极限与平均变化率

1、导数的预备知识极限与平均变化率极限与平均变化率教学目标教学目标 了解函数的极限和平均变化率 教学重点：教学重点：函数的平均变化率1观察函数y的图象, 当x时的变化趋势。x无论无论x+ 或或x- 的值无限趋近于0.x1函数y0.x1时，当x即 一、一、 函数的极限函数的极限 一、一、 函数的极限函数的极限x110100100010000100000y10.10.010.001 0.00010.00001考察函数考察函数 当当x 无限增大时的变化趋势无限增大时的变化趋势xy1 yxO 当自变量当自变量x 取正值并无限增取正值并无限增大时，函数大时，函数 的值无限趋近的值无限趋近于于0，即，即|y-

2、0|可以变得任意小可以变得任意小xy1 当当x 趋向于正无穷大时，函数趋向于正无穷大时，函数xy1 的极限是的极限是0，记作，记作01lim xx 函数的极限函数的极限yxOxy1 当当x 趋向于负无穷大时，函数趋向于负无穷大时，函数的极限是的极限是0，记作，记作01lim xx 函数的极限函数的极限就说就说当当x 趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大时，函数函数 的极限是的极限是a ，记作，记作axfx )(lim)(xf一般地，当自变量一般地，当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数取正值并且无限增大时，如果函数)(xf无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a ，也可记作也可记作:当当axfx

3、)(时，时，当当就说就说当当x 趋向于负无穷大时，趋向于负无穷大时，函数函数 的极限是的极限是a ，记作，记作axfx )(lim当自变量当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数取负值并且绝对值无限增大时，如果函数)(xf无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a ，也可记作也可记作:axfx)(时，时，)(xf 函数的极限函数的极限如果如果axfaxfxx )(lim)(lim且且那就是说当那就是说当x 趋向于趋向于axfx )(lim也可记作也可记作:当当axfx )(时，时，无穷大时，函数无穷大时，函数 的极限是的极限是a ，记作，记作)(xfCxfx)(lim对于常数函数对于常数函

4、数)()(RxCxf也有也有 函数的极限函数的极限x取正值并且无限增大取正值并且无限增大axfx )(lim 无限趋无限趋近于常数近于常数a )(xf极限表示极限表示 值的变值的变化趋势化趋势 自变量自变量x的变化趋势的变化趋势 )(xfx取负值并且绝对值无限增大取负值并且绝对值无限增大axfx )(lim 无限趋无限趋近于常数近于常数a )(xfx取正值并且无限增大，取正值并且无限增大，x取取负值并且绝对值无限增大负值并且绝对值无限增大axfx )(lim 无限趋无限趋近于常数近于常数a )(xf 函数的极限函数的极限 例例1、分别就自变量、分别就自变量x 趋向于趋向于 的情况，讨论下列的情

5、况，讨论下列函数的变化趋势：函数的变化趋势： 和和（1）xy 21解：当解：当 时，时， 无限趋近于无限趋近于0，xy 21; 021lim xx即即x当当 时，时， 趋近于趋近于. xy 21x0lim10 xxaa时，都有结论：当 函数的极限函数的极限（2） )0(1)0(0)0(1)(时时时时时时xxxxf解：当解：当 时，时， 的值保持为的值保持为1即即x)(xf; 1)(lim xfx当当 时，时， 的值保持为的值保持为-1，即，即 x)(xf; 1)(lim xfx研究某个变量相对于另一个变量变化导数研究的问题 的快慢程度变化率问题 二、二、 平均变化率平均变化率变化率问题变化率问

6、题 问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容量的增随着气球内空气容量的增加加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学角度从数学角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢? 气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r(单位单位:dm)之间的函数关系是之间的函数关系是34( )3V rr 如果将半径如果将半径r表示为体积表示为体积V的函数的函数,那么那么33( )4Vr V 二、二、 平均变化率平均变化率我们来分我们来分析一下析一下: 当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平

7、均膨胀率膨胀率为 当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率膨胀率为(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/ )1 00.62rrdm L(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/ )2 10.16rrdm L显然显然0.620.16 问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程的过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容随着气球内空气容量的增加量的增加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学角度从数学角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?33( )4Vr V思考? 当空气容量从当空气容量从V1增加到增

8、加到V2时时,气球的平气球的平均膨胀率是多少均膨胀率是多少?2121()()r Vr VVV 二、二、 平均变化率平均变化率问题问题2 高台跳水高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面运动员相对于水面的高度的高度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单（单位：秒）存在函数关系位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. 如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态? ?请计算请计算00.52:ttv 和1时的平均速度

9、hto请计算00.52:ttv 和1时的平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10平均变化率定义平均变化率定义: 若设若设x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1) 则则平均变化率平均变化率为为121)()f xxx2f(xfx121)()f xxx2f(x这里这里x看作是对于看作是对于x1的一个的一个“增量增量”可用可用x1+x代替代替x2同样同样f=y=f(x2)-f(x1)l上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表示表示称为函数称为函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率 思考思考? 观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么

10、表示什么?121)( )f xyxxx2f(xOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线直线AB的斜率的斜率PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T三、平均变化率的极限的几何意义: 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ如果有一个极限位置如果有一个极限位置PT.则我则我们把直线们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那那么当么当x0时时,割线割线PQ的斜的斜率率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切切线的斜率线的斜率.即即:0000()(

11、)limlimxxf xxf xykxx 切线这个概念这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.要注意要注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线: 1) 与该点的位置有关与该点的位置有关;2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限如有极限,则在则在 此点有切线此点有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切线则在此点处无切线;3) 曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点,

12、 可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多个甚至可以无穷多个.PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T练习：练习：1.t2质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+ t)中相应的平均速度为( )9A. 6+ t B. 6+ t+C.3+ t D.9+ t2.物体按照物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线的规律作直线运动运动,求在求在4s附近的平均变化率附近的平均变化率.A253 t 3:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:求出求出P点的坐标点的坐标;利