实验一计算复变函数极限微分积分留数泰勒级数展开式学习教案

1、会计学1实验一计算复变函数极限微分积分留数泰实验一计算复变函数极限微分积分留数泰勒级数展开式勒级数展开式第一页，编辑于星期一：十九点 四十一分。1、MATLAB求复变函数极限求复变函数极限2、MATLAB求复变函数微分求复变函数微分3、MATLAB求复变函数积分求复变函数积分4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数求复变函数在孤立奇点的留数5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式求复变函数的泰勒级数展开式MATLAB实现内容实现内容第1页/共17页第二页，编辑于星期一：十九点 四十一分。1、MATLAB求复变函数极限求复变函数极限用函数用函数limit求复变函数极限求复变函数极限【Matl

2、ab源程序】 syms z f=;limit(f,z,z0) 返回极限结果返回极限结果例例1 求求 在在z=0的极限的极限 解解 syms z;f=z*exp(z)/(sin(z)limit(f,z,0)ans = 1zzezfzsin)(MATLAB基本命令基本命令第2页/共17页第三页，编辑于星期一：十九点 四十一分。. 例例2 设设 sin( )zfzz求0lim( )zf z1lim( )zif z .解解 【Matlab源程序】syms z f=sin(z)/z;limit(f,z,0)ans=1limit(f,z,1+i)ans=1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*s

3、in(1)*cosh(1)+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1)第3页/共17页第四页，编辑于星期一：十九点 四十一分。2、 MATLAB求复变函数微分求复变函数微分用函数用函数diff求复变函数极限求复变函数极限【Matlab源程序】 syms z f=（）; diff(f,z) 返回微分结果返回微分结果例例3设设 zfzzezfz 求,sin1)(解解 syms z f=exp(z)/(1+z)*(sin(z);diff(f) ans = exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)2/sin(z)-exp(z)/(1+z)/s

4、in(z)2*cos(z)第4页/共17页第五页，编辑于星期一：十九点 四十一分。3、 MATLAB求复变函数积分求复变函数积分(1)用函数用函数int求解非闭合路径的积分求解非闭合路径的积分.【Matlab源程序】syms z a bf=int(f,z,a,b) 返回积分结果返回积分结果例例 4 求积分60ii0 x1=ch3zdz; x2(1)dzzez解解 syms z x1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)x2=int(z-1)*exp(-z),z,0,i)结果为：结果为：x1 = -1/3x1 = -1/3* *i ix2 = -i/exp(i)x2 = -i/ex

5、p(i)第5页/共17页第六页，编辑于星期一：十九点 四十一分。(2) 用函数用函数int 求解闭合路径的积分求解闭合路径的积分.例例5 计算积分10| | 21d(i) (1)(3)zzzzz的值的值解解 【Matlab源程序源程序】 syms t z z=2*cos(t)+i*2*sin(t);f=1/(z+i)10/(z-1)/(z-3);inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)结果为结果为 inc =779/78125000*i*pi+237/312500000*pi若只输出若只输出6位有效数值位有效数值，使用语句使用语句 vpa(inc,6)结果为结果为 ans =.2

6、38258e-5+.313254e-4*i第6页/共17页第七页，编辑于星期一：十九点 四十一分。4、 MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数求复变函数在孤立奇点的留数（1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(z)都是按降幂排列的都是按降幂排列的 多项式多项式 用函数用函数residue求求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点的留数在孤立奇点的留数 【Matlab源程序源程序】 R,P,K= residue (B,A) 返回留数，极点返回留数，极点 说明：向量说明：向量B为为f(z)的分子系数；的分子系数； 向量向量A为为f(z)的分母系数；的分母系数； 向量向量R为留数；为留数；

7、向量向量P为极点位置；为极点位置； 向量向量k为直接项为直接项: 第7页/共17页第八页，编辑于星期一：十九点 四十一分。解解 R,P,K= residueR,P,K= residue(1,0,1,1,1)结果为：结果为：R= 2R= 2P = -1P = -1K = 1 -1K = 1 -1例例6 求函数112zz在奇点处的留数在奇点处的留数例例7 计算积分4d1Czzz 的值，的值，其中其中C C是正向圆周是正向圆周2z解解 先求被积函数的留数 R,P,K= residue (1,0,1,0,0,0,-1) 结果为：结果为： 第8页/共17页第九页，编辑于星期一：十九点 四十一分。R =

8、0.2500 0.2500 -0.2500 + 0.0000i -0.2500 - 0.0000iP = -1.0000 1.0000 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000iK = 可见在圆周可见在圆周2z内有四个极点内有四个极点,所以积分值等于所以积分值等于S=2S=2* *pipi* *i i* *sum(R)sum(R)结果为结果为S =0S =0故原积分故原积分第9页/共17页第十页，编辑于星期一：十九点 四十一分。（2 2）如果已知函数奇点）如果已知函数奇点z0z0的重数为的重数为m,m,则可用下面的则可用下面的MATLABMATLAB语句求出相应的留数语

9、句求出相应的留数R=limit(FR=limit(F* *(z-z0),z,z0) %(z-z0),z,z0) %单奇点单奇点R=limit(diff(FR=limit(diff(F* *(z-z0)m,z,m-1)(z-z0)m,z,m-1)/prod(1:m-1);z,z0) % m/prod(1:m-1);z,z0) % m重奇点重奇点例例8 求函数在孤立奇点处的留数在孤立奇点处的留数 zezzzzf233sin11 第10页/共17页第十一页，编辑于星期一：十九点 四十一分。解解 分析原函数可知分析原函数可知：0z 是三重奇点，是三重奇点，syms zf=sin(z+pi/3)*exp

10、(-2*z)/(z3*(z-1)R=limit(diff(f*z3,z,2)/prod(1:2),z,0)结果为：结果为：R = -1/4*3(1/2)+1/2 ;limit(f*(z-1),z,1)ans = 1/2*exp(-2)*sin(1)+1/2*exp(-2)*cos(1)*3(1/2)MATLAB语句分别求出这两个奇点的留数语句分别求出这两个奇点的留数1z是单奇点，因此可以直接使是单奇点，因此可以直接使用下面的用下面的第11页/共17页第十二页，编辑于星期一：十九点 四十一分。5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式求复变函数的泰勒级数展开式（1）用函数）用函数taylor求求

11、f(z)泰勒级数展开式泰勒级数展开式【Matlab源程序源程序】 syms z f= Taylor(f,z0) 返回返回f(z)在点在点z0泰勒级数展开式泰勒级数展开式例例9 求函数求函数f=1/(z-b)在点在点z=a泰勒级数展开式前泰勒级数展开式前4项项 syms z a b; f=1/(z-b); taylor(f,z,a,4) ans = 1/(a-b)-1/(a-b)2*(z-a)+1/(a-b)3*(z-a)2 -1/(a-b)4*(z-a)3第12页/共17页第十三页，编辑于星期一：十九点 四十一分。 （2）求二元函数）求二元函数z=f(x,y)在点（在点（x0,y0）的泰勒级数

12、）的泰勒级数 展开式展开式. 【Matlab源程序源程序】 syms x y; f=(); F=maple(mtaylor,f,x,y,m) 返回在返回在(0,0)点处点处 的泰勒级数展开式的前的泰勒级数展开式的前m项项. F=maple(mtaylor,f,x=x0,y=y0,m) 返回在返回在 (x0,y0)点处的泰勒级数展开式的前点处的泰勒级数展开式的前m项项. F=maple(mtaylor,f,x=a,m) 返回对单变量返回对单变量 在在x=a处的泰勒级数展开式的前处的泰勒级数展开式的前m项项.第13页/共17页第十四页，编辑于星期一：十九点 四十一分。 例例10 求函数求函数222

13、( , )(2 )xyxyzf x yxx e在原点在原点(0(0，0)0)，以及（，以及（1 1，a a）点处的）点处的TaylorTaylor展式展式【Matlab源程序源程序】 syms x y; f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); maple(mtaylor,f,x,y,4) 在在(0,0)点处的泰勒级数展开式：点处的泰勒级数展开式： ans = -2*x+x2+2*x3+2*y*x2+2*y2*x 第14页/共17页第十五页，编辑于星期一：十九点 四十一分。maple(mtaylor,f,x=a,2) 在在x=a处泰勒级数展开式：处泰勒级数展开式：ans = (a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)+(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)*(-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a2-y2-a*y)*(x-a)maple(mtaylor,f,x=1,y=a,2) 在在(1,a)点处的泰勒级数展开式：点处的泰勒级数展开式：ans = -exp(-1-a-a2)-exp(-1-a-a2)*(-2-a)*(x-1)-exp(-1-a-a2)*(-2*a-1)*(y-a)第15页/共17页第十六页，编辑于星期一：十九点 四十一分