第六章状态反馈与状态观测器

1、1第六章第六章 状态反馈和状态观测器状态反馈和状态观测器Modern Control Theory2目前为止，我们已经：目前为止，我们已经： 建立了系统的状态空间模型建立了系统的状态空间模型 提出了基于状态空间模型的系统的运动分析提出了基于状态空间模型的系统的运动分析 探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性探讨了系统的性能：稳定性、能控性、能观性“认识了世界认识了世界” 如何来如何来“改变改变世界世界”？！？！设计控制系统！设计控制系统！系统的控制方式系统的控制方式-反馈？：开环控制、闭环控制反馈？：开环控制、闭环控制第六章第六章 状态反馈和状态观测器状态反馈和状态观测器3第六章第六章 状态

2、反馈和状态观测器状态反馈和状态观测器控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征控制系统的动态性能，主要由其状态矩阵的特征值（即闭环极点）决定。值（即闭环极点）决定。基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈基于状态空间表达式，可以通过形成适当的反馈控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有控制，进而配置系统的极点，使得闭环系统具有期望的动态特性。期望的动态特性。经典控制：经典控制：只能用系统输出作为反馈控制器的输入；只能用系统输出作为反馈控制器的输入；现代控制：现代控制：由于状态空间模型刻画了系统内部特征，由于状态空间模型刻画了系统内部特征，故而还可用系统内部状态作为反馈控制器的输入。故而还可

3、用系统内部状态作为反馈控制器的输入。根据根据用于控制的用于控制的系统信息系统信息：状态反馈、输出反馈：状态反馈、输出反馈4本章主要内容本章主要内容状态反馈与输出反馈状态反馈与输出反馈极点配置问题极点配置问题状态观测器的设计状态观测器的设计第六章第六章 状态反馈和状态观测器状态反馈和状态观测器56.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈一、状态反馈1、定义：将系统的每一个状态变量乘以相应 的反馈系数，然后反馈到输入端， 与参考输入相加形成控制律，作为 受控系统的控制输入。给定线性定常被控系统： x = Ax+Buy = Cx+ Du选取状态反馈控制律为： u = v-Kx状态反馈（增状

4、态反馈（增益）矩阵益）矩阵rn参考输入，参考输入，r1 维矩阵维矩阵 66.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈 代入可得，状态反馈系统：代入可得，状态反馈系统：x =(A-BK)x+Bvy =(C-DK)x+Dv2 2、基本结构、基本结构闭环状态反馈系统闭环状态反馈系统原系统原系统Kxvu状态反馈控制律：状态反馈控制律：76.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈x = (A-BK)x+Bvy = Cx若控制输入不直接作用到输出，即若控制输入不直接作用到输出，即D=0，则：，则： 比较开环系统和闭环系统，可见：比较开环系统和闭环系统，可见：状态反馈阵状态反馈阵K的引入，

5、并不增加系统的维数，但的引入，并不增加系统的维数，但通过通过K的选择，可以改变闭环系统的特征值，从的选择，可以改变闭环系统的特征值，从而使系统达到所要求的性能而使系统达到所要求的性能.此时对应的传递函数矩阵为：此时对应的传递函数矩阵为： BBKAsICsGk10)(BKAIa对应特征方程：对应特征方程：86.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈二、输出反馈二、输出反馈1 1、定义：、定义：将系统的输出量乘以相应的系数反将系统的输出量乘以相应的系数反 馈到输入端与参考输入相加，其和馈到输入端与参考输入相加，其和 作为受控系统的控制输入。作为受控系统的控制输入。2、基本结构（控制输入不

6、直接作用到输出，即（控制输入不直接作用到输出，即D=0）Hyvu输出反馈控制输出反馈控制律为律为:输出反馈系统输出反馈系统输出反馈矩阵输出反馈矩阵rm用输出用输出信号信号96.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈输出反馈系统的状态空间表达式为输出反馈系统的状态空间表达式为 ：HyvBAxBuAxxCxy BvxBHCABHCxBvAx 输出反馈中的输出反馈中的 HC 与状态反馈中的与状态反馈中的 K 相当；相当； 但但 H可供选择的自由度远比可供选择的自由度远比 K 小（因小（因m小于小于n）；）； 输出反馈一般只能相当于输出反馈一般只能相当于部分状态反馈部分状态反馈。 只有当只有

7、当 HC=K时，输出反馈等同于全状态反馈。时，输出反馈等同于全状态反馈。对应的传递函数矩阵为：对应的传递函数矩阵为：Hyvu106.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈 在不增加补偿器的条件下，输出反馈在不增加补偿器的条件下，输出反馈 改变系统性能的效果不如状态反馈改变系统性能的效果不如状态反馈 好，不能任意配置系统的全部特征值；好，不能任意配置系统的全部特征值；输出反馈在技术实现上很方便；输出反馈在技术实现上很方便； 而状态反馈所用的系统状态可能不能直接而状态反馈所用的系统状态可能不能直接 测量得到（需要状态观测器重构状态）。测量得到（需要状态观测器重构状态）。优点优点缺点缺点与

8、状态反馈相比较，输出反馈：与状态反馈相比较，输出反馈： （输出反馈只是状态反馈的一种特例，它能（输出反馈只是状态反馈的一种特例，它能达到的系统性能，状态反馈一定能达到；反之达到的系统性能，状态反馈一定能达到；反之则不然。）则不然。）11引入状态反馈和输出反馈后，引入状态反馈和输出反馈后，系统的性能发生什么变化？系统的性能发生什么变化？6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈126.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈三、闭环系统的能控性与能观性三、闭环系统的能控性与能观性2 2、定理：、定理：输出反馈不改变受控系统的能控输出反馈不改变受控系统的能控 性和能观性。性和能观性。1

9、1、定理：、定理：状态反馈不改变受控系统的能控状态反馈不改变受控系统的能控 性；但不保证系统的能观性不变性；但不保证系统的能观性不变。证明思路：证明思路： 引入反馈前、后的能控性和能观性引入反馈前、后的能控性和能观性 判别矩阵；判别矩阵； 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。 （过程略）（过程略）状态反馈可以任意改变系统传函的极点，但不能改变状态反馈可以任意改变系统传函的极点，但不能改变其零点，故可能出现零极点相消，导致能观性的改变。其零点，故可能出现零极点相消，导致能观性的改变。13例例6.1、试分析引入状态反馈试分析引入状态反馈 前后系统的能控前后系统的能控性和能观

10、性。性和能观性。xyuxx10 100110.20110 rankAbbrank能控能控6.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈20110rankCACrank能观能观解：解： 1）判断原系统的能控性，能观性。）判断原系统的能控性，能观性。01K14Kxvu01K2）引入状态反馈：）引入状态反馈：bVxbKAx)(.Cxy 则：则：可得：可得：20110 rankbAbrank能控能控6.1 6.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈10010rankCACrank不能观！不能观！引入状态反馈引入状态反馈后出现了零极后出现了零极点对消。点对消。则：则：156.1 6.1 状态反馈

11、和输出反馈状态反馈和输出反馈总结：总结：状态反馈状态反馈 效果佳效果佳输出反馈输出反馈 实现方便实现方便 但能力有限但能力有限都不改变都不改变系统维数系统维数不改变不改变系统的系统的能控性能控性不改变不改变系统的系统的能控性能控性和能观和能观性性（因为两种（因为两种反馈形式均反馈形式均未增加新的未增加新的状态变量）状态变量）16 系统性能系统性能：稳态性能和动态性能：稳态性能和动态性能 稳态性能：稳定性、静态误差稳态性能：稳定性、静态误差 动态性能：调节时间、响应速度动态性能：调节时间、响应速度. 影响系统稳定性、动态性能的因素影响系统稳定性、动态性能的因素： 极点位置（系统矩阵的特征值）极点

12、位置（系统矩阵的特征值） 通过反馈控制器的设计，可使得闭环系通过反馈控制器的设计，可使得闭环系统的极点位于预先给定的期望位置。统的极点位于预先给定的期望位置。6.2 6.2 极点配置问题极点配置问题176.2 6.2 极点配置问题极点配置问题定义：通过选择反馈增益矩阵定义：通过选择反馈增益矩阵K, ,将闭环系统的将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。得所希望的动态性能。极点配置的方法极点配置的方法：一一、采用状态反馈、采用状态反馈()()定理：线性定常系统可通过线性定理：线性定常系统可通过线性状态反馈状态反馈 任意地任意

13、地配置其配置其全部极点全部极点的的充要条件充要条件 是：此是：此被控系统状态完全能控被控系统状态完全能控。186.2 6.2 极点配置问题极点配置问题()()方法：方法： 单输入单输出线性定常系统的状态方程为： 若线性状态反馈控制律为：极点配置状态反馈增益阵极点配置状态反馈增益阵K的设计步骤为：的设计步骤为：( (1)1)、判断系统状态的能控性、判断系统状态的能控性（极点配置可解的前提条（极点配置可解的前提条件）。件）。(2)(2)、列写系统、列写系统矩阵矩阵A A的特征多项式的特征多项式 确定出的确定出的 值。值。x = Ax +Buu = v -Kx120,naaa196.2 6.2 极点

14、配置问题极点配置问题( (3)3)、寻找使系统状态方程变换为能控标准形、寻找使系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵的变换矩阵P P，若给定的状态方程已是能控标，若给定的状态方程已是能控标准型，则：准型，则：P=IP=I。(4)(4)、写出、写出期望的特征多项式期望的特征多项式 并确定出并确定出 的值。的值。110,naaaPKK Paaaaaann1*11*10*0(5)(5)、求出变换前系统的状态反馈增益矩阵、求出变换前系统的状态反馈增益矩阵K: : *0*11*1*2*1*)()(aaaannnn（）xPx1K206.2 6.2 极点配置问题极点配置问题例例6.2、 已知系统状态方程为已

15、知系统状态方程为试设计状态反馈控制器，使闭环极点为试设计状态反馈控制器，使闭环极点为 。010001100021 xxu2,11 j 解：（解：（1）判断系统能控性）判断系统能控性001013124c2QBABA B3cranknQ系统状态完全能控，所以可以采用状态反馈进行极点的任意配置。系统状态完全能控，所以可以采用状态反馈进行极点的任意配置。 （2）系统的特征多项式为）系统的特征多项式为321001132002IA（3）根据给定的期望闭环极点值，得到期望的特征多项式）根据给定的期望闭环极点值，得到期望的特征多项式464)1)(1)(2()(23jjf216.2 6.2 极点配置问题极点配置

16、问题特征多项式的系数为特征多项式的系数为 （4）根据）根据 可求得可求得441K（5）计算能控标准形变换矩阵）计算能控标准形变换矩阵其逆其逆 1*11*10*0nnaaaaaaK（第四章能控标准形）xPx112110 0 00 1npbAbA bA b1111nAPAPPP226.2 6.2 极点配置问题极点配置问题其逆其逆 因而，所要确定的反馈增益阵：因而，所要确定的反馈增益阵： （第四章能控标准形）xPx1236.2 6.2 极点配置问题极点配置问题注意：注意：1 1、选择期望极点是一个确定综合指标的复杂问、选择期望极点是一个确定综合指标的复杂问 题，应注意：题，应注意： (1)(1)、对

17、一个、对一个n n维系统，必须指定维系统，必须指定n n个实极点或个实极点或 成对的共轭极点；成对的共轭极点； (2)(2)、极点位置的确定要充分考虑它们对系统、极点位置的确定要充分考虑它们对系统 性能的主导影响及其与系统零点分布状性能的主导影响及其与系统零点分布状 况的关系；同时还要兼顾系统抗干扰性况的关系；同时还要兼顾系统抗干扰性 和对参数漂移低敏感性的要求。和对参数漂移低敏感性的要求。2 2、对于单输入系统，只要系统能控必能通过状、对于单输入系统，只要系统能控必能通过状 态反馈实现闭环极点的任意配置，而且不态反馈实现闭环极点的任意配置，而且不影影 246.2 6.2 极点配置问题极点配置

18、问题 响原系统零点的分布。但若故意制造零极点响原系统零点的分布。但若故意制造零极点 对消，则此时闭环系统是不能观的。对消，则此时闭环系统是不能观的。 3、以上原理同样适用于多输入系统，但具体设、以上原理同样适用于多输入系统，但具体设 计较困难。计较困难。 4、对于、对于低阶系统（低阶系统（n n33），求解状态反馈阵），求解状态反馈阵K K 时，时，并不一定要进行能控标准型的变换并不一定要进行能控标准型的变换； 可以可以直接计算状态反馈后的特征多项式直接计算状态反馈后的特征多项式 （其（其系数均为系数均为k k的函数），然后的函数），然后与闭环系统希望的与闭环系统希望的 特征多项式的系数相比较

19、特征多项式的系数相比较，确定出矩阵，确定出矩阵K K。 25例例6.3 考虑线性定常系统考虑线性定常系统 x = Ax +Bu0100001,01561 AB希望使该系统的闭环极点为希望使该系统的闭环极点为s = -2j4和和s = -10。试设计状态反馈增益矩阵试设计状态反馈增益矩阵K。6.2 6.2 极点配置问题极点配置问题利用状态反馈控制利用状态反馈控制 u = v -Kx260100001,01561 AB解：能控性矩阵为解：能控性矩阵为0010161631c2QB AB A B3cranknQ故系统状态完全能控，所以可以采用状态反馈进行极点的故系统状态完全能控，所以可以采用状态反馈进

20、行极点的任意配置。任意配置。 方法方法1：原被控系统的特征方程为：原被控系统的特征方程为：6.2 6.2 极点配置问题极点配置问题27期望的特征方程为：期望的特征方程为：因为原系统为能控标准型，可得：因为原系统为能控标准型，可得： 200 1 60 5 146 199 55 8K6.2 6.2 极点配置问题极点配置问题KIKPKK28方法方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为：设期望的状态反馈增益矩阵为：123kkkK8,55,199321kkk引入反馈后：引入反馈后：对应闭环系统的特征方程为：对应闭环系统的特征方程为：期望的特征方程为：期望的特征方程为：6.2 6.2 极点配置问题极点配置问题相

21、应有：相应有：比较系数，所以：比较系数，所以：29二、输出反馈实现极点配置二、输出反馈实现极点配置输出反馈状态微分输出反馈状态微分 处处CxyhyBuAxx ,.CxyBuxhCAx ,)(.x 6.2 6.2 极点配置问题极点配置问题BA1/sChuy-+.x.xx x30输出反馈至参考输入的极点配置：输出反馈至参考输入的极点配置：引入输出反馈：引入输出反馈：(),xABfC xBvyCxBA1/sCfu-+yx x6.2 6.2 极点配置问题极点配置问题31注意：关于输出反馈，有如下定理：注意：关于输出反馈，有如下定理： 定理：对完全能控的单入单出系统，定理：对完全能控的单入单出系统，不能

22、不能采用输出反馈采用输出反馈来实现闭环系统来实现闭环系统极点的任意极点的任意配置配置。 定理：对完全能控的单入单出系统，能采定理：对完全能控的单入单出系统，能采用输出反馈来实现闭环系统极点的任意配用输出反馈来实现闭环系统极点的任意配置的充要条件：置的充要条件： 带带n-1阶的动态补偿器：引入的动态子系统，阶的动态补偿器：引入的动态子系统，与被控系统间串联或反馈连接，通过增加系统与被控系统间串联或反馈连接，通过增加系统零极点来改变根轨迹的走向。零极点来改变根轨迹的走向。 原被控系统完全能观原被控系统完全能观6.2 6.2 极点配置问题极点配置问题326.3 6.3 状态观测器状态观测器状态观测器

23、状态观测器状态估计器状态估计器状态重构状态重构nRxnx R原系统状态：原系统状态：估计状态：估计状态： 状态观测器状态观测器 问题的提出：问题的提出： 极点的任意配置离不开全状态反馈；极点的任意配置离不开全状态反馈； 而系统的状态变量并不都是易于直接检测得到而系统的状态变量并不都是易于直接检测得到 的，有些甚至根本无法检测的，有些甚至根本无法检测状态观测或状状态观测或状态重构问题态重构问题336.3 6.3 状态观测器状态观测器带观测器的闭环系统带观测器的闭环系统b1/SCA状态观测器状态观测器k-.xxuyxv原系统 观测器观测器以原系统的输入以原系统的输入u和输出和输出y为其输入量为其输

24、入量； 观测器的状态观测器的状态 ，应以足够快的速度接近实际，应以足够快的速度接近实际 原系统的状态原系统的状态 ，即满足，即满足 。1、基本原理、基本原理x x0limxxt342、状态观测器的构成、状态观测器的构成 原系统：原系统：模拟系统模拟系统：由于：实际中很难做到模拟系统与原系统的初由于：实际中很难做到模拟系统与原系统的初 始条件完全一致，即始条件完全一致，即 存在初始误差存在初始误差 存在估计误差存在估计误差cxyBuAxx . xcyBuxAx)()(00txtx0 xx6.3 6.3 状态观测器状态观测器为了消除误差，在观测器中引入原系统和模拟系统输为了消除误差，在观测器中引入

25、原系统和模拟系统输出的差值进行反馈。出的差值进行反馈。35x1/Su+1/S+G.x-y观测器部分观测器部分.xxy6.3 6.3 状态观测器状态观测器+xcyyyGBuxAx) (原系统366.3 6.3 状态观测器状态观测器xcyyyGBuxAx) (进而，状态观测器的状态空间表达式为：进而，状态观测器的状态空间表达式为：cxy xcyGyBuxGcAxccxGBuxAx)()(-观测器的系统阵观测器的系统阵-观测器的输出反馈阵观测器的输出反馈阵GcAmnRG3、状态观测器的设计、状态观测器的设计376.3 6.3 状态观测器状态观测器)0( )0() )()(xxexxGcAxxtGcA

26、结论：结论：满足估计误差衰减至零的条件是：矩阵满足估计误差衰减至零的条件是：矩阵 的的特特征值具有负实部征值具有负实部，且，且距虚轴越远距虚轴越远则观测器的状态则观测器的状态逼近逼近实际状态实际状态就越快就越快。所以，状态观测器的设计过程是：所以，状态观测器的设计过程是： 人为根据需要确定状态观测器的极点位置，反过人为根据需要确定状态观测器的极点位置，反过 来确定状态观测器的输出反馈阵来确定状态观测器的输出反馈阵G的取值。的取值。GcA386.3 6.3 状态观测器状态观测器定理：定理：若系统若系统 (A, B, C) (1) 完全能观完全能观-充分条件；充分条件；或者或者 (2) 不能观部分

27、是渐近稳定不能观部分是渐近稳定-充要条件；充要条件；均可用如下的全维观测器对原状态进行重构：均可用如下的全维观测器对原状态进行重构：GyBuxGcAx)(mnRG适当选取适当选取但，注意：但，注意：观测器的观测器的极点可以任意配置的充要条件极点可以任意配置的充要条件为：为： 原被控系统状态原被控系统状态完全能观完全能观。39方法一：方法一：验证原系统的能观性。验证原系统的能观性。观测器的特征多项式：观测器的特征多项式：希望的闭环系统的特征多项式：希望的闭环系统的特征多项式： 比较两者的系数，确定比较两者的系数，确定G。*0*11*1*2*1*)()(aaaannnn （）6.3 6.3 状态观

28、测器状态观测器nmmnggggG1111mnRG状态观测器设计步骤状态观测器设计步骤（求解输出反馈阵（求解输出反馈阵G）：）：406.3 6.3 状态观测器状态观测器方法之二：方法之二：( (1)1)、判断系统状态的能观性、判断系统状态的能观性 (2)(2)、列写原系统、列写原系统矩阵矩阵A A的特征多项式的特征多项式 确定出的确定出的 值。值。120,naaa( (3)3)、确定使系统状态方程变换为能观标、确定使系统状态方程变换为能观标准形的变换矩阵准形的变换矩阵T T。若给定的状态方程。若给定的状态方程已是能观标准型，则已是能观标准型，则: :T=IT=I。xTx 416.3 6.3 状态

29、观测器状态观测器(4)(4)、由状态观测器的设计极点确定观测器的、由状态观测器的设计极点确定观测器的期期 望特征多项式：望特征多项式： 并确定出并确定出 的值。的值。110,naaaGTGTnnaaaaaaT1*11*10*0(5)(5)、求出输出反馈增益矩阵、求出输出反馈增益矩阵G: : *0*11*1*2*1*)()(aaaannnn（）G426.3 6.3 状态观测器状态观测器例例6.3 已知系统已知系统101, 21001 xxu yx设计状态观测器使其极点为设计状态观测器使其极点为10,10解：解：方法一方法一：（：（1）检验可观性）检验可观性2120oCQCA满秩，系统可观，可构造

30、观测器。满秩，系统可观，可构造观测器。（2）原系统特征多项式为：）原系统特征多项式为：21 00IA（3）确定将系统化为能）确定将系统化为能观标准型的变换矩阵观标准型的变换矩阵（第四章知识，过程略）（第四章知识，过程略）436.3 6.3 状态观测器状态观测器（4）根据期望极点得期望特征多项式）根据期望极点得期望特征多项式（5）求出反馈阵）求出反馈阵G（6）观测器方程为：）观测器方程为： 21 00IA2110021ggG比较特征多项式系数，可得比较特征多项式系数，可得4421ggG令1005 .6021ggG2212) 12(ggg又，根据期望极点得到的期望特征多项式为：又，根据期望极点得到

31、的期望特征多项式为：比较特征多项式系数，比较特征多项式系数，可得可得观测器的特征多项式为：观测器的特征多项式为：方法二：方法二：检验能观性（略）检验能观性（略）两种方法，结果相同。两种方法，结果相同。456.4 采用状态观测器的状态反馈系统采用状态观测器的状态反馈系统 带有全维状态观测器的状态反馈系统如图所示。带有全维状态观测器的状态反馈系统如图所示。 带有渐近状态观测器的状态反馈系统带有渐近状态观测器的状态反馈系统 46 设能控且能观的被控系统设能控且能观的被控系统 的状态空间表达式为的状态空间表达式为 o()A,B,CyxAxBuCx(66) 渐近状态观测器的状态方程为渐近状态观测器的状态

32、方程为 ()xAGC xGyBu(67) 利用观测器的状态估值利用观测器的状态估值 所实现的状态反馈控制律为所实现的状态反馈控制律为 x (68) uvFx 将式（将式（68）代入式（）代入式（66）、式（）、式（67）得整个闭环系统的状）得整个闭环系统的状态空间表达式为态空间表达式为 47()yxAxBFxBvxAGCBF xGCxBvCx（69） 即 xABFxBvGCAGCBFxBxxyC0 x(70) 这是一个2n维的复合系统。为便于研究复合系统的基本特性，对式(5-70)进行线性非奇异变换 48nnn I0 xxIIxxx (71) 则 xABFBFxBv0AGCxx0 xxxyC0

33、 xx（72） 式（式（7272）表明，带渐近状态观测器的状态反馈闭环系统不完全）表明，带渐近状态观测器的状态反馈闭环系统不完全能控，能控，状态观测误差是不能控的状态观测误差是不能控的。控制信号不会影响状态重构。控制信号不会影响状态重构误差的特性，只要将误差的特性，只要将A A- -GCGC的特征值均配置在复平面的左半开平的特征值均配置在复平面的左半开平面的适当位置，观测误差总能以期望的收敛速率趋于零，这正面的适当位置，观测误差总能以期望的收敛速率趋于零，这正是渐近观测器的重要性质。是渐近观测器的重要性质。49 由于线性变换也不改变系统的特征值，根据式（72）可得2n维复合系统的特征多项式为

34、由于传递函数阵在线性非奇异变换下保持不变，因此，可据式（72）求2n维复合系统的传递函数阵为 )()()(F11FGsssssnnnWBBFAIC0BGCAI0BFBFAI0CW 2n维复合系统的传递函数阵等于直接状态反馈闭环系统的传递函数阵，即观测器的引入不改变直接状态反馈控制系统的传递函数矩阵。 50()()()()nnnnssssIABFBF0IAGCIABFIAGC (73) 式（73）表明, 由观测器构成状态反馈的2n维复合系统，其特征多项式等于矩阵A-BF的特征多项式 与矩阵A-GC的特征多项式 的乘积。即2n维复合系统的2n个特征值由相互独立的两部分组成：一部分为直接状态反馈系统

35、的系统矩阵A-BF的n个特征值；另一部分为状态观测器的系统矩阵A-GC的n个特征值。复合系统特征值的这种性质称为分离特性分离特性。 ()nsIABF()nsIAGC51 只要被控系统只要被控系统 能控能观，则用状态观测能控能观，则用状态观测器估计值形成状态反馈时，可对器估计值形成状态反馈时，可对 的状态反馈的状态反馈控制器及状态观测器分别按各自的要求进行控制器及状态观测器分别按各自的要求进行独立设计独立设计，即先按闭环控制系统的动态要求确定即先按闭环控制系统的动态要求确定A-BF的特征值，的特征值，从而设计出状态反馈增益阵从而设计出状态反馈增益阵F；再按状态观测误差趋；再按状态观测误差趋于零的

36、收敛速率要求确定于零的收敛速率要求确定A-GC的特征值，从而设计出的特征值，从而设计出输出偏差反馈增益矩阵输出偏差反馈增益矩阵G;最后，最后，将两部分独立设计的将两部分独立设计的结果联合起来，合并为带状态观测器的状态反馈系统。结果联合起来，合并为带状态观测器的状态反馈系统。)(oCB,A,)(oCB,A,52【例】被控系统 的状态空间表达式为 o()A,B,C1300111 1uy xxx试设计极点为-3,-3的全维状态观测器，构成状态反馈系统，使闭环极点配置为 和 。 1j 1j 解 若此被控系统 能控能观，则可分别独立设计状态反馈增益阵F和观测器偏差反馈增益矩阵G。 o()A,B,C53 解 (1) 03rankrank()rank211cQnBAB所以被控系统状态完全能控能观，即可通过状态反馈任意配置闭环系统极点，也可设