第六章状态反馈和状态观测器

1、中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器现代控制理论现代控制理论Modern Control Theory中南大学中南大学信息科学与工程学院自动化专业信息科学与工程学院自动化专业2022年年6月月26日日中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器第六章第六章 状态反馈和状态观测器状态反馈和状态观测器6.1 状态反馈的定义及其性质状态反馈的定义及其性质6.2 极点配置极点配置*6.3 应用状态反馈实现解耦控制应用状态反馈实现解耦控制6.4 状态观测器状态观测器6.5 带状态观测器的反馈系统带状态观测器的反馈系统*6.6 线

2、性不确定系统的鲁棒控制线性不确定系统的鲁棒控制小小 结结中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器6.1 状态反馈的定义及其性质状态反馈的定义及其性质 xAxBuyCxDu ：uLvKx v为为p维控制输入向量，维控制输入向量，K为为pn的的状态反馈增益矩状态反馈增益矩阵阵，L为为pp维非奇异实常数矩阵，称为维非奇异实常数矩阵，称为输入变换输入变换矩阵矩阵。给定系统的状态空间表达式给定系统的状态空间表达式在系统中引入反馈控制律在系统中引入反馈控制律中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器则闭环系统则闭环系统K的结构如图的

3、结构如图6.1.1所示。所示。LBDAKCyxuv+图图6.1.1 状态反馈示意图状态反馈示意图中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器K的状态空间表达式为：的状态空间表达式为：()()KxABK xBLvyCDK xDLv ：若若 D0，则，则()KxABK xBLvyCx ：中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器*(2) D0 时，可以求得闭环系统时，可以求得闭环系统 K 的传递函数阵的传递函数阵状态反馈的性质状态反馈的性质(1) LI 时，即对输入不作变换时，为单纯的状时，即对输入不作变换时，为单纯的状态变量反

4、馈。若态变量反馈。若KHC，则，则KxHy，状态反馈，状态反馈就等价于输出反馈就等价于输出反馈H。因此，。因此，输出反馈是状态反输出反馈是状态反馈的特殊情况馈的特殊情况。1()()G sK LC sIABKBL ； , ,中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器利用矩阵运算直接可推出利用矩阵运算直接可推出11()( )()G sK LG s IK sIABL ； , ,1( )()G sC sIAB 为状态反馈前原系统的传递函数阵。为状态反馈前原系统的传递函数阵。表示了原系统的传递函数表示了原系统的传递函数G(s)与经过状态反馈与经过状态反馈K,L后的闭环

5、系统的传递函数阵后的闭环系统的传递函数阵G(s;K,L)之间的之间的关系。关系。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器从传递特性来看，状态反馈从传递特性来看，状态反馈K, L所造成的影所造成的影响，相当于在原系统的前面串联一个系统，如图响，相当于在原系统的前面串联一个系统，如图所示。所示。图图6.1.2 闭环系统图示说明闭环系统图示说明1 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器图图6.1.1中，令中，令D0，改用图，改用图6.1.3表示表示图图6.1.3 闭环系统图示说明闭环系统图示说明2abLBAKCyxuv+I

6、中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器xAxBuyIx 和输出反和输出反馈馈uvKy 图中图中a 和和 b 之间的部分，可以看成是由系统之间的部分，可以看成是由系统所组成。从所组成。从 a 到到 b 的传递函数矩阵的传递函数矩阵Gab(s)不难用输不难用输出反馈传递函数阵的公式求出。出反馈传递函数阵的公式求出。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器111( )()()abGssIAB IK sIAB 于是，从于是，从v 到到 y 的传递函数矩阵的传递函数矩阵11111 ()()()( )()G sKLC sIAB

7、IK sIABLG s IK sIABL ； ，定理定理 6.1.1 对于任何实常量矩阵对于任何实常量矩阵K ，系统，系统 K 完全完全能控的充要条件是系统能控的充要条件是系统 完全能控。完全能控。P193即引入状态反馈控制律即引入状态反馈控制律(K,I) 不影响系统的能控性，不影响系统的能控性，但可能影响系统的能观测性。但可能影响系统的能观测性。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器说明：说明：输出反馈不改变系统的能控能观性。输出反馈不改变系统的能控能观性。状态反馈不能改变单输入单输出系统的零点。状态反馈不能改变单输入单输出系统的零点。中南大学信息科学

8、与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器证证 注意到系统注意到系统 和和 K 的能控性矩阵分别为的能控性矩阵分别为21 ncuB AB A BAB 21 () ()()ncuBABK BABKBABKB 由由 ()()ABK BABB KB ，可知，可知 ()ABK B 的列向量可以由的列向量可以由 ( )B AB的列向量的线性组合表示。的列向量的线性组合表示。 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器依此类推，不难看出依此类推，不难看出 rankrankccuu 21 () ()()nBABK BABKBABKB 的列向量可以由的列

9、向量可以由 的列向量的列向量的线性组合表示。这意味着的线性组合表示。这意味着 1 nB ABAB 2()ABKB 的列向量可以由的列向量可以由 的的 列向量列向量的线性组合表示。的线性组合表示。2( )B AB A B中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器系统系统 也可看成是由系统也可看成是由系统 K 经过状态反馈经过状态反馈（K, I）而获得的，因此，同理有）而获得的，因此，同理有 所以系统所以系统 K 的能控性等价于系统的能控性等价于系统 的能控性，的能控性，于是定理得证。于是定理得证。 rankrankccuu 中南大学信息科学与工程学院自动化专业

10、现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器 12031112xxuyx ：无零极相消，系统状态完全能控能观，引入反馈无零极相消，系统状态完全能控能观，引入反馈 31uxv 例例 6.1.1 系统系统 12( )()32sG sC sIABss 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器12000112Kxxvyx ：不难判断，系统不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再能仍然是能控的，但已不再能观测。观测。状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。则闭环系统则闭环系统 K 的状态空间表达式为的状态空间表达式为返返 回回

11、122( )()(1)1KsGsC sIABKBs ss 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器6.2 极点配置极点配置返回返回6.2.1 极点配置定理极点配置定理6.2.2 单输入系统极点配置的算法单输入系统极点配置的算法6.2.3 讨论讨论*6.2.4 多输入系统的极点配置多输入系统的极点配置*6.2.5 利用利用MATLAB实现极点配置实现极点配置中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器系统性能：稳定性、稳态性能和动态性能系统性能：稳定性、稳态性能和动态性能稳态性能：静态误差稳态性能：静态误差动态性能：调节时间

12、、超调量、上升时间动态性能：调节时间、超调量、上升时间.影响动态性能的因素：二阶系统（极点位置）影响动态性能的因素：二阶系统（极点位置） 高阶系统（一对主导极点）高阶系统（一对主导极点）结论：极点影响系统的稳定性和动态性能结论：极点影响系统的稳定性和动态性能中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器问题求解问题求解1、根据系统性能要求确定闭环极点、根据系统性能要求确定闭环极点2、确定矩阵、确定矩阵K，使得，使得即将闭环系统的极点配置在希即将闭环系统的极点配置在希望的位置上，即极点配置望的位置上，即极点配置解决两个问题：解决两个问题：在什么条件下，极点配置问题

13、可解？即存在使得在什么条件下，极点配置问题可解？即存在使得闭环系统具有给定极点的控制器闭环系统具有给定极点的控制器u=vKx如何设计具有给定闭环极点的控制器如何设计具有给定闭环极点的控制器u=vKx ？返回返回中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器6.2.1 极点配置定理极点配置定理定理定理 6.2.1 给定系统给定系统 的状态空间表达式为的状态空间表达式为:xAxBuyCxDu uvKx 通过状态反馈通过状态反馈能使其闭环极点位于预先任意指定位置上的充能使其闭环极点位于预先任意指定位置上的充要条件是系统要条件是系统 完全能控完全能控。中南大学信息科学与

14、工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器证明证明: 只就单输入系统的情况证明本定理只就单输入系统的情况证明本定理 充分性：因为给定系统充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换能控，故通过等价变换 xPx 必能将它变为能控标准形必能将它变为能控标准形 :xAxbuycxdu 这里，这里，P为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有111010001nnAPAPaaa ， 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器1110 01nnbPbccPdd 对式对式(6.2.2)引入状态反馈引入状态反馈12 nuvKxKk

15、kk 则闭环系统则闭环系统 的状态空间表达式为的状态空间表达式为 K ():()KxAbK xbvycdK xdv 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器 其中，显然有其中，显然有112101()001nnnAbKakakak 系统系统 的闭环特征方程为的闭环特征方程为K 121211()()()0nnnnnnsaksaksak 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器同时，由指定的任意同时，由指定的任意 n个期望闭环极点个期望闭环极点 *12,n可求得期望的闭环特征方程可求得期望的闭环特征方程*1*1211()()

16、()0nnnnnssssa sasa 通过比较系数，可知通过比较系数，可知 *11*212*1 nnnnakaakaaka 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器由此即有由此即有*1*211*11 nnnnnkaakaakaa 又因为又因为1uvKxvKPxvKx KKP 所以所以 选择反馈增益矩阵选择反馈增益矩阵K，就能任意配置系统的极点。，就能任意配置系统的极点。 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器必要性：采用反证法，设必要性：采用反证法，设不完全能控，则必存不完全能控，则必存在在非奇异变换阵非奇异变换阵T

17、 使系统结构分解使系统结构分解12122 00ccAAbATATbTbA 且对任意且对任意 有有12,Kk k 1122det()det() det() =det()det()ccsIAbKsIAbKTsIAbKsIAb ksIA 式中式中112KKTkk 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器上式表明上式表明状态反馈不能改变系统不能控部分的特状态反馈不能改变系统不能控部分的特征值征值，即此时不可能任意配置全部极点。与已知，即此时不可能任意配置全部极点。与已知矛盾，故反设不成立，于是系统是完全能控的。矛盾，故反设不成立，于是系统是完全能控的。返回返回中南

18、大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器6.2.2 单输入系统极点配置的算法单输入系统极点配置的算法算法算法1：间接法。适用：间接法。适用系统维数较高，控制矩阵中系统维数较高，控制矩阵中非零元素较多非零元素较多的情况。步骤如下：的情况。步骤如下：1) 求求A 的特征多项式的特征多项式111( )det()nnnnssIAsa sasa 2) 求闭环系统的求闭环系统的期望特征多项式期望特征多项式*1*1211( )()()()nnnnnsssssa sasa 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器4) 计算计算3) 计算计

19、算*1111nnnnKaaaaaa 1111111nnaaQbAbAba 5) 令令1PQ 6) 求求KKP 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器说明说明1）11111npp APQp A 121100001npbAbA bAb 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器 ),(cbA ),(ccccbA1cAPAP ),(cccKcbAK ),(cbAKPKKP 2）中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器2100rankrank 0113001bAbA b 解：判断系统状态的

20、能控性。因为解：判断系统状态的能控性。因为例例6.2.1 给定系统的状态空间表达式为给定系统的状态空间表达式为 00011100 0110110 xxuyx 求状态反馈增益阵求状态反馈增益阵K，使反馈后闭环特征值为，使反馈后闭环特征值为 *12,32, 13j 系统是系统是状态完全能控状态完全能控，通过状态反馈控制律能任意，通过状态反馈控制律能任意配置闭环特征值。配置闭环特征值。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器1) 由由2) 由由3200det()det1102011ssIAsssss得得1232, 1, 0aaa *12332()()() (2)

21、(13)(13) 488sssssjsjsss 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器得得*1234, 8, 8aaa3) 332211872Kaaaaaa 4)2121110100100121121 011210110001100100aaQbAbA ba中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器5)11121001110011100121PQ 6) 001872011233121KKP 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器或者或者1100100011011001001ccU

22、U 1121001011121pPp Ap A 233KKP 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器此时闭环系统此时闭环系统 K 的状态空间表达式为的状态空间表达式为 ()00011 11002330011002331 11000110011xAbK xbvxvxvyx 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器闭环传递函数矩阵为闭环传递函数矩阵为 1122(, )(, )()2331 0111100011021 =22424jjG sK LG sK IC sIAbKbsssssssss 闭环特征值为闭环特征值为 *1

23、2,32, 13j 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器开环传递函数矩阵为开环传递函数矩阵为 1322( )()2 =22 1G sC sIAbssssss s 开环极点为开环极点为 12,30, 1ss 开环不稳定，状态反馈实现了对其稳定性的改开环不稳定，状态反馈实现了对其稳定性的改造。注意开环零点和闭环零点相同。造。注意开环零点和闭环零点相同。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器闭环系统的结构图如图所示闭环系统的结构图如图所示问题：分析闭环系统状态的能控性、能观测性问题：分析闭环系统状态的能控性、能观测性中

24、南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器算法算法2：直接法：直接法) ( k ai1) 将将 代入系统状态方程，求得闭环系统代入系统状态方程，求得闭环系统实际的特征多项式实际的特征多项式uKx 111( )()()()nnnnssa K saK saK 其中其中 是反馈矩阵是反馈矩阵K 的函数，的函数，()ia K1,in 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器2) 计算理想特征多项式计算理想特征多项式*1*1211( )()()()nnnnnsssssa sasa 1nKkk 即为所求。即为所求。说明：适合系统维数比

25、较低，控制矩阵中只有一说明：适合系统维数比较低，控制矩阵中只有一个非零元素的情况。个非零元素的情况。*() 1,iia Kain 同阶项系数相等。列方程组同阶项系数相等。列方程组 并求解并求解 ，可得，可得 3) 令令*( )( )ss 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器例例6.2.2 同例同例6.2.1解：设所需的状态反馈增益矩阵解：设所需的状态反馈增益矩阵K为为后，闭环系统的特征多项式为后，闭环系统的特征多项式为123Kkkk 因为经过状态反馈因为经过状态反馈uvKx 12332112123det000001 det001100000110 22

26、1ssIAbKsskkksskskkskkk 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器根据要求的闭环期望极点，可求得闭环期望特征根据要求的闭环期望极点，可求得闭环期望特征多项式为多项式为 3221313488sssjsjsss 比较两多项式同次幂的系数，有比较两多项式同次幂的系数，有112123242188kkkkkk1232,3,3kkk 即得状态反馈增益矩阵为即得状态反馈增益矩阵为 233K 与例与例6.2.1的结果相同的结果相同返回返回中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器6.2.3 讨论讨论(1) 状态反馈状

27、态反馈不改变系统的维数不改变系统的维数，即经状态反馈，即经状态反馈后的闭环系统后的闭环系统K 的维数等于原系统的维数等于原系统的维数。的维数。但是闭环传递函数的阶次可能会降低，这是由但是闭环传递函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的公因子被对消所致。分子分母的公因子被对消所致。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器(2) 对于单输入单输出系统，对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动状态反馈不会移动(改变改变)系统传递函数的零点。系统传递函数的零点。可用来解释为什么状可用来解释为什么状态反馈可能改变系统的能观测性。若出现零极相态反馈可能改变系统的能观测性。

28、若出现零极相消，此时系统完全能控，则一定不完全能观测。消，此时系统完全能控，则一定不完全能观测。(3) 若系统是不完全能控的，可将其状态方程变换若系统是不完全能控的，可将其状态方程变换成如下形式成如下形式1111121222200 xxAAbuxAx 其中，其中， 的特征值不能任意配置。的特征值不能任意配置。22A 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器(4) 系统综合中，往往需要将不稳定的极点，即具系统综合中，往往需要将不稳定的极点，即具有非负实部的极点，移到有非负实部的极点，移到s平面的左半部，这一过平面的左半部，这一过程称为程称为系统镇定系统镇定。

29、 返回返回若系统不能控，则只有若系统不能控，则只有 (不能控子系统不能控子系统) 的全的全部特征值都具有负实部时部特征值都具有负实部时，系统才是能镇定的。，系统才是能镇定的。22A 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器*6.2.4 多输入系统的极点配置多输入系统的极点配置返回返回中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器*6.2.5 利用利用MATLAB实现极点配置实现极点配置1、直接计算、直接计算 根据系统的状态方程和输出方程利根据系统的状态方程和输出方程利用状态反馈控制规律来计算得到状态反馈矩阵用状态反馈控制规律

30、来计算得到状态反馈矩阵K。例例6.2.4 受控系统的系数矩阵为受控系统的系数矩阵为010 341AB 求状态反馈增益阵求状态反馈增益阵K，使闭环极点为，使闭环极点为 4和和5。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器程序如下：程序如下：A=0 1;-3 -4;B=0;1;P=-4 -5; syms k1 k2 s; syms k1 k2 s K=k1 k2; eg=Simple(det(s*diag(diag(ones(size(A)-A+B*K)eg = s2+(4+k2)*s+3+k1中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和

31、状态观测器 f=1; for i=1:2 f=Simple(f*(s-P(i); end f=f-egf = 9*s+17-(4+k2)*s-k1 k1 k2=solve(jacobian(f,s),subs(f,s,0)k1 = 17 k2 = 5中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器2、采用、采用Ackermann公式计算公式计算例例6.2.5 已知倒立摆杆的线性模型如下，设计状态已知倒立摆杆的线性模型如下，设计状态反馈矩阵反馈矩阵K使闭环极点为使闭环极点为并计算闭环系统状态系数矩阵。并计算闭环系统状态系数矩阵。1, 2, 1j 0100000101

32、, 00010001101Ab 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器解：程序如下解：程序如下 A=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; b=0 1 0 -1; P=-1 -2 -1-j -1+j; K=acker(A,b,P)K = -0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.0000 A-b*Kans = 0 1.0000 0 0 0.4000 1.0000 20.4000 6.0000 0 0 0 1.0000 -0.4000 -1.0000 -10.4000 -6.0000中南大学信息科学与工程学院自动

33、化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器例例6.2.6 已知控制系统的系统矩阵为已知控制系统的系统矩阵为设理想闭环系统的极点为设理想闭环系统的极点为1, 2, 3s 2.02.50.51100, 00100AB 试对其进行极点配置。试对其进行极点配置。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器解：程序如下解：程序如下 A=-2 -2.5 -0.5;1 0 0;0 1 0; B=1 0 0; P=-1 -2 -3; K=acker(A,B,P) Ac=A-B*K eig(Ac)K = 4.0000 8.5000 5.5000Ac= -6 -11 -6

34、1 0 0 0 1 0ans = -3.0000 -2.0000 -1.0000中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器3、调用、调用place函数进行极点配置函数进行极点配置调用格式为调用格式为K=place(A,B,P)。A,B为系统系数矩为系统系数矩阵，阵，P为配置极点，为配置极点，K为反馈增益矩阵。为反馈增益矩阵。例例6.2.7 考虑给定的状态方程模型考虑给定的状态方程模型0100000101, 00010001101Ab 1234yx 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器若想把闭环极点配置在若想把闭环极点

35、配置在1, 2, 1sj 则可使用下面的则可使用下面的Matlab程序。程序。 A=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; B=0 1 0 -1; eig(A) P=-1 -2 -1-j -1+j; K=place(A,B,P) eig(A-B*K)ans = 0 0 3.3166 -3.3166K = -0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.0000ans = -2.0000 -1.0000 - 1.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 返回返回中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测

36、器*6.3 应用状态反馈实现解耦控制应用状态反馈实现解耦控制返回返回6.3.1 问题的提出问题的提出6.3.2 实现解耦控制的条件和主要结论实现解耦控制的条件和主要结论6.3.3 算法和推论算法和推论6.3.4 利用利用MATLAB实现解耦控制实现解耦控制中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器6.3.1 问题的提出问题的提出考虑考虑MIMO系统系统 (6.3.1) xAxBuyCx ：中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器式式(6.3.2)可写为可写为在在 (0)0 x 的条件下，输出与输入之间的关系，的条件下，输

37、出与输入之间的关系，可用传递函数可用传递函数 ( )G s描述：描述： 1( )( ) ( )()( )y sG s u sC sIABu s (6.3.2)1( )( ) ( )()( )y sG s u sC sIABu s 11111221221122221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )ppppqqqqppy sgs u sgs u sgs usy sgs u sgs u sgs usysgs u sgs u sgs us 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态

38、反馈和状态观测器每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多少每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多少个输入所控制我们称这种交互作用的现象为耦合。个输入所控制我们称这种交互作用的现象为耦合。一般说来，控制多输入多输出系统是颇为困难的。一般说来，控制多输入多输出系统是颇为困难的。例如例如, 要找到一组输入要找到一组输入如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个输入如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个输入的控制，这必将大大的简化控制实现这样的。控制的控制，这必将大大的简化控制实现这样的。控制称为解耦控制，或者简称为解耦。称为解耦控制，或者简称为解耦。三个基本假定：三个基本假定：1) p=q，

39、即系统的输出个数等于输入个数；即系统的输出个数等于输入个数；12( ),( ),( )pu s u sus中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器uLvKx 2) 状态反馈控制律采用如下形式：状态反馈控制律采用如下形式：3) 输入变换矩阵输入变换矩阵L为非奇异的为非奇异的 图图6.3.1vLuB AKxCy-+中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器解耦控制问题解耦控制问题:寻找一个输入变换矩阵和状态反馈寻找一个输入变换矩阵和状态反馈增益矩阵对增益矩阵对K,L，使得系统，使得系统K的传递函数阵的传递函数阵显然，经过解耦

40、的系统可以看成是由显然，经过解耦的系统可以看成是由p个独立单变个独立单变量子系统所组成。量子系统所组成。1122()( ),( ),( )ppG sKLdiag gsgsgs ； ，中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器图图 6.3.2返回返回中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器6.3.2 实现解耦控制的条件和主要结论实现解耦控制的条件和主要结论定义两个特征量并简要介绍它们的一些性质。定义两个特征量并简要介绍它们的一些性质。1) 已知传递函数阵已知传递函数阵其中其中gij(s)都是严格真的有理分式都是严格真的有理

41、分式(或者为零或者为零)。令。令dij是是gij(s)的分母的次数与分子的次数之差的分母的次数与分子的次数之差111212122212( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )ppppppgsgsgsgsgsgsG sgsgsgs 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器此处的此处的gi(s)表示表示G(s)的第的第i行。不难看出行。不难看出Ei是由是由G(s)所唯一确定的。所唯一确定的。(2) 若若A,B,C 已知，则已知，则状态反馈不改变状态反馈不改变di12min1iiiipdddd ，1lim( ) 1 2 idiiiEs

42、g sip ， 00,1 210 1 00,1 21 kiiikic A Bkc A Bdnc A Bkn ，= =，diiiEc A B 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器例例6.3.1 给定系统给定系统其中其中 xAxBuyCx ：00010110101 00 00112301ABC 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器其传递函数矩阵为其传递函数矩阵为得到得到21311(1)(2)(1)(2)( )()1(1)(2)(1)(2)sss ssssG sC sIABsssss 1111222122min 1m

43、in1 210min 1min2 110dddddd ，中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器同样，由两种方法求得的同样，由两种方法求得的Ei也相同。也相同。因因 也可求得也可求得121 00 0 10c Bc B1200dd，12111222311lim( )lim1 0(1)(2)(1)(2) 1 1 01 01lim( )lim0 1(1)(2)(1)(2) iidiissEsg sss ssssc A BA BsEsg ssssssc 20 0 10 1dA BA B 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器

44、下实现解耦控制的充要条件是下实现解耦控制的充要条件是E为非奇异。其中为非奇异。其中定理定理 6.3.1 前面系统在状态反馈前面系统在状态反馈uLvKx 11,KE F LE 121111122211 pdddpppc AEFc AEFEFLEEFc A 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器证：对等式证：对等式两边分别求导，根据两边分别求导，根据di 和和Ei 的定义可知的定义可知 1,iiyc xiq ()(1)1 1,iiiiiiddidddiycAxycA xycAxcA Buiq 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈

45、和状态观测器当且仅当矩阵当且仅当矩阵E为非奇异时，由方程组为非奇异时，由方程组1 1,iiiddiiiidiic A BKxE Kxc AxF xc A LvE Lvviq 可唯一确定出可唯一确定出 和和 在状态反馈在状态反馈1KE F 1LE uLvKx 下有下有()(1) 1,iiiiddidiiycAxycA xyviq 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器输出输出yi 仅与输入仅与输入vi 有关，且有关，且vi 仅能控制仅能控制yi，定理得证，定理得证11(): KxABE F xBE vyCx 在状态反馈在状态反馈下，系统下，系统 K 的状态

46、空间表达式为的状态空间表达式为uLvKx 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器 其传递函数矩阵为其传递函数矩阵为返回返回1 12 11111110( ;, )()0 1pdddssG s K LC sIABE FBEs 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器6.3.3 算法和推论算法和推论算法：算法： 1) 求出系统求出系统的的2) 构成矩阵构成矩阵E，若，若E非奇异，则可实现状态非奇异，则可实现状态反馈解反馈解耦；否则，不能状态反馈解耦。耦；否则，不能状态反馈解耦。3) 求取矩阵求取矩阵K和和L，则，则 就是所

47、需的就是所需的状态状态反馈控制律。反馈控制律。1 2 iidEip 、 ，uLvKx 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器例例6.3.2 给定系统给定系统试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解耦后的传递函数矩阵。耦后的传递函数矩阵。0001011000100 00112301xxuyx 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器解：解：1) 在例在例6.3.1中已求得中已求得 2) 因为因为 为非奇异的，所以可状态为非奇异的，所以可状态反馈解耦。反馈解耦。3) 因为因为所以有

48、所以有12120 1 0 0 1ddEE 12EEIE 1211111222001123ddFc Ac AFc Ac A 11001 123KE FLEI中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器于是于是4) 反馈后，对于闭环系统反馈后，对于闭环系统 K 有有001123uvx00110()0010000001110001xABK xBVxuyx 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器3) 系统解耦后，每个系统解耦后，每个SISO系统的传递函数均为系统的传递函数均为di+1重积分形式。须对它进一步施以极点配置。重积分形

49、式。须对它进一步施以极点配置。2) 求得求得 ，则解耦系统的传递函数，则解耦系统的传递函数矩阵即可确定。矩阵即可确定。1) 能否态反馈实现解耦控制取决于能否态反馈实现解耦控制取决于di 和和Ei 。推论推论：110()()10sG sKLC sIABKBLs ； ， 1,2,idip 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器4) 要求系统能控，或者至少能镇定否则不能。保要求系统能控，或者至少能镇定否则不能。保证闭环系统的稳定性。证闭环系统的稳定性。返回返回中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器6.3.4 利用利用MA

50、TLAB实现解耦控制实现解耦控制返回返回中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器6.4 状态观测器状态观测器返回返回6.4.1 状态观测器的存在条件状态观测器的存在条件6.4.2 全维状态观测器全维状态观测器*6.4.3 降维状态观测器降维状态观测器*6.4.4 利用利用MATLAB设计状态观测器设计状态观测器中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器 利用状态反馈能够任意配置一个能控系统的利用状态反馈能够任意配置一个能控系统的闭环极点，从而有效改善控制系统的性能。闭环极点，从而有效改善控制系统的性能。 实际中，常常无法

51、直接获得系统的全部状态实际中，常常无法直接获得系统的全部状态变量，从而使得状态反馈的物理实现遇到困难。变量，从而使得状态反馈的物理实现遇到困难。 克服这种困难的途径之一是克服这种困难的途径之一是重构系统的状态重构系统的状态，并利用重构的状态代替系统的真实状态实现所，并利用重构的状态代替系统的真实状态实现所需的状态反馈。需的状态反馈。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器状态重构问题的实质是构造一个新的系统状态重构问题的实质是构造一个新的系统 ( 或者或者说装置说装置) ，利用原系统中可直接测量的，利用原系统中可直接测量的输入量输入量u和输出量和输出量y作

52、为它的输入信号作为它的输入信号，并使其输出信号，并使其输出信号满足满足lim ( )lim ( )ttx tx t ( )x t通常称通常称 为为x(t)的的重构状态或状态估计值重构状态或状态估计值，而，而称这个用以实现状态重构的系统为称这个用以实现状态重构的系统为状态观测器状态观测器。问题：问题： 如何重构状态？（观测器的条件、设计）如何重构状态？（观测器的条件、设计） 利用重构的状态形成状态反馈的闭环系统特性利用重构的状态形成状态反馈的闭环系统特性如何？如何？中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器对线性定常系统，状态观测器通常与是一个线性对线性定常系

53、统，状态观测器通常与是一个线性定常系统，按其结构可分为定常系统，按其结构可分为全维状态观测器和降全维状态观测器和降维状态观测器维状态观测器。维数等于原系统维数的观测器为全维观测器。维数等于原系统维数的观测器为全维观测器。维数小于原系统维数的观测器为降维观测器。维数小于原系统维数的观测器为降维观测器。返回返回中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器6.4.1 状态观测器的存在条件状态观测器的存在条件定理定理 6.4.1 给定线性定常系统给定线性定常系统 xAxBuyCx ：若此若此系统状态完全能观测系统状态完全能观测，则状态向量，则状态向量x(t)可由输可由

54、输入入u和输出和输出y的相应信息构造出来。的相应信息构造出来。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器证证: 因为因为 xAxBuyCx ：yCx yCxCAxCBu 2(1)12(2) nnnnyCAxCBuCA xCABuCBuyCAxCABuCBu 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器所以，只有当所以，只有当rankN=n时，上式中的时，上式中的x才能有唯才能有唯一解。即只有当系统是状态完全能观测时，状态一解。即只有当系统是状态完全能观测时，状态向量向量x才能由才能由u,y以及它们的各阶导数的线性组合以及它们

55、的各阶导数的线性组合构造出来。构造出来。即即返回返回2(1)(2)21 nnnnCyCAyCBuyCBuCABuCAx NxyCBuCABuCA 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器6.4.2 全维状态观测器全维状态观测器1、开环状态估计器开环状态估计器：构造一个与原系统完全相：构造一个与原系统完全相同的模拟装置，输入信号相同同的模拟装置，输入信号相同( )( )( )( )( )x tAx tBu ty tCx t 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器图图 6.4.1开环状态观测器结构图开环状态观测器结构图中

56、南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器 每次使用必须重新确定原系统的初始状态并对每次使用必须重新确定原系统的初始状态并对估计器实施设置，极不方便也极不现实；估计器实施设置，极不方便也极不现实；从所构造的这一装置可以直接测量从所构造的这一装置可以直接测量 。这种开。这种开环状态估计器存在如下缺点：环状态估计器存在如下缺点：( )x t 在在A有正实部特征值时，有正实部特征值时， 最终总要趋向无最终总要趋向无穷大。令穷大。令( )x t ( )( )( )x tx tx t 表示表示状态估计值与真实值之差（估计误差）状态估计值与真实值之差（估计误差）。则。则有

57、有0()0( )( )A t tx tex t 最终将趋于无穷大。最终将趋于无穷大。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器图图 6.4.2全维状态观测器结构图全维状态观测器结构图 2、闭环全维状态观测器、闭环全维状态观测器中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器状态观测器的动态方程可写为状态观测器的动态方程可写为 xAxBuE yyAxBuE CxyAEC xBuEy 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器因为因为() ()()xxAEC xBuEyAxBuAECxx 其解其解

58、估计误差估计误差为为00()()00()()0() ( )( ) ( )A ECt tA ECt txxxex tx tex t 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器由于由于观测器中观测器中(AEC)的特征值配置问题等价与对偶的特征值配置问题等价与对偶系统中极点配置问题。系统中极点配置问题。若若 ，则有，则有Re ()0AEC 0()()0limlim0A ECt tttxex t ()()TTTAECAC E 中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器定理定理 6.4.2 若若n维线性定常系统维线性定常系统状态完能

59、观测状态完能观测，则，则存在存在n维（全维）维（全维）状态观测器状态观测器()xAEC xBuEy 其估计误差其估计误差满足满足()xAECx ( )( )xx tx t 在复共轭特征值成对出现的条件下，可在复共轭特征值成对出现的条件下，可选择矩阵选择矩阵E来任意配置来任意配置(AEC)的特征值的特征值。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器例例6.4.1 为例为例6.2.1的系统设计一个全维状态观测的系统设计一个全维状态观测器，并使观测器的极点为器，并使观测器的极点为*12,35,44j 00011100 0110110 xxuyx 中南大学信息科学与

60、工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器解解:1) 由由32det()2TsIAsss 得得123210aaa ，0111013011ooUrankU 系统是状态完全能观测的，因此可以构造能任系统是状态完全能观测的，因此可以构造能任意配置特征值的全维状态观测器。意配置特征值的全维状态观测器。中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义第六章状态反馈和状态观测器2) 观测器的期望特征多项式为观测器的期望特征多项式为3)*12332()()()(5)(44)(44) 1372160sssssjsjsss *1231372160aaa ，123*332211 160 71