D672对坐标曲面积分学习教案

1、会计学1D672对坐标曲面对坐标曲面(qmin)积分积分第一页，共29页。其方向(fngxing)用法向量指向方向(fngxing)余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,侧的规定表示 :其面元在 xOy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定第1页/共29页第二页，共29页。1. 引例引例(yn l) 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位(dnwi)时间流过有向曲面 的流量 . 分析分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量法向量: 流速为常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(co

2、snvcosvS nvSnv第2页/共29页第三页，共29页。用“大化(d hu)小, 常代变, 近似和, 取极限” ni 1ni 1对流动(lidng)的不可压缩流体的速度场),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 进行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设, 则 第3页/共29页第四页，共29页。设 为光滑的有向曲面(qmin), 在 上定义了一个意分割和在局部(jb)面元上任意取点,下列(xili)极限都存在向量场),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若对 的任 其中( ,)iiiiM ()(cos,cos,cos)niiiie M分,记作或第二类

3、曲面积分.则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积0lim1ni()()iniiA Me MS第4页/共29页第五页，共29页。如果(rgu)记 称为曲面面积称为曲面面积(min j)微元向量微元向量它可看做是曲面在M点处指向曲面给定侧的一个法向量，其长度在数量上等于(dngy)面积微元dS的值 .于是这是第二类曲面积分的向量形式。在直角坐标系下，0lim1ni()()iniiA Me MS0limni 10lim1ni()()iniiA Me MS其中dS=| |dS第5页/共29页第六页，共29页。而而 记记() dA MS 于是，第二类曲面积分于是，第二类曲面积分(jfn)也可

4、写作以下坐标形式，也可写作以下坐标形式，上式右端是三个积分的组合，也可以单独上式右端是三个积分的组合，也可以单独(dnd)出现。出现。第6页/共29页第七页，共29页。引例中, 流过有向曲面(qmin) 的流体的流量为称为(chn wi)Q 在有向曲面 上对 z, x 的曲面积分;称为(chn wi)R 在有向曲面 上对 x, y 的曲面积分.称为P 在有向曲面 上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;第7页/共29页第八页，共29页。(1) 若之间无公共(gnggng)内点, 则(2) 用 表示 的反向(fn xin)曲面, 则SA dSASAddiSAd(3) 若有向闭曲面 所围成的空间区

5、域V被另一位于V内部的曲面分成了V1，V2，其边界曲面记作 1， 2，则第8页/共29页第九页，共29页。xziiiiSQ)(,(0lim0limni 1曲面的方向用法向量的方向余弦(yxin)刻画第9页/共29页第十页，共29页。定理定理(dngl): 设光滑曲面设光滑曲面取上侧,是 上的连续函数, 则证证:yxzyxRdd),(注意(zh y)到yxzyxRdd),(直角坐标网划分有yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd第10页/共29页第十一页，共29页。 若则有 若则有(前正后负)(右正左负)说明说明(shumng):如果积分(jfn)曲面 取下侧, 则yxdd

6、第11页/共29页第十二页，共29页。其中(qzhng) 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面(biomin)的外侧.解解: 利用对称性.原式 的顶部 取上侧 的底部 取下侧xzyO第12页/共29页第十三页，共29页。解解: 把把 分为上下分为上下(shngxi)两部分两部分根据对称性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法是否下述解法是否(sh fu)正确正确:其中 为球面外侧在第一和第八卦限部分. zyx1O第13页/共29页第十四页，共29页。zyx1O12yxD第14页/共29页第十五页，共29页。的外侧(wi c) , 计算解解: 利用利用(lyng)轮换对称性轮换对称

7、性, 有有第15页/共29页第十六页，共29页。yxz111是其外法线(f xin)与 z 轴正向夹成的锐角(rujio), 计算解解: n第16页/共29页第十七页，共29页。其中(qzhng) 解解: 利用两类曲面积分利用两类曲面积分(jfn)的联系的联系, 有有yxz2 原式 =旋转抛物面介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. )(2xz第17页/共29页第十八页，共29页。 原式 =)( x)(2xzyxzddO2原式 =第18页/共29页第十九页，共29页。其中其中S为球面为球面 在第一卦限的部在第一卦限的部分与各坐标面所围成立体表面分与各坐标面所围成立体表面(biom

8、in)的外侧的外侧.答案答案(d n)：第19页/共29页第二十页，共29页。第20页/共29页第二十一页，共29页。第21页/共29页第二十二页，共29页。第22页/共29页第二十三页，共29页。定义定义(dngy):1. 两类曲面积分两类曲面积分(jfn)及其联系及其联系 第23页/共29页第二十四页，共29页。联系联系(linx):思考思考(sko):的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ?两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与第24页/共29页第二十五页，共29页。面积(min j)分第一类 (对面积(min j)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化第25页/共29页第二十六页，共29页。时，（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑(kol)在 yO