2023年高考数学(理数)一轮复习课时49《直线与圆锥曲线》达标练习（教师版）

1、2023年高考数学(理数)一轮复习课时49直线与圆锥曲线达标练习已知椭圆C：=1(ab0)的离心率为，其中左焦点为F(2,0).(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=xm与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2y2=1上，求m的值.【答案解析】解：(1)由题意，得解得椭圆C的方程为=1.(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由消去y得，3x24mx2m28=0，=968m20，2mb0)的焦距为4，且过点(，2).(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求的取值范围.【答案解析】解：(1)椭

2、圆C：=1(ab0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，2)，(0,2)，2a=4，所以a=2，b=2，即椭圆C的方程是=1.(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0,2)，F(0，2)，=8.若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y=kx2，点E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2k2)x24kx4=0，则x1x2=，x1x2=，所以=x1x2y1y2=(1k2)x1x22k(x1x2)4=4=8，因为010，所以82，综上所述，的取值范围是8,2.已知椭圆C：=1(ab0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径长的圆与直线y=x2相切，求椭圆C的焦点

3、坐标；(2)若过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，点P是椭圆C上使直线PM，PN的斜率存在的任意一点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，当kPMkPN=时，求椭圆C的方程.【答案解析】解：(1)由题意知，b等于原点到直线y=x2的距离，即b=，又2a=4，所以a=2，c2=a2b2=2，所以椭圆C的两个焦点的坐标分别为，.(2)由题意可设M(x0，y0)，N(x0，y0)，P(x，y)，则=1，=1，两式相减得=，又kPM=，kPN=，所以kPMkPN=，所以=，又a=2，所以b=1，故椭圆C的方程为y2=1.已知圆C：(x1)2y2=8，过D(1，0)且与圆C相切的动圆圆心为P

4、.(1)求点P的轨迹E的方程； (2)设过点C的直线l1交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l2交曲线E于R，T两点，且l1l2，垂足为W(Q，R，S，T为不同的四个点).设W(x0，y0)，证明：y1；求四边形QRST的面积的最小值.【答案解析】解：(1)设动圆半径为r，由于点D在圆C内，所以圆P与圆C内切，|PC|=2r，|PD|=r，|PC|PD|=2|CD|=2，由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，其中a=，c=1，b=1，故轨迹E的方程为y2=1.(2)由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，则有xy=1，又Q，R，S，T为不同的四个点，所以y1.若l1或l2的斜率不存在，四边形

5、QRST的面积为2.若两条直线的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l1的方程为y=k(x1)，由方程组，得(2k21)x24k2x2k22=0，则|QS|=2，同理得|RT|=2，所以SQRST=|QS|RT|=，当且仅当2k21=k22，即k=1时等号成立.综上所述，当k=1时，四边形QRST的面积取得最小值.已知抛物线C：y2=2px过点P(1，1).过点(0，)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.【答案解析】解：(1)由抛物线C：y2=2p

6、x过点P(1，1)，得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为x=.(2)证明：由题意，设直线l的方程为y=kx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).由得4k2x2(4k4)x1=0.则x1x2=，x1x2=.因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y=x，点A的坐标为(x1，x1).直线ON的方程为y=x，点B的坐标为.因为y12x1=0，所以y1=2x1.故A为线段BM的中点.已知F为抛物线E：y2=4x的焦点，过点P(0,2)作两条互相垂直的直线m，n，直线m交E于不同的A，B两点，直线n交E于不同的两点C，D，记直

7、线m的斜率为k.(1)求k的取值范围；(2)设线段AB，CD的中点分别为点M，N，证明：直线MN过定点Q(2,0).【答案解析】解：(1)由题设可知k0，所以直线m的方程为y=kx2，与y2=4x联立，整理得ky24y8=0.由1=1632k0，解得k.直线n的方程为y=x2，与y2=4x联立，整理得y24ky8k=0，由2=16k232k0，解得k0或k2.所以故k的取值范围为(，2).(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0).由得，y1y2=，则y0=，x0=，则M.同理可得N(2k22k，2k).直线MQ的斜率kMQ=，直线NQ的斜率kNQ=kMQ，所以直线MN过定点Q(2,0).已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2，若椭圆经过点，且PF1F2的面积为2（1）求椭圆C的标准方程；（2）设斜率为1的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于A,B两点，与椭圆C交于C,D两点，且|