGAkdd 截面形状系数截面形状系数矩形截面为矩形截面为1.2圆形截面为圆形截面为1.11一、剪切变形对临界荷载的影响一、剪切变形对临界荷载的影响xdQdy QFQF微元体分析微元体分析剪切变形剪切变形7201 yEIFyGAkFPP)(EIFGAkFPP 112 yFMP 22xMGAkEIMydd FPFRyxO73PePecr

31、PFGAkFlEIGAklEIF112222 22lEIF ePPe111cF 实体压杆实体压杆中剪力对临界荷载的影响很小，可略中剪力对临界荷载的影响很小，可略去不计。但对去不计。但对组合压杆组合压杆必须考虑剪切影响必须考虑剪切影响PePe1FF 741 QF1 QFlPFPFdb11iiiiEAlF211N d11 tan二、缀条式组合压杆的临界荷载二、缀条式组合压杆的临界荷载)tan/( db x75设设 Ap-水平缀条截面积水平缀条截面积. .qEAdEAb sincos)(P221111 )tan/( db 211cossintanPqAAEdPFPFdbxAq-倾斜缀条截面积倾斜缀条

32、截面积. .76 2qp111cossintanAAE若略去横杆影响，两侧都有缀条，则上式为若略去横杆影响，两侧都有缀条，则上式为: : 2q211cossinePePcrPAEFFF22)(lEI 2q22211cossinAlI77若用若用r 代表两肢杆截面对整个截面形心轴代表两肢杆截面对整个截面形心轴 x 的回转半径的回转半径, ,即即22ArI 并且并且, ,一般一般为为30306060, ,故可取故可取27cossin22并引入长细比并引入长细比rl /2271 qAA 若采用换算长细比若采用换算长细比h , ,则有则有qhAArl272 上式既是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算

33、长细上式既是钢结构规范中推荐的缀条式组合压杆换算长细比的公式比的公式. .78d11 tan sEIMd211 1/21/21/21/2三、缀板式组合压杆的临界荷载三、缀板式组合压杆的临界荷载bdEIbdEId122423 111/21/21/21/2IbId79bdePePcrPIbdIdEFFF122412ePdcrPFF22020 2028301241 dePdePePcrP.FIdEFFF8020220 d0 rl220d 81四、提高临界荷载值的措施四、提高临界荷载值的措施 为了提高压杆承载能力，必须综合考虑杆长、支承、截为了提高压杆承载能力，必须综合考虑杆长、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影响。可能的措施有以下面的合理性以及材料性能等因素的影响。可能的措施有以下几方面：几方面：（1）尽量减少压杆杆长）尽量减少压杆杆长 对于细长杆，其临界对于细长杆，其临界荷载与杆长平方成反比。荷载与杆长平方成反比。因此，减