常数项级数的基本概念和性质

1、无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数傅氏级数傅氏级数常数项级数的 基本概念和性质 二二 、收敛级数的性质、收敛级数的性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 第十一章第十一章 第一节引例引例1 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念.31化为小数化为小数数数且且,3 . 033. 031 1033 . 0 210310303. 03 . 033. 0 32103103103003. 003. 03 . 0333. 0 无限循环小数概念之中无限循环小数概念之中无穷级数的思想蕴

2、涵在无穷级数的思想蕴涵在1. 引例引例表示成无穷多项之和表示成无穷多项之和将将31求极限求极限nn103103103333. 02 个个一般地，一般地，33. 031 于是于是 n1031031032相当于求相当于求引例引例2 , )1()1(lim2 aaaann.12 naaa无穷多项的和无穷多项的和用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正依次作圆内接正),2,1,0(23 nn边形边形, 这个和逼近于这个和逼近于圆的面积圆的面积 ：0a1a 2a na 设设 a0 表示表示,时时 n naaaaA210ak 表示边数表示边数则圆内接正则圆内接正边形面积

3、为边形面积为n23 引例引例3 内接正三角形面积内接正三角形面积, 增加时增加的面积增加时增加的面积, , 一般项一般项：级数的级数的和和2. 定义定义给定数列给定数列,321nuuuu 1nnu,321 nuuuu无穷级数无穷级数:nu nkknuS1部分和部分和：nuuuu 321,lim存在存在若若SSnn 无穷级数无穷级数收敛：收敛：记作记作 1nnuS 21nnnnuuSSr级数的级数的余项余项：,lim不存在不存在若若nnS 无穷级数无穷级数发散发散 ：0lim nnr级数收敛时级数收敛时，例例1 (几何级数几何级数) 0nnqa 1) 若若,1 q12 nnqaqaqaaSqqa

4、an 1时，时，当当1 q, 0lim nnq由由知知qaSnn 1lim故级数收敛故级数收敛 ,;1qa ,1时时当当 q,lim nnq由由知知,lim nnS则部分和则部分和故级数发散故级数发散 .其和为其和为证明等比级数证明等比级数)0(2 aqaqaqaan常数常数当当 时收敛时收敛,1 q当当 时发散时发散 .1 q证证2) 若若,1 q,1时时当当 qanSn 级数发散级数发散 ;,1时时当当 q aaaaan 1)1( nSn 为奇数为奇数n 为偶数为偶数nnS lim结论：结论：1 q时收敛时收敛,1 q时发散时发散 .则则, 级数为级数为,a,0不存在不存在 , 0nnqa

5、等比级数等比级数 0nnqa等比等比级数级数 因此级数发散因此级数发散.拆项相消拆项相消 1ln1 nnn解解 12ln nS)1ln2(ln )1ln( n） n(所以级数发散所以级数发散.23ln 34ln nn1ln 例例2 判别级数判别级数 的敛散性的敛散性.部分和部分和)2ln3(ln nnln)1ln( 证明调和级数证明调和级数证证(方法方法1)nSn131211 )0()1ln( xxx由由 nnn13121111 )11ln(nS)1ln(n )1ln(limnn nnSlim发散发散 11nn)11ln(n )211ln(01 xx0)0()( fxf)1ln(xxf 例例3

6、发散发散.nun1 1d1nnxn时，有时，有当当1 nxnnx 1d11nnnxxnunnxnnln)1ln(ln1 nSn131211 ln)1ln()2ln3(ln)1ln2(lnnn )()1ln( nnxy 1 2n n+1 nnSlim.11发散发散 nnun(方法方法2)xyo(方法方法3)用反证法用反证法假设：假设：.11nnSn收敛，其部分和为收敛，其部分和为 SSSSnnnn 2limlim，则则0)(lim2 SSSSnnn于是于是但另一方面，但另一方面，)21111211(2nnnSSnn )1211(n )21111211(2nnnSSnn )1211(n nnn21

7、2111 nnn212121 项项n ，故故0)(lim2 nnnSS矛盾！矛盾！.11发散发散 nn(方法方法4) 见后面见后面.二、收敛级数的性质二、收敛级数的性质 性质性质1 若若 1nnuS 1nnuc收敛收敛 ,证证 令令,1 nkknuS则则 nkknuc1,nSc nn limSc 1nnuc收敛收敛 , 其和为其和为 c S . nnSc lim推论推论1 其和为其和为 c S.收敛，则收敛，则故故敛散性相同敛散性相同 . .nncS , 0 c若若 11nnnncuu 与与则则性质性质2 设收敛级数设收敛级数,1 nnuS 1nnv，则则)(1nnnvu 也收敛也收敛, 其和

8、为其和为.S 注注 )(1nnnvu 的敛散性规律：的敛散性规律：收收为收，收收为收， 收发为发，收发为发， 发发发发不一定不一定发发.例如例如, ,)1(2nnu 取取,)1(12 nnv0 nnvu而而1 收敛级数可逐项相加收敛级数可逐项相加( 减减 ).与与 1nnu 1nnv 均发散，均发散，.)(1收敛收敛但但nnnvu 2 性质性质3级数前面加上级数前面加上 不影响级数的敛散性不影响级数的敛散性.证证 1nnu去掉前去掉前 k 项项, 1nnku的部分的部分 nllknu1 knkSS nknS 与与,时时令令 n数敛散性相同数敛散性相同. 收敛时收敛时, 其和其和.kSS 故新旧

9、级故新旧级新级数新级数同敛散，同敛散，有限项不影响有限项不影响级数的敛散性级数的敛散性（去掉、或修改）（去掉、或修改）有限项有限项, 和为和为性质性质4 收敛级数收敛级数加括弧加括弧后后原级数的和原级数的和.证证 设设 1nnuS收敛，任意加括弧收敛，任意加括弧,所成的级数仍收敛于所成的级数仍收敛于 )()()(1111211kknnnnnuuuuuu), 2 , 1(11 kuuvkknnk令令项部分和：项部分和：则其前则其前kkkvvv 21 knS kkvvv 21 knS 存在存在收敛收敛nnnnSu lim1)(limRSSSnn 设设的子数列的子数列是是nnkSSk SSSnnnk

10、kkk limlimlim .S，且其和为，且其和为即加括号后的级数收敛即加括号后的级数收敛推论推论2 若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, )11()11(但但 1111例如例如， 则原级数必发散则原级数必发散.用反证法用反证法注注加括号后的级数收敛加括号后的级数收敛？去掉括号后的级数收敛去掉括号后的级数收敛收敛级数去括弧后所成的级数收敛级数去括弧后所成的级数不一定不一定收敛收敛. .,0 收敛收敛 发散发散例例3判断判断 nnn13121111的敛散性的敛散性.加括号级数加括号级数 )16110191( 1nnv)211( )4131( )81716151( 解解(方法方法4) )2

11、21221211(111nnnn,212111 v,21414141312 v1 ),21161161161914 vnnnv212111 823项项 nn2121 21项项 n21 )21211(1nn 1nnv)211( )4131( )8151( nnSlim)(,221211 nnvvSnn发散，发散，从而加括号级数从而加括号级数 1nnv.11发散发散故故 nn4281513 v8181 814 21 例例4 判断级数的敛散性判断级数的敛散性31212121112 nn121解解 加括号级数为加括号级数为)3121()2121()11(2 )121(nn 1)(nnnvu 1nnu由

12、于由于收敛，收敛， 121nn 1nnv而而发散，发散， 11nn故故加括号加括号级数发散级数发散, 从而原级数发散从而原级数发散.性质性质5（级数收敛的必要条件）级数收敛的必要条件） 设设 1nnuS收敛，则收敛，则.0lim nnu证证 1 nnnSSunnu lim故故. 0 SS1limlim nnnnSS注注0lim nnu非级数收敛的充分条件非级数收敛的充分条件. .例如例如, , 调和级数调和级数 nnn13121111. 01limlim nunnn但但发散，发散，故所给级数发散故所给级数发散. .nnu lim)2(, 0 nu则级数则级数 必发散必发散 . 1nnu, 01

13、)1(lim1 nnnn推论推论3 若若 544332212 ）（例例5 (1) 11nnn,011limlim nnnnnu解解 (1)故原级数发散故原级数发散. . 111nnn）（小结小结:0nu 1nnu收敛收敛0 nu 1nnu发散发散例例6 判断敛散性判断敛散性, 若收敛求其和若收敛求其和:解解 令令,!nnnnneu 则则 nnuu1nne)1 (1 ),2,1(1 neuuunn 11,0lim nnu故级数发散故级数发散. .11)1(! )1( nnnnennnne!eannn )1(1单增数列单增数列.!1nnnnne 32252321nS,212nn nnnSSS212

14、1 则则 1432212252321nn 21 21 221132121 n1212 nn nn21225232132.2121 nnn例例7 判断级数的敛散性：判断级数的敛散性：解解 21 21 221132121 n1212 nn 21211211211 n1212 nn121121 n1212 nn原级数收敛原级数收敛, 其和为其和为 3 ., 3lim nnS故故23内容小结内容小结1. 无穷无穷级数概念级数概念：级数收敛、发散，部分和，余项级数收敛、发散，部分和，余项2. 两个常见级数的敛散性：两个常见级数的敛散性：(1) 等比级数等比级数 .11,1111时时当当发散，发散，时；时

15、；当当收敛，和为收敛，和为qqqqnn(2) 调和级数调和级数.11发散发散 nn3. 级数级数性质：性质：(1)敛散性相同敛散性相同 ）；）；（0 c 11nnnncuu 与与(2) 收敛级数可以逐项相加，收敛级数可以逐项相加，(3) 级数级数加加 不影响其敛散性不影响其敛散性.（去或改）（去或改）有限项有限项, (4) 收敛级数收敛级数加括弧加括弧后后仍收敛于原级数的和仍收敛于原级数的和.(5) 级数收敛的级数收敛的必要条件必要条件: 一般项的极限为零一般项的极限为零)1(1431321211 nnSn 211111 n） n(1所以级数收敛所以级数收敛, 其和为其和为 1 . 3121

16、4131 111nn“拆项相消拆项相消” 求和求和 .)1(1 1的敛散性的敛散性判断级数判断级数 nnn解解 备用题备用题例例2-1例例2-2 判断敛散性判断敛散性, 若收敛求其和若收敛求其和:解解.231123 nnnnnnn23123 )2)(1()2(21 nnnnn )2)(1(1)1(121nnnn),2,1( n)2)(1(1 nnn nknkkkS123231 nkkkkk1)2)(1(1)1(121拆项相消拆项相消,41原级数收敛原级数收敛 ,其和为其和为 )2)(1(121121nn.41 例例3-1 判别级数判别级数 2211lnnn的敛散性的敛散性 .解解 211lnn 221lnnn nnnln2)1ln()1ln( 2211lnkSnkn 2