大学物理-高校出版社-罗圆圆主编-_机械波基础

1、波 动第十一章Wave1第十一章 机械波根底11.1 机械波的形成与传播 11.2 平面简谐波的表达式 波动微分方程11.3 波的能量与能流11.4 声波*11.5 惠更斯原理11.6 波的叠加原理 波的干预11.7 驻波 半波损失11.8 多普勒效应2波动是振动的传播过程.振动是激发波动的波源.机械波电磁波波动机械振动在弹性介质中的传播.交变电磁场在空间的传播.两类波的不同之处机械波的传播需有传播振动的介质;电磁波的传播可不需介质.能量传播反射折射干预衍射两类波的共同特征前言3波源介质+弹性作用机械波一 机械波的形成产生条件：1波源；2弹性介质. 波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.

2、注意机械波：机械振动在弹性介质中的传播.11.1 机械波的形成与传播4横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.仅在固体中传播 二 横波与纵波 特征：具有交替出现的波峰和波谷.5纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.可在固体、液体和气体中传播 特征：具有交替出现的密部和疏部.6水的流动性和不可压缩性作二维运动纵向运动横向运动作(椭)圆运动水外表的波既非横波又非纵波：水波中水质元问：水波是纵波还是横波？答：水波即不是是纵波也不是横波是混合波。横波纵波7波线wave line表示波的传播方向的射线波射线波面wave surface媒质振动相位相同的点组成的面同相面波前wave front

3、某时刻波到达的最前面的波(振)面球面波平面波波线 波面波前波前波振面是平面的波三 波线 波面 波前8*球 面 波平 面 波波前波面波线9四 波长 波的周期和频率 波速 波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.OyAA-10 周期 ：波前进一个波长的距离所需要的时间. 频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目. 波速 ：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.注意周期或频率只决定于波源的振动!波速只决定于媒质的性质！11波速 与介质的性质有关， 为介质的密度.如声音的传播速度空气，常温左右，混凝土横

4、波固体纵 波液、气体G切变模量Y弹性模量B体积模量12 例1 在室温下，已知空气中的声速 为340 m/s，水中的声速 为1450 m/s ，求频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在空气中和水中的波长各为多少？在水中的波长解由 ，频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在空气中的波长周期或频率只决定于波源的振动!波速决定于媒质的性质！13一、 简谐波simple harmonic wave波称为简谐波余弦波如果波传播的扰动是简谐振动的话，这样的一维平面简谐波的表达式波函数以机械波的横波为例，设平面波沿 x方向以速度 u 传播，媒质均匀、无限大，无吸收。11.2 平面简谐波的表达式 波动

5、微分方程14或：沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。 抓住概念：某时刻某质元的相位振动状态 将在较晚时刻于“下游某处出现。如何写出平面一维简谐波的波函数？ 须知三个条件： 1. 某参考点的振动方程( A, , ) 2. 波长 (或 u)u T 3. 波的传播方向15点 P以速度u 沿 x 轴正向传播的平面简谐波。取平衡位置在坐标原点o处的质元作参考，o点的振动表达式为：时间推迟方法，设任意一点 p 坐标为 x方法一：或由运动的重复关系点O 的振动状态16t 时刻点 P 的运动 时刻点O 的运动那么点P 振动方程: 波函数P*O17点 P 比点 O 落后的相位：P*O相位落后法由相位关系：P点

6、相位落后波源o的振动相位，所以就在o点振动表达式的根底上改变相位因子就得到了P的振动表达式解法二：18O点 P 振动方程: 波函数19 波动方程的其它形式波数波数-表示单位长度上波的相位变化 波动方程的复数表示20 质点的振动速度，加速度：211)向x轴负向传播向x轴正向传播平面谐波一般表达：负正号代表向 x 正负向传播的简谐波讨论222波的表达式的物理意义当坐标 x 确定(即考察波线上的某一点) 表达式变成t 关系 表达了 x 点的振动 如图：Ttox点的振动曲线23波线上各点的简谐运动图24 当时刻 t 确定(即某一瞬时) 表达式变成-x关系 表达了 t 时刻空间各 点移分布波形图 如图:

7、xot 时刻的波形曲线（空间周期）25 ab x = x2 - x1xu传播方向图中b点比a点的相位落后：从波形图可看出在同一时刻，距波源 o 分别为x1、x2两质点的相位差:记住！26当 x、t 都变化时 表达了波线上所有质元在各个时刻的位移，波函数表示波形沿传播方向的运动情况行波 如图：xot 时刻的波形曲线 亦称空间周期t + 时刻的波形曲线所以波动方程描述了波形的传播27OO 时刻时刻28 1波动方程？ 例1 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振幅 ， ， . 在 时坐标原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求 解 ： 写出波动方程的标准式O292求 波形图.

8、波形方程o2.01.0-1.0 时刻波形图303） 处质点的振动规律并做图 . 处质点的振动方程01.0-1.02.0O1234*1234处质点的振动曲线1.031 例2 一平面简谐波以速度 沿直线传播,波线上点 A 的简谐运动方程 .1以 A 为坐标原点，写出波动方程ABCD5m9m8m322以 B 为坐标原点，写出波动方程ABCD5m9m8m333写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程ABCD5m9m8m点 C 的相位比点 A 超前点 D 的相位落后于点 A 344分别求出 BC ，CD 两点间的相位差ABCD5m9m8m35一.机械波的能量 能量密度1. 机械波的能量每个质元振动所具有

9、的动能每个质元形变所具有的势能之和11.3 波的能量 和能流以沿 x 轴传播的平面简谐横波为例：质量质量线密度36质元振动的动能质元形变势能由波的表达式:(弹性势能 =弹性拉力作的功)二项式定理展开略高次项37线元总机械能:38 质元总能量振动系统：系统与外界无能量交换。波动质元：每个质元都与周围媒质交换能量。行波-通常指有振动状态和能量传播的波。与驻波区别讨论393、平均能量密度2、能量密度energy density：（特征）- 单位体积中波的能量- 一周期内能量密度的平均值402.平均能流二、能流密度(功率密度) 波的强度 1.能流 单位时间内通过某面积 的能量- 一周期内能流的平均值4

10、1二、 能流密度(功率密度) 波的强度 3.能流密度energy flux density 单位时间内垂直通过单位面积的能量(即通过单位面积的能流)4.平均能流密度也称波的强度(记住!)普适结论42 利用 和能量守恒，可以证明，对无吸收媒质，有：平面波球面波 柱面波 r 场点到波源的距离三、平面波和球面波的振幅能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。43例:在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变。所以： 证 介质无吸收，通过两个平面的平均能流相等.44例 证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数. 证 介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等.即式中 为离

11、开波源的距离， 为 处的振幅.45一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上媒质中某质元在负的最大位移处，那么它的能量是： ？1动能为零，势能最大；2动能为零，势能为零；3动能最大，势能最大；4动能最大，势能为零。2提示：自测题：46一平面简谐波，频率为300HZ，波速为340米/秒，在截面积为 的管内空气中传播，若在10秒内通过截面的能量为 ，求：（1）通过截面的平均能流；（2）波的平均能流密度；（3）波的平均能量密度？【解】：1通过截面的平均能流:自测题：472波的平均能流密度:3波的平均能量密度:4811.5 惠更斯原理Huygens principle 前面讨论了波动的根本概

12、念，现在讨论与波的传播特性有关的现象、原理和规律。 由于某些原因，波在传播中，其传播方向、频率和振幅都有可能改变。惠更斯原理给出的方法惠更斯几何作图法是一种处理波传播方向的普遍方法。49一、惠更斯原理1、 原理内容: 媒质中任意波面上的各点，都可看作是发射子波次级波的波源点源，其后的任一时刻，这些子波面的包络面包迹就是波在该时刻的波前。2、 原理的应用: t 时刻的波面 t+t 时刻的波面，从而可进一步给出波的传播方向。50t+t时刻波面ut波传播方向t 时刻波面平面波t + t球面波例如，均匀各向同性媒质内波的传播：ut51大量实验说明了惠更斯原理的正确性。缺乏:(1)不能正确说明某些波动现

13、象(如干预)；二. 波的衍射wave diffraction衍射：波传播过程中，当遇到障碍物时，能绕过障碍物边缘而偏离直线传播的现象。(2)没有说明各个子波在传播中对某一点的振动空究竟有多少奉献。52入射波衍射波障碍物入射波衍射波障碍物a例如：相对于波长而言，障碍物的线度越大衍射现象越不明显;障碍物的线度越小衍射现象越明显。波通过小孔波的衍射现象可用惠更斯原理解释。53一 波的叠加原理 几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征频率、波长、振幅、振动方向等不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样. 在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.1

14、1.6 波的叠加原理 波的干预54波的独立传播原理：有几列波同时在媒质中传播时，它们的传播特性波长、频率、波速、波形不会因其它波的存在而发生影响趣称：和平共处55细雨绵绵独立传播56 仍可辨出不同乐器的音色、旋律 红、绿光束空间交叉相遇红仍是红、绿仍是绿仍能分别接收不同的电台播送 听乐队演奏 空中无线电波很多波的叠加原理：在它们相遇处，质元的位移为各波单独在该处几列波可以保持各自的特点方向、振幅、波长、频率同时通过同一媒质，产生位移的矢量和。日常现象：57 叠加原理由波动方程的线性所决定，当波强度过大时 (如爆炸声,强激光) ，媒质形变与弹力的关系不再呈线性，叠加原理也就不再成立了。 对于电磁

15、波的情形：其解同样满足叠加原理。麦克斯韦方程组的各个方程都是线性的，那么如果 D = E 和 B = H 也是线性关系，E或H的每个分量的波动方程也是线性方程。附注:58二 、波的干预现象 波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布叫波的干预。水波盘中水波的干涉59频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干预现象.波的干预60 相干条件： 频率相同； 振动方向相同； 有恒定的相位差。能产生干预现象的波称干预波其波源称相干波源以下分析干预现象的产生及确定干预加强和减弱的条件?61设两相距很近的相干波假设两波源分别经r1

16、 , r2 , 到P点相遇,且振幅分别为A1 , A2，那么在P点引起的分振动分别是：*62相位差: P点合振动：合振幅强度加强、减弱条件：63 加强条件 (干预相长 ) 由知干预相长假设 A1 = A2 , 那么 Imax = 4 I1振动始终加强64 减弱条件 (干预相消)干预相消 假设 A1=A2 ,那么 Imin= 0干预是能量的重新分布振动始终减弱65 加强条件 减弱条件 20= 10特例：波程差相位差P70页例11.4即讨论仅因波程差引起的相位差其他66 例 如下图，A、B 两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点 A 为波峰时，点B 适为波谷.设波

17、速为10m/s，试写出由A、B发出的两列波传到点P 时干预的结果.解:15m20mABP 设 A 的相位较 B 超前，则 .点P 合振幅6711.7 驻波standing wave下面研究一种特殊的、常见的干预现象一、 驻波的形成能够传播的波叫行波travelling wave。两列振幅相等的相干的行波沿相反方向传播而叠加时，就形成驻波，它是一种常见的重要干预现象。驻波的形成682At = 0y0 x0t = T/8xx0t = T/20 xt = T/4波节波腹/4-/4x02A-2A/2xt = 3T/8069 设两列行波分别沿 x 轴的正向和反向传播，二、 驻波表达式 驻波的特点设在 x

18、 = 0 处两波的初相均为 0，那么：1、驻波表达式70yA合A2A1令如图 不具备传 播的特征表示各点都做简谐振动，振幅随位置不同而不同.上式不满足:.不是行波.驻波的振幅与位置有关各质点都在作同频率的简谐运动71波腹：振幅最大与干预加强条件得到的结果相同波节波腹72波节：振幅为零与干预减弱条件得到的结果相同始终不振动波节波腹732.驻波的特点：振幅各处不等大，波腹 (2A) , 波节(0)。振幅： 驻波是分段的振动，设两相邻波节间为一段,那么 相位中没有x 坐标，故相位并不传播驻波。相位：相邻波腹（节）间距 相邻波腹和波节间距74必一正一负。 相邻两段中各点振动 相位相反。为什么？因为，相

19、邻两段的同一段中各点振动相位相同；75合能流密度为平均说来没有能量的传播，但各质元间仍有能量的交换。能量由两端向中间传，瞬时位移为0，势能为0，能量由中间向两端传，动能最大。动能势能。 能量：势能动能。76例题：如图所示可以是某时刻的驻波波形,也可以是某时刻的行波波形,图中 为波长.就驻波而言, x1 , x2 两点间的相位差为_;就行波而言, x1 , x2 两点间的相位差_?y(m)x(m)A0-Ax1x277三、“半波损失0反射波 y1入射波 y1xn大 波密媒质n小 波疏媒质相对而言2波疏波密，反射波有相位突变，1波密波疏，反射波和入射波同相，无半波损失。半波损失78如以下图示：入射波

20、反射波另外一种描述：1反射端为自由端，无半波损失; 2反射端为固定端，有半波损失。79入射和反射波的波形如下：波腹相位不变波疏媒质波密媒质x驻波波节驻波相位突变 波疏媒质波密媒质x入射波入射波反射波反射波波密波疏波疏波密80 波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。如两端固定的弦，L或系统的固有频率或简正频率T 弦中的张力波速形成驻波必须满足以下条件： 弦的线密度四、两端固定的弦中的驻波81基频n =1二次谐频n =2三次谐频n =3 每种可能的稳定振动方式称作系统的一个固有振动或简正模式注意：驻波的波形和能量都“不传播，所以不是波动，而是一种特殊形式的振动。82一沿x轴方向传播的入射波的表达式

21、为 ，在x = 0处发生反射，反射点为一节点，求：（1）反射波的表达式；（2）驻波的表达式；（3）波节、波腹的位置坐标。【解】：例题P76页11.6（1）由题意知，波反射时有 的相位突变，所以反射波的表达式为832据波的叠加原理，驻波的表达式为：3形成波节的各点，振幅为零，那么：84即：形成波腹的各点，振幅最大，那么：位置坐标：85即：位置坐标：位置坐标如图示：86例题：沿弦线传播的一入射波在x=L处B点发生反射，反射点为自由端，设振幅不变，且反射波的表达式为 ，那么入射波的表达式为： ？y0LBx【解】：B为反射波的波源，其振动方程为：O为B点的波源，其振动方程为：87沿波线上任取一点，它到

22、参考点的距离为x，其振动方程为：88发射频率接收频率人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？ 接收频率单位时间内观测者接收到的振动次数或完整波数.只有波源与观察者相对静止时才相等.11.8 多普勒效应 (Doppler effect)89 多普勒效应：由于波源和观察者的运动，而使观测的频率不同于波源频率的现象。一、机械波的多普勒效应设 运动在波源 S 和观测者R的连线方向上，以二者相向运动的方向为速度的正方向。uvS 0vR 0SR(波的频率)（对媒质）（对媒质）（波源频率）（观测频率）90一 波源不动，观察者相对介质以速度 运动91此时，uSvS = 0RvRvR 0(R接近S)，vR 0R,S反向(彼此远离)运动，vs, vR0,故有:警车驶离观察者时,Vs 0,VR 0,那么上式为:(2)声波(警车)与客车上的观察者作同向运动时,观察者接收的频率为:101第1题. 一沿 x 轴负向传播的平面简谐波在t = 2s 时的波形曲线如下图,写出原点的振动