D115对坐标曲面积分35203学习教案

1、会计学1D115对坐标曲面对坐标曲面(qmin)积分积分35203第一页，共27页。其方向用法向量(xingling)指向方向(fngxing)余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,侧的规定表示 :其面元在 xoy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共27页第二页，共27页。1. 引例引例 设稳定设稳定(wndng)流动的不可压缩流体的速度流动的不可压缩流体的速度场为场为求单位时间(shjin)流过有向曲面 的流量 . 分析分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量法向量: 流速为常向量: ),(),(),(

2、zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS nvSnv机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共27页第三页，共27页。用“大化小, 常代变, 近似(jn s)和, 取极限” ni 1ni 1对稳定流动的不可压缩(y su)流体的速度场),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 进行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共27页第四页，共27页。设 为光滑(gung hu)的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部(jb)面元上任意取点,分,记作P, Q, R 叫做(jiozu)被

3、积函数; 叫做积分曲面积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共27页第五页，共27页。引例中, 流过有向曲面 的流体(lit)的流量为称为Q 在有向曲面(qmin)上对 z, x 的曲面(qmin)积分;称为R 在有向曲面(qmin)上对 x, y 的曲面(qmin)积分.称为P 在有向曲面上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;若记 正侧正侧的单位法向量为令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxz

4、zySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共27页第六页，共27页。(1) 若之间无公共(gnggng)内点, 则(2) 用 表示(biosh) 的反向曲面, 则 SA dSASAddiSA dSnAdSA d机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共27页第七页，共27页。定理定理(dngl): 设光设光滑曲面滑曲面取上侧,是 上的连续函数, 则证证:0limni 1 取上侧,0limni 1yxzyxRdd),(机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共27页第八页

5、，共27页。 若则有 若则有(前正后负)(右正左负)说明说明(shumng):如果积分(jfn)曲面 取下侧, 则yxdd机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共27页第九页，共27页。其中 是以原点为中心(zhngxn), 边长为 a 的正立方体的整个表面(biomin)的外侧.解解: 利用对称性.原式 的顶部 取上侧 的底部 取下侧xzy机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共27页第十页，共27页。解解: 把把 分为上下分为上下(shngxi)两部分两部分根据对称性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法下述解法(ji f)是否正是否正确确:其中 为球面外侧在第一和

6、第八卦限部分. ozyx1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共27页第十一页，共27页。ozyx112yxD机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第11页/共27页第十二页，共27页。的外侧(wi c) , 计算解解: 利用利用(lyng)轮换对称性轮换对称性, 有有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共27页第十三页，共27页。xziiiiSQ)(,(0lim0limni 1曲面的方向用法(yn f)向量的方向余弦刻画机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页第十四页，共27页。令向量(xingling)形式),(RQPA)cos,cos,

7、(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页第十五页，共27页。解解:。q)(),(22233zyxrzyxrqrrqE求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 .SE dSnEdSrrdrrq3机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共27页第十六页，共27页。yxz111是其外法线(f xin)与 z 轴正向夹成的锐角(rujio), 计算解解: n机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共27页第十七页，共27页。其中(qzhn

8、g)解解: 利用两类曲面利用两类曲面(qmin)积分的联系积分的联系, 有有oyxz2 原式 =旋转抛物面介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共27页第十八页，共27页。oyxz2原式 =机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共27页第十九页，共27页。定义定义(dngy):1. 两类曲面积分两类曲面积分(jfn)及其及其联系联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共27页第二十页，共27页。联系联系(linx):思考思考(sko):的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?两类曲线积分的定义一个与 的

9、方向无关, 一个与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共27页第二十一页，共27页。面积(min j)分第一类 (对面积(min j)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共27页第二十二页，共27页。时，（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上(min shn)的二重积分转化公式 .机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第22页/共27页第二十三页，共27页。1. P167 题2提示提示(tsh): 设设则 取上侧时, 取下侧时,yxzyxRdd),(02. P184 题 13. P167 题3(3)机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共27页第二十四页，共27页。是平面(pngmin)在第四卦限部分(b fen)的上侧 , 计算提示提示(tsh):求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分作业作业 P167 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2)第六节 目录 上页 下页 返回 结