函数的求导法则89338学习教案

1、会计学1函数函数(hnsh)的求导法则的求导法则89338第一页，共33页。思路思路(sl):( 构造性定义构造性定义(dngy) )求导法则求导法则(fz)其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式证明中利用了证明中利用了两个重要极限两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容本节内容第1页/共32页第二页，共33页。一、四则运算一、四则运算(s z yn sun)求导法则求导法则 定理定理(dngl)1.的的和和、差差、积积、商商 (除分母除分母(fnm)为为 0的点外的点外) 都在点都在点 x 可导可导,且且下面分三部分加以证明下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和并

2、同时给出相应的推论和例题例题 .第2页/共32页第三页，共33页。此法则可推广此法则可推广(tugung)到任意有限项的到任意有限项的情形情形.证证: 设设, 则则故结论故结论(jiln)成立成立.例如例如(lr),第3页/共32页第四页，共33页。(2)证证: 设设则有则有故结论故结论(jiln)成立成立.hhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxvv (x)可导可导, 因此因此(ync)连续连续, 有有第4页/共32页第五页，共33页。推论推论(tuln):( C为常数为常数(chngsh) )同理同理:., 各因子轮流求导各因子轮流求导项项n第5页/共32页第

3、六页，共33页。)()(xvxu(3)证证: 设则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论(jiln)成立.推论推论(tuln):( C为常数(chngsh) )第6页/共32页第七页，共33页。x2sin例例1. 求证求证(qizhng)证证: x2cosx2cos类似(li s)可证:第7页/共32页第八页，共33页。二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则(fz) (fz) 定理定理(dngl)2. y 的某邻域的某邻域(ln y)内单调可导内单调可导, 证证:在在 x 处给增量处给增量由反函数的单调性知由反函数的单调

4、性知且由反函数的连续性知且由反函数的连续性知 因此因此yx 11第8页/共32页第九页，共33页。例例2. 2. 求反三角函数及指数函数求反三角函数及指数函数(zh sh (zh sh hn sh)hn sh)的导数的导数. .解解: 1) 设设则则类似类似(li s)可可求得求得利用利用(lyng), 则则第9页/共32页第十页，共33页。2) 设设则则特别当特别当ea时时,第10页/共32页第十一页，共33页。例例3 3解解第11页/共32页第十二页，共33页。分段函数求导时分段函数求导时, , 分界点导数分界点导数(do sh)(do sh)用左用左右导数右导数(do sh)(do sh

5、)求求. .第12页/共32页第十三页，共33页。在点在点 x 可导可导,三、复合三、复合(fh)函数求导函数求导法则法则定理定理(dngl)3.在点在点可导可导复合复合(fh)函数函数且且在点在点 x 可导可导,证证:在点在点 u 可导可导, 故故（当（当 时时 )0u0故有故有uy)(uf)()(xguf 第13页/共32页第十四页，共33页。例例4. 求下列求下列(xili)导数导数:解解: 设设第14页/共32页第十五页，共33页。解解: 设设 dxdyydxdududy 第15页/共32页第十六页，共33页。解解: dxdyydxdududy 第16页/共32页第十七页，共33页。解

6、解:说明说明(shumng): 类似可得类似可得第17页/共32页第十八页，共33页。例如例如(lr),关键关键: 搞清复合函数搞清复合函数(hnsh)结构结构, 由外向内逐层求导由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量推广：此法则可推广到多个中间变量(binling)的情形的情形.第18页/共32页第十九页，共33页。例例5. 设求求解解:设设第19页/共32页第二十页，共33页。思考思考(sko): 若若存在存在(cnzi) , 如何如何求求的导数的导数(do sh)?这两个记号含义不同这两个记号含义不同练习练习: 设设第20页/共32页第二十一页，共33页。例例6. 设解解:记

7、记则则(反双曲正弦反双曲正弦(zhngxin)其它其它(qt)反双曲函数的导数见反双曲函数的导数见 P94例例16. 2shxxeex 的反函数的反函数第21页/共32页第二十二页，共33页。四、初等四、初等(chdng)函数的函数的求导问题求导问题 1. 常数和基本常数和基本(jbn)初等函数的导数初等函数的导数 (P94) )(cscx第22页/共32页第二十三页，共33页。2. 有限有限(yuxin)次四则运算次四则运算的求导法则的求导法则( C为常数为常数(chngsh) )3. 复合函数复合函数(hnsh)求求导法则导法则4. 初等函数在定义区间都可导初等函数在定义区间都可导. )(

8、C0 )(sinxxcos )(ln xx1由定义证由定义证 ,说明说明: 最基本的公式最基本的公式其它公式其它公式用求导法则推出用求导法则推出.(个别点除外个别点除外)第23页/共32页第二十四页，共33页。例例7. 求解解:例例8.设解解:求第24页/共32页第二十五页，共33页。例例9. 求解解:.yx22sin xe2sin xe关键关键(gunjin): 搞清复合函搞清复合函数结构数结构 由外向内逐层求导由外向内逐层求导第25页/共32页第二十六页，共33页。内容内容(nirng)小结小结求导公式求导公式(gngsh)及求导法则及求导法则 (见见 P94)注意注意(zh y): 1)

9、2) 搞清复合函数结构搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导由外向内逐层求导 .1.思考与练习思考与练习对吗对吗? ?第26页/共32页第二十七页，共33页。2. 设其中(qzhng)在因故正确(zhngqu)解法:时, 下列做法(zuf)是否正确?在求处连续,第27页/共32页第二十八页，共33页。3. 求下列求下列(xili)函数的导数函数的导数解解: (1)(2)baln或第28页/共32页第二十九页，共33页。4. 幂函数在其定义域内幂函数在其定义域内（ ）.正确正确(zhngqu)地选择是（地选择是（3）例例在在 处不可导，处不可导，0 x在定义域内处处在定义域内处处(chch)可导，可导，第29页/共32页第三十页，共33页。 y解：解：求求.y1 1、设设第30页/共32页第三十一页，共33页。求求.y解解: y21xx第31页/共32页第三十二页，共33页。NoImage内容(nirng)总结会计学。( 构造性定义 )。为 0的点外) 都在点 x 可导,。v (x)可导, 因此连续, 有。例2. 求反三角函数及指数函数的导数.。解: 1) 设。