D85对弧长曲线积分学习教案

1、会计学1D85对弧长曲线对弧长曲线(qxin)积分积分第一页，共23页。一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念(ginin)与与性质性质二、对弧长的曲线二、对弧长的曲线(qxin)积分的计积分的计算法算法对弧长的曲线(qxin)积分 第 八章 上页 下页第1页/共23页第二页，共23页。AB弧段为弧段为AB , 其线密度其线密度(md)为为的方法的方法,可得可得为计算此构件的质量为计算此构件的质量, ,ks1kMkM1.1.引例引例: 曲线形构件的质量曲线形构件的质量采用采用上页 下页“分割、近似代替、求和、取极限分割、近似代替、求和、取极限” ),(zyx注意注意:是定义在是定

2、义在弧段弧段AB上的函数上的函数. 第2页/共23页第三页，共23页。设设 是空间是空间(kngjin)中一条有限长的光滑曲线中一条有限长的光滑曲线,义在义在 上的一个上的一个(y )有界函数有界函数, 都存在都存在(cnzi), 上上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分, 记作记作若通过对若通过对 的的任意分割任意分割局部的局部的任意取点任意取点, 下列下列“乘积和式极限乘积和式极限”则称此极限为函数则称此极限为函数在曲线在曲线或或第一类曲线积分第一类曲线积分. ),(zyxf称为称为被积函数，被积函数， 称为称为积分弧段积分弧段 .nk 10limks1kMkM),(kkk和对和对上页 下页第

3、3页/共23页第四页，共23页。如果如果(rgu) L 是闭曲线是闭曲线 , 则记为则记为则定义则定义(dngy)对弧长的曲线积对弧长的曲线积 分为分为思考思考: (1) 若在若在 L 上上 f (x, y)1, (2) 定积分是否可看作对弧长的曲线积分的特例定积分是否可看作对弧长的曲线积分的特例 ? 否否! 对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中但定积分中dx 可能为负可能为负.上页 下页第4页/共23页第五页，共23页。3.3.对弧长的曲线积分的物理对弧长的曲线积分的物理(wl)(wl)意义和几何意义意义和几何意义 物理物理(wl)(wl)意义意义 表示弧表示弧的

4、线密度的线密度. . ( , , )f x y z其中其中几何几何(j h)(j h)意义意义 表示表示的弧长的弧长. . ds曲线形构件的质量曲线形构件的质量, 4. 性质性质（k 为常数为常数) ( 由由 组成组成) 21, 上页 下页表示表示 第5页/共23页第六页，共23页。基本思路基本思路:计算计算(j sun)定积分定积分转转 化化定理定理(dngl):且且上的连续函数上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧是定义在光滑曲线弧则曲线积分则曲线积分求曲线积分求曲线积分根据定义根据定义 kknkksf),(lim10上页 下页第6页/共23页第七页，共23页。点点设各分点对应设各分点对应

5、(duyng)参数为参数为对应对应(duyng)参数为参数为 则则nk 10lim上页 下页第7页/共23页第八页，共23页。xdydsdxyoLsyxfd),(说明说明(shumng):因此因此(ync)积分限必须满足积分限必须满足(2) 注意注意(zh y)到到 x因此上述计算公式类似于因此上述计算公式类似于“换元法换元法”. 因此因此上页 下页第8页/共23页第九页，共23页。则有则有如果如果(rgu)方程为极坐标形式方程为极坐标形式:则则syxfLd),(推广推广: 设空间设空间(kngjin)曲线弧的参数方程为曲线弧的参数方程为则则上页 下页第9页/共23页第十页，共23页。上页 下

6、页由上述定理得对弧长的曲线积分的一般由上述定理得对弧长的曲线积分的一般(ybn)(ybn)计算步骤如下计算步骤如下: : 第一步第一步 画出积分曲线画出积分曲线(qxin)L(qxin)L的草图；的草图； 第二步第二步 写出写出L L的方程的方程(fngchng); (fngchng); 第三步第三步 化为定积分化为定积分; ; 作法作法：L L的方程形式代入的方程形式代入, ,弧微分用同一形式的表达式代入弧微分用同一形式的表达式代入; ; 把被积函数中的把被积函数中的x,y用积分曲线用积分曲线 变量参数化变量参数化: : 一类小放下一类小放下: : 化为定积分时要用参数的最小值化为定积分时要

7、用参数的最小值 作为作为定积分的下限定积分的下限. .第四步第四步 计算定积分计算定积分. . (L的方程形式决定定积分形式的方程形式决定定积分形式 ) 第10页/共23页第十一页，共23页。其中其中(qzhng) L 是抛物线是抛物线与点与点 B (1,1) 之间的一段弧之间的一段弧 . 解解:上点上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B上页 下页第11页/共23页第十二页，共23页。其中其中(qzhng) L 是是所围成的扇形的整个所围成的扇形的整个(zhngg)边界边界 . 上页 下页解解 由图可知由图可知(k zh) (k zh) 在在 上，上，在在 上上, , 故故

8、 222xyAxyyxo) 1 , 1 (B例例2. 求求 故故 .LOAABOBAB第12页/共23页第十三页，共23页。在在 OB上，上， 综上所述，得综上所述，得 222xyAxyyxo) 1 , 1 (B故故 上页 下页第13页/共23页第十四页，共23页。上页 下页例例3. 计算计算(j sun)其中其中(qzhng) L 是抛物线是抛物线A(1,2)到到点点 B (1,-2) 之间的一段弧之间的一段弧 . 上从点上从点解解 为了得到为了得到(d do)(d do)单值函数单值函数, ,应把应把 的方程写成的方程写成 因此因此 ( (因为被积函数为奇函数因为被积函数为奇函数). ).

9、 1Lxy24yxo(1,2)A(1,2)B第14页/共23页第十五页，共23页。其中其中(qzhng)为螺旋为螺旋的一段弧的一段弧.解解: 线线上页 下页第15页/共23页第十六页，共23页。其中其中(qzhng)为球面为球面解解: 化为参数化为参数(cnsh)方程方程 则则 上页 下页第16页/共23页第十七页，共23页。其中其中(qzhng)为球面为球面 被平面被平面 所截的圆周所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知由对称性可知(k zh)上页 下页第17页/共23页第十八页，共23页。1. 定义定义(dngy)2. 性质性质(xngzh)kknkksf),(lim10Lsyxfd),( l 曲线弧曲线弧 的长度的长度)上页 下页第18页/共23页第十九页，共23页。 对光滑对光滑(gung hu)曲线弧曲线弧Lsyxfd),( 对光滑对光滑(gung hu)曲线弧曲线弧Lsyxfd),(Lsyxfd),( 对光滑曲线弧对光滑曲线弧xx d)(12上页 下页第19页/共23页第二十页，共23页。1. 已知椭圆已知椭圆(tuyun)周长周长(zhu chn)为为a , 求求提示提示:原式原式 =o22yx3利用对称性利用对称性xyd1222分析分析:上页 下页第20页/共23