材料力学第十章压杆稳定问题刘锋

1、第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page 1第第十十章章 压杆稳定问题压杆稳定问题第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page 2一、问题的提出一、问题的提出: :强度条件是否适用于下列拉压杆？强度条件是否适用于下列拉压杆？ NFA 回顾：拉压杆的强度条件回顾：拉压杆的强度条件FFFF短粗杆短粗杆FFFF细长杆细长杆第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page 3左图：隋朝建成左图：隋朝建成的赵州桥的赵州桥右图：右图： Tacoma 海峡大海峡大桥桥19401940年破坏年破坏Euler(1707-1783)首先从理论上研究了压杆稳定问题首先从理论上研究了压杆稳定问题(Euler理论

2、理论）l 工程实例：石桥、钢桥与稳定问题工程实例：石桥、钢桥与稳定问题第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page 4 其他形式的稳定问题实例其他形式的稳定问题实例crFF 窄高梁弯曲窄高梁弯曲薄壁件受外压薄壁件受外压薄壁圆筒轴向受压薄壁圆筒轴向受压第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page 5二、刚体与变形体的稳定性二、刚体与变形体的稳定性 （1）刚性面上，刚性球受微干扰）刚性面上，刚性球受微干扰a. 合力合力FR指向平衡位置指向平衡位置稳定平衡稳定平衡b. FR为为0c. FR偏离平衡位置偏离平衡位置不稳定平衡不稳定平衡临界临界( (随遇随遇) )平衡平衡FRFWFRFWW第十章第十

3、章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page 6（2）刚杆弹簧系统受微干扰）刚杆弹簧系统受微干扰稳定平衡稳定平衡. aFk l 临界临界(随遇随遇)平衡平衡. bFk l 不稳定平衡不稳定平衡. cFk l 临界载荷临界载荷crFkl 驱动力矩驱动力矩F 恢复力矩恢复力矩k l Fkl刚杆弹簧系统稳定性演示刚杆弹簧系统稳定性演示第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page 7（3）受压弹性杆受微干扰）受压弹性杆受微干扰F Fcr 稳定平衡稳定平衡FFcr 临界状态临界状态压杆在微弯位置不能平衡压杆在微弯位置不能平衡, ,要恢复直线要恢复直线压杆微弯位置不能平衡压杆微弯位置不能平衡, ,要继续弯曲要继

4、续弯曲, ,导致失稳导致失稳F Fcr 不稳定平衡不稳定平衡压杆在任意微弯位置均可保持平衡压杆在任意微弯位置均可保持平衡临界载荷临界载荷 Fcr: 压杆直线形式的平压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定时的轴向压衡由稳定转变为不稳定时的轴向压力值。力值。第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page 8三、桁架的稳定性三、桁架的稳定性为什么桁架要尽可能设计成各杆受拉为什么桁架要尽可能设计成各杆受拉？第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page 9两端铰支压杆两端铰支压杆 临界载荷实验测定临界载荷实验测定第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page10 举重问题的分析第十章第十章 压杆稳定问题

5、压杆稳定问题Page11 一、临界载荷的欧拉公式一、临界载荷的欧拉公式两端受压简支杆两端受压简支杆FM(x)xFw( )M xFw 22()dwMxd xE I FFFF临界平衡状态临界平衡状态驱动与恢复内力矩驱动与恢复内力矩驱动内力矩驱动内力矩恢复内力矩恢复内力矩22()dwMxE Id x 第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page12( )M xFw 驱动内力矩驱动内力矩恢复内力矩恢复内力矩22()dwMxE Idx 0222 wkdxwdwEIFdxwd 222kEIF 压杆稳定微分方程压杆稳定微分方程FF通解：通解：sincoswAkxBkx 位移边界条件：位移边界条件： 0 B

6、0sin klA, 0 x0 w, lx 0 w存在非零解的条件：存在非零解的条件：sin0kl 第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page1322crE IFl 设：设： n=1sin0kl kln nkl 222(1,2)nEIFnl 临界载荷欧拉公式临界载荷欧拉公式FF2,FkE I 注意到：注意到：第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page14临界载荷（欧拉临界载荷临界载荷（欧拉临界载荷) )与截面抗弯刚度成正比，与截面抗弯刚度成正比，与杆长的平方成反比。与杆长的平方成反比。22crE IFl 二、临界载荷的欧拉公式的几点讨论二、临界载荷的欧拉公式的几点讨论压杆在临界状态时的平

7、衡是一种有条件的随遇平衡压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡可有任意的微弯程度可有任意的微弯程度, , 但轴线形状一定。但轴线形状一定。sinxwAl 两端简支压杆的挠曲轴两端简支压杆的挠曲轴第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page15三、欧拉公式的适用范围：三、欧拉公式的适用范围：QQ 压力沿杆件轴线压力沿杆件轴线QQ 小挠度小挠度( (小变形小变形) )QQ 线弹性线弹性QQ 理想均质材料理想均质材料, ,细长杆细长杆 EIxMdxwd)(22 FF第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page16 解析法确定临界载荷：铰支解析法确定临界载荷：铰支- -固支压杆固支压杆 类比

8、法确定临界载荷类比法确定临界载荷 相当长度与长度因素相当长度与长度因素 例题例题第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page17一、一、解析法确定临界载荷解析法确定临界载荷FABlFABl根据微弯临界平衡状态根据微弯临界平衡状态建立微分方程建立微分方程22()d wMxdxEI ( )()M xFw 22()d wFwdxEI 2FkE I 令令 2222kwkdxwd 1. 1. 固支固支-自由压杆自由压杆FwxMF第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page18通解：通解：sincoswAkxBkx 考虑位移边界条件：考虑位移边界条件：0,0,xw ,xl w B 0 ,0d wxd

9、x sincosAklBkl FABlxw 2222kwkdxwd 0Ak 或或0A cos0kl 存在非零解的条件：存在非零解的条件：第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page1921(1,2)2nkln （）取取n=1, 得固支得固支-自由压杆的临界载荷：自由压杆的临界载荷：22)2( lEIFcr FABlxwcos0kl 存在非零解的条件：存在非零解的条件：注意到：注意到：2FkEI 22221(2 )nEIFl （）得：得：第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page202. 一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷lFFFRxFRFwxl FRF)

10、( xM根据微弯临界平衡状态根据微弯临界平衡状态建立微分方程建立微分方程( )()RM xFwF lx EIxMdxwd)(22 22()RFd wFwlxdxEIEI )(cossin2xlEIkFkxBkxAwR )(2EIFk 通解：通解：第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page21FRFxl0,0 xw RFlBE Ik 20)(cossin2xlEIkFkxBkxAwR )(2EIFk 通解：通解：考虑位移边界条件：考虑位移边界条件：20RFAkEIk 0,0 xw sincos0AklBkl ,0 xl w 第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page22sincoslEI

11、kkEIkklkl 22011000RFlBE Ik 2020RFAkEIk sincos0AklBkl FRFxl存在非零解的条件：存在非零解的条件：klkl tan第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page23EIkF2 22224.493(0.7 )crEIEIFll FRFxlklkl tan2ykl 1tanykl ( )4.493akl 4.493FlEI 思考讨论题：思考讨论题：力学模型（有条件的随遇平衡）、力学模型（有条件的随遇平衡）、数学方程（微分方程）、有条件的数学方程（微分方程）、有条件的随遇平衡的数学表达（齐次方程的随遇平衡的数学表达（齐次方程的非零解）之间的对应关

12、系。非零解）之间的对应关系。第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page242222(2 )4crEIEIFll lFlFlF1. 一端固支一端自由：一端固支一端自由：二、二、类比法确定临界载荷类比法确定临界载荷观察：受力与变形与两端观察：受力与变形与两端铰支压杆左半部分相同铰支压杆左半部分相同类比：一端固支一端自由长类比：一端固支一端自由长l的压杆的临界载荷等于的压杆的临界载荷等于长长2l的对应铰支压杆的临界载荷。的对应铰支压杆的临界载荷。与解析法结果相同与解析法结果相同第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page252. 一端固支、一端铰支一端固支、一端铰支22)7 . 0(lEIFc

13、r lFcrABFcr0.7lFcrBCFcrl 7 . 0拐点拐点ABC变形曲线观察：与变形曲线观察：与B端相端相距约距约0.7l处有一拐点处有一拐点C类比：拐点类比：拐点C处弯矩为零，处弯矩为零，将将C点坐标转动到变形前位点坐标转动到变形前位置，置，BC段类比铰支压杆。段类比铰支压杆。近似性讨论：由于变形后近似性讨论：由于变形后拐点拐点C离开轴线，离开轴线，B处有约束处有约束反力，小变形条件下很小。反力，小变形条件下很小。第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page263. 两端固支压杆两端固支压杆：22)2/(lEIFcr crF拐点拐点拐点拐点2l4l4lcrF2lcrF第十章第十章

14、 压杆稳定问题压杆稳定问题Page27三、欧拉公式的统一表达式：三、欧拉公式的统一表达式：22)( lEIFcr l 相当长度：相当的两端铰支压杆的长度相当长度：相当的两端铰支压杆的长度 长度因数长度因数: :支持方式对临界载荷的影响支持方式对临界载荷的影响cr2EIFl cr2/2EIFl cr2(0.7 )EIFl cr2(2 )EIFl 1 2 21 7 . 0 欧拉公式可以写成统一形式：欧拉公式可以写成统一形式：第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page2822crEIFl 问题：结构在哪个平面内失稳？问题：结构在哪个平面内失稳？临界载荷等于多少？临界载荷等于多少？解：解：临界载荷

15、临界载荷例例10-110-1：确定图示压杆的临界载荷确定图示压杆的临界载荷( (hb) )bhyz a aFlFOxyz1. 当两端的约束是球形铰。当两端的约束是球形铰。2. 当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿z轴。轴。第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page2922crEIFl 123bhIz 123hbIy 解：解：临界载荷临界载荷压杆在压杆在x- -z z平面内失稳平面内失稳bhcos2sin222yzyzyzIIIIII a aa a FlFOxyz1. 当两端的约束是球形铰。当两端的约束是球形铰。yz a a2222ycrEIEIFwhen

16、hbll 第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page302()2xyzcrEIFl 123bhIz 123hbIy bhFlFOxyzyz a a2. 当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿当两端的约束是圆柱形铰，圆柱销轴线沿z轴。轴。压杆在压杆在x- -z z平面内，平面内，2()2()yxzcrEIFl 压杆在压杆在x- -y y平面内，平面内，其中其中 =0.5 1， IyIx 需要判断，杆件总沿临界载荷最小的方向失稳需要判断，杆件总沿临界载荷最小的方向失稳第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page31例例10-2：大柔度立柱，大柔度立柱，失稳时结构如何运动？失稳时结构如何运动？A

17、A截面截面FzxAAb3b 旋转失稳旋转失稳第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page32问题：欧拉公式适用范围？如何研究此问题：欧拉公式适用范围？如何研究此范围之外的压杆的失效？范围之外的压杆的失效？欧拉公式一般表达式欧拉公式一般表达式 cr2()EIFl第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page33一、一、 临界应力与柔度临界应力与柔度crcrFA 22cr EIAl 临界应力临界应力 22cr EIFl 定义定义AIi 截面的惯性半径，只与截面形状相关截面的惯性半径，只与截面形状相关il 压杆的柔度或长细比，无量纲量压杆的柔度或长细比，无量纲量 22 Ecr 欧拉公式可以写成欧拉

18、公式可以写成 综合反映了压杆长度综合反映了压杆长度l，支撑方式支撑方式 与截面几何与截面几何性质性质i对临界应力的影响。对临界应力的影响。第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page34二二、 Euler公式的适用范围公式的适用范围22crpE pE 令令ppE p Euler公式的适用条件：公式的适用条件： p 的的压杆，称为大柔度杆压杆，称为大柔度杆 p：材料常数，仅与材料弹性模量材料常数，仅与材料弹性模量E及比例极限及比例极限 p有关有关第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page35三、临界应力的经验公式三、临界应力的经验公式p 的压杆的压杆非细长杆非细长杆，属于超过材料比例极限的

19、属于超过材料比例极限的稳定问题，通常用经验公式计算。稳定问题，通常用经验公式计算。 （I）直线型经验公式）直线型经验公式(合金钢、铝合金、铸铁与松木等合金钢、铝合金、铸铁与松木等) bacr 式中式中a, b为材料常数，单位为材料常数，单位MPa, 可查表。可查表。 临界应力不能小于材料的极限应力临界应力不能小于材料的极限应力 cu，令，令:0cuab p，大柔度杆；大柔度杆； 0 0 p，中柔度杆；，中柔度杆； 强度安全因数。强度安全因数。第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page4122crElAliI crab二、压杆的合理设计二、压杆的合理设计依据：依据： 欧拉公式欧拉公式经验公式经验公式临界应力总图临界应力总图1. 合理截面形状：合理截面形状： ,iorI A 选择惯性矩较大的截面形状选择惯性矩较大的截面形状 注意失稳的方向性注意失稳的方向性第十章第十章 压杆稳定问题压杆稳定问题Page42 注意失稳的方向性注意失稳的方向性zzzlIA yyylIA 在在x-yx-y平面失稳平面失稳1z . 0 7y 在在x-zx-z平面失稳平面失稳 z y，设计设计I Iz zIIy y; 等稳定设计等稳定设计：/zzyyI