D3_4凹凸性与曲率

1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节主要内容主要内容:二、二、 弧微分弧微分 三、三、 曲率及其计算公式曲率及其计算公式 函数的凹凸性与平面曲线的曲率 第三三章 一、曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性与拐点目录 上页 下页 返回 结束 AB定义定义 . 设函数)(xf在区间 I 上连续 ,21Ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称的)(xf图形是凸凸的 .一、曲线的凹凸与拐点一、曲线的凹凸与拐点yOx2x1x221xx yOx2x1x221xx 连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点

2、.yOx拐点目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.(凹凸判定法)(xf(1) 在 I 内,0)( xf则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;(2) 在 I 内,0)( xf则 f (x) 在 I 内图形是凸的 .证证:,21Ixx利用一阶泰勒公式可得)()(1fxf)()(2fxf两式相加22!21)(12xx )()(21ff ,0)(时当 xf说明 (1) 成立; (2) 设函数在区间I 上有二阶导数证毕,221xx 记)(f )(1x)(f )(2x!2)(2f 22)(x!2)(1f 21)(x)(2)()(21fxfxf),(2)()(21fxfxf目录 上页 下页 返回 结束

3、xyO例例1. 判断曲线4xy 的凹凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x, 0 y故曲线4xy 在),(上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy ,0连续在点x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 两侧异号异号,0 x则点)(,(00 xfx是曲线)(xfy 的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号,目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求曲线3xy 的拐点. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此点 ( 0 , 0 ) 为曲

4、线3xy 的拐点 .Oxy凹凸目录 上页 下页 返回 结束 xxy24362 )(3632xx对应271121,1yy例例3. 求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点.解解: 1) 求y ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标令0 y得,03221xx3) 列表判别)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上是凹的,是凸的 , 点 ( 0 , 1 ) 及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0(),(271132xyO目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 弧微分弧微分)(xfy 设在(a , b)内有连续导数, 其

5、图形为 AB,弧长)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxO)(xfy ABabxyxMxxMy1lim0MMMMx目录 上页 下页 返回 结束 则弧长微分公式为tyxsdd22 )(xs2)(1yxysd)(1d2或22)(d)(ddyxsOxxdxdxyxMydT几何意义几何意义:sdTM;cosddsxsinddsy若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx的导数数表示对参tx 目录 上页 下页 返回 结束 三、曲率及其计算公式三、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,s对应切线,定义弧段 上的平

6、均曲率ssKMMs点 M 处的曲率sKs0limsdd注意注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !转角为目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示 ,RssKs0limR1可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .sRMM目录 上页 下页 返回 结束 有曲率近似计算公式,1时当 yytan)22(设y arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyK yK 又曲率曲率K 的计算公式的计算公式)(xfy 二阶可导,设曲线弧则由目

7、录 上页 下页 返回 结束 说明说明: (1) 若曲线由参数方程)()(tyytxx给出, 则23)1(2yyK (2) 若曲线方程为, )(yx则23)1(2xxK 23)(22yxyxyxK 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,处的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO点击图片任意处播放暂停说明说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须连续变化 , 因此铁道的曲率应连续变化 . 目录 上页 下页 返回 结束 Oyx例例5. 我国铁路常用立方抛物

8、线361xlRy 作缓和曲线,且 l R. 处的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点解解:,0时当lxRl20 xlRy1 yK xlR1显然;00 xKRKlx1221xlRy RB361xlRy l目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求椭圆tbytaxsincos)20( t在何处曲率最大?解解:故曲率为 ba23)cossin(2222tbta;sintax;costby taxcos tbysin 23)(22yxyxyxK K 最大tbtatf2222cossin)(最小22( )2sin cos2co

9、s sinf tattbtttba2sin)(22求驻点: 目录 上页 下页 返回 结束 ,0)( tf令,0t得,2,232,设tbatf2sin)()(22t)(tf022322b2b2a2b2a从而 K 取最大值 .这说明椭圆在点,0ab 时则2,0t)0,(a处曲率计算驻点处的函数值:yxbaba,)( 取最小值tf最大.OK 最大tbtatf2222cossin)(最小目录 上页 下页 返回 结束 四、四、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径TyxO),(DR),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线KRDM1把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率

10、圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使目录 上页 下页 返回 结束 设曲线方程为, )(xfy 且,0 y求曲线上点M 处的曲率半径及曲率中心),(D设点M 处的曲率圆方程为222)()(R故曲率半径公式为KR1 23)1 (2yy 满足方程组,222)()(Ryx),(在曲率圆上yxM)(MTDM yyx的坐标公式 .TyxOR),(yxMC),(D目录 上页 下页 返回 结束 满足方程组,222)()(Ryx),(在曲率

11、圆上yxM)(MTDM yyx由此可得曲率中心公式yyyx )1 (2yyy 21(注意y与y 异号 )当点 M (x , y) 沿曲线 )(xfy 移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线渐屈线 ,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线渐伸线 .屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停TyxOR),(yxMC),(D目录 上页 下页 返回 结束 Oyxab例例7. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为tbytaxsincos),20(abx由例3可知, 椭圆在)0,( a处曲率

12、最大,即曲率半径最小, 且为 R23)cossin(2222tbtaba0tab2显然, 砂轮半径不超过时，ab2才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.例例3目录 上页 下页 返回 结束 ( 仍为摆线 )sin( a)cos1 ( a例例8. 求摆线)cos1 ()sin(tayttax的渐屈线方程 . 解解:xyy,cos1sinttxyyt)(dd 2)cos1 (1ta代入曲率中心公式,)sin(tta) 1(cos ta得渐屈线方程 ,t令aa2摆线 Oyyyx )1 (2yyy 21摆线OyxM摆线目录 上页 下页 返回 结束 摆线摆线半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时,

13、点击图中任意点动画开始或暂停MyxtaO其上定点 M 的轨迹即为摆线 .)sin(ttax)cos1 (tay参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结)(xf1.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf ,0)(Ixxf ,0)(+拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点曲线在 I 上是凹的曲线)(xf在 I 上是凸的目录 上页 下页 返回 结束 2. 弧长微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs3. 曲率公式sKdd23)1 (2yy 4. 曲率圆曲率半径KR1yy 23)1 (2曲率中心yyyx )1 (2yyy 21目录 上页 下页 返回 结

14、束 .),(21)e1,(21211. 曲线2e1xy的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:)21 (e222xyx ),(2121),(21及及yOx)e1,(2121)e1,(2121 ; ;第五节 思考与练习思考与练习目录 上页 下页 返回 结束 2. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答答: 有公切线 ;凹向一致 ;曲率相同.3. 求双曲线1yx的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?解解:,12xy,23xy 则 R23)1 (2yy 234)1 (1x32x232)(1221xx 利用baba2222.21为最小值显然xRO11yx目录 上页 下页 返回 结束 112xxy有位于一直线的三个拐点.1. 求证曲线 证明：证明： y y222) 1(21xxx3223) 1() 133(2xxxx32) 1()32)(32)(1(2xxxx备用题备用题xxx2) 1() 1(222) 1(x42) 1(x)22(x22) 1(x)21 (2xx ) 1(22xx2目录 上页 下页 返回 结束 令0 y得,11x, )1,1(从而三个拐点为因为32所以三