高等数学-导数习题答案教学文稿

1、导数导数(do (do sh)sh)习题习题 2014. 12. 11第一页，共30页。例例 1. 设设求求21 sin , 0( ) 0 , 0 .xxf xxx 若若因此因此(ync)，解：解：( ) .fx0 , x 而而 0( )(0)(0)limxf xffx 2 0sin(1)limxxxx 0 . 思考思考(sko)： (0) = ?f 0lim( )xfx 是否是否(sh fu)存在？存在？导函数的单侧极限导函数的单侧极限与与单侧导数单侧导数不是同一概念。不是同一概念。则则).1cos()1sin(2)( xxxxf . 0 0, 0 ),1cos()1sin(2 )( xxx

2、xxxf第二页，共30页。例例 2. 设设 ,) 2( ) 1( ) 4( ) 3( )( xxxxxxf求求解：解： 3d , ( ) .xffx 3( )(3)(3)lim3xf xffx 3( )lim3xf xx )2( ) 1( 4lim3 xxxxx.61 .d 61| d3xfx |2|ln| 1|ln|ln|4|ln|3|ln| )(|ln xxxxxxf上式两边上式两边(lingbin)同同时求导得时求导得 211114131 )()( xxxxxxfxf . 211114131)()( xxxxxxfxf第三页，共30页。例例 3. 设设且在某且在某(1)6 , (1)2

3、, fg 解：解：( ) g x(1, )U 内内单调单调(dndio)，求求 1( )(1)lim. ( )(1)xf xfg xg 1 1( )(1)( )(1)1limlim( )(1)( )(1)1xxf xff xfxg xgg xgx 1 1( )(1)lim1( )(1)lim1xxf xfxg xgx (1)(1)fg 3. 第四页，共30页。例例 4. 设设( )f x解：解：求求 ( ) ( ) ( ) ( )limxax f ax f xx f xa f xIx a ( )( ). a faf a ( ) ( )( ) ()limxax f af xf xx ax a (

4、 ) ( )limlim( ) xaxax f af xf xx a 在在xa 可导，可导，.)( )( lim axxfaafxIax 第五页，共30页。练练 1. 设设求求( ) | | , f xx x 若若因此因此(ync)，解：解：( ) .fx0 , x ( )2 ; fxx 而而 0 ( )(0)(0)limxf xffx 2 0 limxxx 0 . 2 , 0( ) 2 , 0 xxfxxx 则则若若0 , x ( )2 ; fxx 则则 0 ( )(0)(0)limxf xffx 2 0 limxxx 0 . 2 | | . x 设设( ) |sin | sin , g x

5、xx ( )? g x 2 |sin |cos . xx 第六页，共30页。设设可导可导, 求求2( ) sin () , g xf x 解：解：( ) .g x例例 5. ( )f x22( )cos () ()(2 ) g xf xfxx 222 cos () () . xf xfx 例例 6. 设设求求2 1 cos , xtyt 解：解： 22d .d yx记记而而故故.2sind 2d sin ddttttttxy ,2sin)(tttg ,d)( d dd22xtgxy ,d 2sincos)( d2ttttttg .4cossind)( d dd322ttttxtgxy 第七页，

6、共30页。例例 7. 曲线曲线(qxin)( )yf x 解：解：求求由方程由方程(fngchng)2cos()1x yexye 确定确定(qudng)，在点在点(0,1)的切线方程。的切线方程。方程两边对方程两边对 x 求导得求导得2( 2) sin()(1)0.x yeyxyy 令令 x = 0 得得 (0) 20 , e y 即即(0)2.y 所求切线方程为所求切线方程为1 2 .yx 练练 2. 函数函数( )yf x 答：答：求求由方程由方程 2x yxy 确定，确定， 0d .xf 0d = ( ln2 1 ) d .xfx 第八页，共30页。设设求求解：解：例例 8. , 1)(

7、2xxxf . )0()(nf)(1 112nnxoxxxx 112x )(xf .12 , 1 2 , 0 ! )0()( knknnfn .12 , ! 2 , 0 ) 0()( knnknfn)(12242nnxoxxx )(121253 nnxoxxxx第九页，共30页。设设求求解：解：练练 3. , )(25xexxf . )0()11(f)(! ! 21 2nnxxonxxxe )(! ! 2 )(5252975 nnxonxxxxxf)(! ! 21 22422nnxxonxxxe .! 311! )0()11( f第十页，共30页。练练 4. 设设是是)(xf) , ( 内具有

8、任意内具有任意(rny)阶导数的奇函阶导数的奇函数，数，求求解：解：故故)()2(xfn也是奇函数。也是奇函数。 , )0()2( nf其中其中(qzhng). Zn是奇函数，是奇函数，)(xf因此因此. 0)0()2( nf奇函数的麦克劳林公式奇函数的麦克劳林公式(gngsh)没有偶次幂项没有偶次幂项。偶函数的麦克劳林公式没有奇次幂项。偶函数的麦克劳林公式没有奇次幂项。第十一页，共30页。例例 9. 函数函数(hnsh)在在 1ln)( exxxf) , 0( 内零点内零点(ln din)的个的个数为？数为？解：解：.11)( exxf 令令 0)( xf得得 . ex 当当 0ex 时时

9、, 0)( xf当当 ex 时时 , 0)( xf而而 ,)( lim0 xfx因此因此(ync)零点个数零点个数为为 2. , 1)( ef , 04)( 23 eef第十二页，共30页。练练 5. 设设则则( ) (1) (2) (3) (4) , f xx xxxx 解：解： )( xf共有共有(n yu)几几个零点个零点(ln din)？根据根据(gnj)罗尔定罗尔定理，理， )( xf至少有至少有 4 个零点，个零点，分别在区间分别在区间)4 , 3( ),3 , 2( ),2 , 1 ( ),1 , 0(内。内。 )( xf是是 4 次多项式，次多项式，零点不超过零点不超过 4 个

10、，个， 因此其零点共有因此其零点共有 4 个。个。第十三页，共30页。例例 10. 求求.)sin( lim210 xxxxI 解：解：.61 )sinln()1(0 2limxxxxeI )sinln()1(lim20 xxxxe sincossin21lim20 xxxxxxxx 30 2sincoslimxxxxx 333220 2)(6)(21limxxoxxxoxxx 20 )sinln(limxxxx而而故故.61 eI第十四页，共30页。练练 6. 求求. )1cos()2(sin lim xxxxI 解：解：)1cos()2sin(ln limxxxxeI 故故.2eI )1c

11、os()2sin(lnlim xxxxe 而而 )1cos()2sin(lnlim xxxx cos)2lnsin(lim0 tttt cos)2sin(sin)2cos(2lim0 ttttt . 2 第十五页，共30页。例例 11. 设设 )( lim0 xfx解：解：),(lim2111)(0 xfexxfxx 存在存在(cnzi)，且有，且有求求 . )( lim0 xfx设设 , )( lim0 Axfx ,2)111(lim0 AexAxx 则则 )111(lim0 xxexA )1( 1lim0 xxxexxe 1lim20 xxexx 21lim0 xexx . 21 第十六页

12、，共30页。另附若干基本计算另附若干基本计算(j sun)与证明（答案后附与证明（答案后附）练练 1. 讨论讨论(toln) ) 1( 2 )(23 xxxf的单调的单调(dndio)性、极值、凹凸性、极值、凹凸性、拐性、拐点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。练练 2. 求求xxxf 1 )(在在1 , 5 上的最值。上的最值。练练 3. 求数列求数列nn的最大项。的最大项。练练 4. a取何值时取何值时在在xxaxf3sin31sin )( 3 x取得极值？取得极值？是极大值还是极小值？是极大值还是极小值？第十七页，共30页。练练 5. 求下列求下列(

13、xili)极限极限 2cot lim )1(0 xxx )1( lim )3()(1sin1 xxxx lim )4( sin0 xxx )cot 1( lim )2(220 xxx 1 lim )6(2 xxx sin1 lim )5(630 3xxexx 第十八页，共30页。练练 6. 设设)(xf可导，证明可导，证明(zhngmng)在在)(xf的两个的两个(lin )零点之零点之间必有间必有)( )(xfxxf 的零点的零点(ln din)。练练 7. 设设)(xf在在1 , 1 上具有三阶连续导数，且上具有三阶连续导数，且. 0)0( , 1)1( , 0 1)( fff证明存在证明

14、存在)1 , 1( 使得使得. 3)( f练练 8. 若若)(xf在开区间在开区间 I 内连续内连续, 且有唯一的极值点，且有唯一的极值点，则该极值点必是最值点。则该极值点必是最值点。第十九页，共30页。练练 1. 讨论讨论(toln) ) 1( 2 )(23 xxxf的单调性、极值的单调性、极值(j zh)、凹凸性、凹凸性、拐拐点以及渐近线，并根据这些讨论点以及渐近线，并根据这些讨论(toln)作其作其草图。草图。 极大极大值值非极非极值值 ff f)3 ,( 3 ) 1 , 3( )0 , 1( 0 ) , 0( 000 ; 1 为为垂垂直直渐渐近近线线 x . 12为为斜斜渐渐近近线线

15、xy . 0) , 0(为为拐拐点点. 827)3( f极极大大值值第二十页，共30页。练练 2. 求求xxxf 1 )(在在1 , 5 上的最值。上的最值。解解: , 012112)( xxxf令令 . 43 x解解得得 , 565)( f , 1) 1 ( f , 45)43( f 45)43( 1 5, )(和和最最小小值值上上有有最最大大值值在在 fxf . 565)( f第二十一页，共30页。练练 3. 求数列求数列(shli)nn的最大项。的最大项。解解: . )0( , 1 xxyx令令 . ln1 ln xxy . ln1 21exxxxyx 及及驻驻点点由由此此得得 . ,

16、0 ; , 0 递递减减时时递递增增时时yyexyyex . 3 2 3是是可可能能的的最最大大项项和和因因此此 ; 8 )2( 6 而而 , 9)3(63 . 3 3是是最最大大项项因因此此第二十二页，共30页。练练 4. a取何值时取何值时在在xxaxf3sin31sin )( 3 x取得取得(qd)极极值？值？是极大值还是是极大值还是(hi shi)极小极小值？值？解解: , ) , ( )(内内可可导导在在 xf . 3cos cos )( xxaxf , 012 cos3cos)3( , aaf 由由已已知知 解得解得 . 2 a , 3sin3 sin 2 )( xxxf , 0

17、3sin33 sin 2 )3( f 因此因此 . )3(是是极极大大值值 f第二十三页，共30页。练练 5 答案答案(d n). 21 2cot lim )1(0 xxx1)(1sin1 e )1( lim )3( xxxx1 lim )4( sin0 xxx32 )cot 1( lim )2(220 xxx1 1 lim )6(2 xxx21 sin1 lim )5(630 3 xxexx第二十四页，共30页。练练 6. 提示提示(tsh)：令令, )( )(xfxxF 后证有后证有 x 使得使得(sh de) . 0)( F练练 7. 312)01(! 3)( )01(! 2)0( )0

18、1)(0( )0( 1)( fffff,! 3)( ! 2)0( )0( 1 fff ).0 , 1(1 322)01(! 3)( )01(! 2)0( )01)(0( )0( (1) fffff,! 3)( ! 2)0( )0( 2 fff ).1 , 0(2 , 1! 3)( )( )1()1(21 ffff, 32)( )( 21 ff即即使使得得因因此此存存在在连连续续 ),( , )( 21 xf.2)( )( )(21 fff 第二十五页，共30页。 )( 内内连连续续在在区区间间若若Ixf证：证： , 且且有有唯唯一一的的极极值值点点 则则 . 该该点点也也是是最最值值点点0 x

19、1xxxy )( 内内有有唯唯一一的的极极在在不不妨妨设设Ixf . 0 x大大值值点点 , 0不不是是最最大大值值点点假假设设 x ).()( 011xfxfIx 使使得得则则存存在在 , 0是是极极大大值值点点x , ),( 0 xU故故存存在在 . )( )(0 xfxf , ),( 0 xUx 即即 . 01xx 不不妨妨设设 , ),( 0时时当当 xUx . ) ( )( 0 xfxf 使使得得 , , )( 10 xxC xf 因因 xf在在故故 )( . , 10mxx 上上有有最最小小值值 . )( , )( 10 xfmxfm 可可知知 . )( ) , (10mfxx 使

20、使得得于于是是存存在在 . 为为极极小小值值点点即即 . 0内内唯唯一一极极值值点点矛矛盾盾是是这这与与Ix练练 8. 第二十六页，共30页。关于泰勒公式关于泰勒公式(gngsh)的说明的说明： 带皮亚诺余项的泰勒带皮亚诺余项的泰勒(ti l)公式公式一般用于考虑一般用于考虑0 xx 时的某些极限。时的某些极限。带拉格朗日余项的泰勒带拉格朗日余项的泰勒(ti l)公式公式一般用于误差分析或理论推导。一般用于误差分析或理论推导。 依赖于依赖于 x . 200000)(! 2)( )( )()(xxxfxxxfxfxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo 200000)(! 2)( )

21、( )()(xxxfxxxfxfxf nnxxnxf)(!)(00)(10)1()()!1()( nnxxnf 第二十七页，共30页。关于关于(guny)泰勒公式的说明：泰勒公式的说明： 202010)()()(xxaxxaaxf nnxxa)(0)(0nxxo ). , , 2 , 1(nk ,!)(0)(kxfakk 则必然则必然(brn)有有 ),(00 xfa 且经某些且经某些(mu xi)已知条已知条件可得件可得如果如果在在)(xf0 x有直到有直到n阶导数，阶导数，这使得我们可以通过一些间接手段得到这使得我们可以通过一些间接手段得到)(xf的泰勒公式。的泰勒公式。第二十八页，共30页。例例. 求求 )(xexxf 的带皮亚诺