一曲线的参数方程

1、一、导学提示，自主学习一、导学提示，自主学习二、新课引入，任务驱动二、新课引入，任务驱动三、新知建构，典例分析三、新知建构，典例分析四、当堂训练，针对点评四、当堂训练，针对点评五、课堂总结，布置作业五、课堂总结，布置作业一曲线的参数方程（3 3课时）一、导学提示，自主学习1.本节学习目标本节学习目标（1）了解学习参数方程的必要性）了解学习参数方程的必要性.（2）理解参数方程、普通方程的概念，通过比较）理解参数方程、普通方程的概念，通过比较参数方程和普通方程，体会两者的联系与区别，参数方程和普通方程，体会两者的联系与区别，并能进行互化并能进行互化. （3）掌握圆的参数方程、参数的意义及应用）掌握

2、圆的参数方程、参数的意义及应用.学习重点：（学习重点：（1）曲线的参数方程和普通方程的互）曲线的参数方程和普通方程的互化；化；（2）圆的参数方程及应用圆的参数方程及应用学习难点：学习难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程曲线的参数方程 一、导学提示，自主学习2.本节主要题型本节主要题型题型一题型一 参数方程参数方程题型二题型二 圆的参数方程圆的参数方程题型三题型三 参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化3.自主学习教材自主学习教材P21-P26一曲线的参数方程一曲线的参数方程2常见的直线和圆的极坐标方程常见的直线和圆的极坐标方程(1)直线

3、的极坐标方程直线的极坐标方程(a0)过极点，并且与极轴成过极点，并且与极轴成角的直线的极坐标方程：角的直线的极坐标方程：；垂直于极轴，并且与极点的距离为垂直于极轴，并且与极点的距离为a的直线的极坐的直线的极坐标方程：标方程：cosa；平行于极轴并且与极轴间的距离为平行于极轴并且与极轴间的距离为a的直线的极坐的直线的极坐标方程：标方程：sina；不过极点，与极轴成不过极点，与极轴成角，且到极点距离为角，且到极点距离为a的直的直线的极坐标方程：线的极坐标方程：sin()a.二、新课引入，任务驱动二、新课引入，任务驱动二、新课引入，任务驱动通过本节的学习你能掌握圆的参数方通过本节的学习你能掌握圆的参

4、数方程及应用、参数方程和普通方程的互化程及应用、参数方程和普通方程的互化吗？吗？二、新课引入，任务驱动三、新知建构，典例分析 一一.参数方程参数方程二二.圆的参数方程圆的参数方程三三.参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化 在过去的学习中我们已经掌握了一些在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标直接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们容易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标的桥梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所所要适合

5、的条件，即参数可以帮助我们得出要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程曲线的方程f(x,y)0。下面我们就来研究求。下面我们就来研究求曲线参数方程的问题。曲线参数方程的问题。三、新知建构，典例分析 一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m的高处的高处以以100m/s的速度作水平直线飞行，为使的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？定投放时机呢？三、新知建构，典例分析 探究：探究：AM(x,y)xyo 飞机在飞机在A点将物资投出机舱，在经过

6、飞行航线（直线）且垂直点将物资投出机舱，在经过飞行航线（直线）且垂直与地面的平面上建立平面直角坐标系，其中与地面的平面上建立平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这轴为地平面与这个平面的郊交线，个平面的郊交线，y轴经过轴经过A点。点。 记物资投出机舱时为时刻记物资投出机舱时为时刻0，在时刻，在时刻t时物资的位置为点时物资的位置为点M（x,y）,则则x表示物资的水平位置，表示物资的水平位置，y表示物资距地面的高度。由于水平位移表示物资距地面的高度。由于水平位移量量x与高度与高度y是由两种不同的运动得到的，因此直接建立是由两种不同的运动得到的，因此直接建立x,y所要满足所要满足的关系式并不容易。的关系

7、式并不容易。 换个角度看这个问题。换个角度看这个问题。 由物理知识，物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：由物理知识，物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿）沿ox作初速为作初速为100m/x的匀速直线运动；的匀速直线运动；（2）沿）沿oy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。txy解：物资出舱后，设在时刻 ，水平位移为 ， 垂直高度为 ，所以2100 ,)1500.2xtygt2（g=9.8m/s一、方程组有一、方程组有3个变量，其中的个变量，其中的x,y表示点的坐标，表示点的坐标，变量变量t叫做参变量，而且叫做参变量，而且x,y分别是分别是t的函数。的函数。二、由

8、物理知识可知，物体的位置由时间二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决唯一决定，从数学角度看，这就是点定，从数学角度看，这就是点M的坐标的坐标x,y由由t唯唯一确定，这样当一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（序实数对（x,y）之间有一一对应关系。之间有一一对应关系。三、新知建构，典例分析 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上一般地，在平面直角坐标系中，

9、如果曲线上任意一点的坐标任意一点的坐标x,y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数并且对于并且对于t的每一个允许值，由方程组（的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方都在这条曲线上，那么方程程(2)就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方程参数方程，联系变，联系变数数x,y的变数的变数t叫做叫做参变数参变数，简称，简称参数参数，相对，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做的方程叫做普通方程普通方程。( ).(2)( )xf tyg t三、新知建构，典例分析 1.1.参数方程与普通方程的统一性参数方程与

10、普通方程的统一性参数方程可以与普通方程进行互化。参数方程可以与普通方程进行互化。 普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量变量 与与 之间的直接联系，而参数方程是通过变量反映坐之间的直接联系，而参数方程是通过变量反映坐标变量标变量 与与 之间的间接联系；普通方程和参数方程是同一之间的间接联系；普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式。曲线的两种不同表达形式。yxyx三、新知建构，典例分析 2.2.参数方程的形式参数方程的形式 横、纵坐标横、纵坐标 、 都是变量都是变量 的函数，给出一个的函数，给出一个 能唯一能唯一的求出对应的的

11、求出对应的 、 的值，因而得出唯一的对应点；但横、纵的值，因而得出唯一的对应点；但横、纵坐标坐标 、 之间的关系并不一定是函数关系。之间的关系并不一定是函数关系。 xyttxyxy3.3.参数的作用参数的作用 参数作为间接地建立横、纵坐标参数作为间接地建立横、纵坐标 、 之间的关系的中间之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用。变量，起到了桥梁的作用。 xy三、新知建构，典例分析 yxorM(x,y)0M三、新知建构，典例分析 xo0MyM(x,y)0M圆周运动是生产生活中常见圆周运动是生产生活中常见的。当物体绕定轴做匀速转的。当物体绕定轴做匀速转动时，物体中各个点都做匀动时，物体中各个点都做匀

12、速圆周运动，那么怎样刻画速圆周运动，那么怎样刻画运动中点的位置呢？运动中点的位置呢？ 设圆设圆O的半径为的半径为r，点，点M从从初始位置初始位置 出发，按逆时出发，按逆时针方向在圆针方向在圆O上做匀速圆周上做匀速圆周运动，点运动，点M绕点绕点O转动的角转动的角速度为速度为。以圆心。以圆心O为原点，为原点， 所在直线为所在直线为x轴，建立直角轴，建立直角坐标系。显然，点坐标系。显然，点M的位置的位置由时刻由时刻t 惟一确定，因此可惟一确定，因此可取取t为参数。为参数。r0OM( ,)coscos,sin()sin()tMM x ytOMrxrtxytttyrtrrOrt如果在时刻 ，点转过的角度

13、是 ，坐标是，那么 ，设 ，那么由三角函数的定义有：即为参数这就是圆心在原点，半径为 的圆的参数方程。其中参数 有明确的物理意义 质点作匀速圆周运动的时刻三、新知建构，典例分析 00cos()sintxryrOrOMOOMOM考虑到 ，也可以取 为参数，于是有为参数这也是圆心在原点 ，半径为 的圆的参数方程其中参数 的几何意义是绕点逆时针旋转到的位置时，转过的角度。三、新知建构，典例分析 么样的呢？的圆的参数方程又是怎半径为那么，圆心在点普通方程是的参数方程，它对应的以上是圆心在原点的圆ryxoryx),(,002222220000cos()s()()inxxyxxryyyrr对应的普通方程为

14、为参数三、新知建构，典例分析 由于选取的参数不同，圆有不同由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示形式不同的参数方程，它们表示 的曲的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。取值范围。三、新知建构，典例分析 cos3,()sinxMy由参数方程为参数 直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，但如

15、果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单。2222cos3,sincos(3)1sinxxyyM 由参数方程得：所以点 的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。三、新知建构，典例分析 将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。别曲线的类型。 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数程得到普通方程。如果知道变数x,y中的一个与参中的一个与参数数t的关系，例如的关系，例如 ，把它代入普通方程，把它代入

16、普通方程，求出另一个变数与参数的关系求出另一个变数与参数的关系那么那么 就是曲线的参数方程。就是曲线的参数方程。 tfx tgy ,xf tyg t三、新知建构，典例分析参数方程和普通方程的互化：参数方程和普通方程的互化：（1 1）普通方程化为参数方程需要引入参数）普通方程化为参数方程需要引入参数如：如：直线直线L 的普通方程是的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程.22,tytx（t为参数）为参数）在普通方程在普通方程xy=1中，令中，令x = tan ,可以化为参数方程可以化为参数方程 .cot,tanyx （为参数）三、新知建构，典例分析（2 2）参数方程通过）参数方程通过代入消

17、元代入消元或或加减消元加减消元消去参数消去参数化为普通方程化为普通方程如：如：参数方程参数方程.sin,cosrbyrax消去参数 可得圆的普通方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2.42,tytx参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4y=2x-4通过代入消元法消去参数t ,（x0）注意：注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的取值范围保的取值范围保持一致。持一致。 否则，互化就是不等价的否则，互化就是不等价的. . 2 .典例分析：典例分析：题型一题型一 参数方程参数方程题型二题型二 圆的参数

18、方程圆的参数方程题型三题型三 参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化三、新知建构，典例分析212331.()21(1)(0,1),(5,4)(2)(6, )xtCtytMMCMaCa例 已知曲线 的参数方程为参数判断点与曲线 的位置关系;已知点在曲线 上，求 的值。11222(1)(0,1)053(5,4)421MtMCtMtMC解： 把点的坐标代入方程组，解得所以在曲线 上。把点代入方程组，得到这个方程组无解，所以点不在曲线 上。三、新知建构，典例分析32(2)(6, )632,9219MaCttaata因为点在曲线 上，所以解得所以， 请用自己的语言来比较一下请用自己的语言来比较

19、一下参数方程与普通方程的异同点参数方程与普通方程的异同点三、新知建构，典例分析例例2 如图，圆如图，圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速作匀速圆周运动时，求点圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。yoxPMQ(6,0)oxPMQ(6,0)( ,),(2 cos, 2 sin),2 cos62 sincos3,sin22().cos3sinMx yxOPPxyMxy解：设点的坐标是，则点的坐标是由中点坐标公式得：所以，点的轨迹的参数方程是为参数分析：取分析：取 为为 参数，

20、则圆参数，则圆O的参数方程是的参数方程是 （为参数），当为参数），当变化是，动点变化是，动点P在定圆在定圆O上运动，线段上运动，线段PQ也随之变动，从而使点也随之变动，从而使点M远动，因此点远动，因此点M的运动可以看成是的运动可以看成是由角由角 决定的。于是，选决定的。于是，选 为参数是适合的为参数是适合的。xOPsin2cos2yx三、新知建构，典例分析 这里定点这里定点Q在圆在圆O上外，你能判断这个轨上外，你能判断这个轨迹表示什么曲线呢？如果定点迹表示什么曲线呢？如果定点Q在圆在圆O上，轨上，轨迹是什么？如果定点迹是什么？如果定点Q在圆在圆O内，轨迹又是什内，轨迹又是什么？么？三、新知建构

21、，典例分析探究：探究：例例3. 3.把下列参数方程化为普通方程，并说明把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？它们各表示什么曲线？1()12tytx=t(1)为参数sincos().1 sin2y x=(2)为参数三、新知建构，典例分析（2）把 平方后减去得到因为所以因此，与参数方程等价的普通方程是这是抛物线的一部分。(1)1 1231)11xtyx 解解： 因因为为所所以以普普通通方方程程是是（x x这这是是以以（， ）为为端端点点的的一一条条射射线线（包包括括端端点点）1 xt?所以代入ty21?cossinxsin21yyx24sin2cossinx2, 2x2,2xyx

22、2例例4 4 (1)设x=3cos ， 为参数；2.tt(2)设y=， 为参数22194xy求椭圆的参数方程。解解（1）把 带入椭圆方程，得到 于是由参数 的任意性，可取因此椭圆的参数方程为 （ 为参数） 1499cos22y?3cosxsin2sin4cos14222yysin2y,sin2cos3yx三、新知建构，典例分析思考：为什么（为什么（2）中的两个参数方）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？程合起来才是椭圆的参数方程？2222213,191449txtxtx因此椭圆的参数方程为,2132tytxtytx2132（t为参数）和（2）把ty2代入椭圆方程，得1.1.已知圆方程已知

23、圆方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，将它化将它化为参数方程。为参数方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1，参数方程为参数方程为sin3cos1yx(为参数为参数)四、当堂训练，针对点评2cos52.()32sinxy指出参数方程为参数 所表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。4)3()5(22yx四、当堂训练，针对点评cos3. (0)sin24_xrrrryr圆为参数，的直径是 ，则圆心坐标是（2，1）四、当堂训练，针

24、对点评1.将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或或x- 2）步骤：步骤：（1）消参；）消参； （2）求定义域。）求定义域。|cossin|,222.(02 )1(1 sin )2xy表示表示 （ ）（A）双曲线的一支，这支过点（双曲线的一支，这支过点（1，21）：）：（B）抛物线的一部分，这部分过（抛物线的一部分，这部分过（211， ）；）；（C）双曲线的一支，这支过点（双曲线的一支，这支过点（1，21）；）；（D）抛物线的一部分，这部分过（抛物线的一部分，这部分过（1，21）四