第05讲(向量组的线性相关性的判定、向量组的秩)

1、练习三答案练习三答案一、一、 1、73 或或2、 21211111 D23rr 001111 )1(111 . 01, 0 或或即即则需则需要使方程组有非零解，要使方程组有非零解，D二、二、060423243112 D6011231143412,6041132113142,18042112411114321 DDD. 1, 1, 3:321 xxx有唯一解有唯一解三、三、2.2 向量组的向量组的 线性相关性的判定线性相关性的判定线性相关性的判定、线性相关性的判定、线性相关性的性质线性相关性的性质主要主要内容：内容：定理定理1 1: :向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条

2、件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m证明：证明： 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.12,m m即有即有112211mmmkkk故故11221110mmmkkka 因因 这这 个数不全为个数不全为0，121,1mk kkm故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数使的数使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,2

3、1不妨设则有不妨设则有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 证毕证毕.注注：向量组向量组 线性相关线性相关 的充要条件是至少有一个向量的充要条件是至少有一个向量 可由可由 线性表示。线性表示。-P44-45121,(0)r 其其中中(1)iir 121,i 性质性质性质性质1 任意一个包含零向量的向量组必线性相关。任意一个包含零向量的向量组必线性相关。性质性质2 两个向量相关的充要条件是两个向量相关的充要条件是 它们的它们的 各对应分量成比例。各对应分量成比例。也即：由两个不成比例的向量构成的向量组线性无关也即：由两个不成比例的向量

4、构成的向量组线性无关性质性质3 如果一个向量组的一部分向量线性相关，如果一个向量组的一部分向量线性相关， 则整个向量组就线性相关。则整个向量组就线性相关。性质性质4 如果一个向量组线性无关，如果一个向量组线性无关， 则它的任意一部分向量组也线性无关。则它的任意一部分向量组也线性无关。部分向量组相关，则向量组相关。部分向量组相关，则向量组相关。向量组无关，部分向量组也无关。向量组无关，部分向量组也无关。简记：简记：因为因为12,mb 线性相关，线性相关，所以存在不全为零的数所以存在不全为零的数12, ,mk kkk使得使得11220mmkkkkb若若0,k则存在不全为零的数则存在不全为零的数12

5、,mk kk使得使得1122mmkkk0证明证明:定理定理2 设向量组设向量组 线性无关线性无关,而向而向量组量组 线性相关线性相关,则向量则向量b必能由必能由向量组向量组A线性表示线性表示,且表示式是唯一的且表示式是唯一的.12:,mA 12:,mBb 12,m 这这与与线性无关矛盾。线性无关矛盾。所以所以0,k 从而从而1212()()()mmkkkbkkk即即 b可由可由 线性表示线性表示.12,m 定理定理3 设设1212,1(,) (1,2,)(,) (1,2,)iiiiriiiiri raaaimaaaaim即即 添上一个分量后得向量添上一个分量后得向量 . .若向量组若向量组 线

6、性无关，线性无关，则向量组则向量组 也线性无关也线性无关. .12,mB ：12,mA ：ii反言之反言之,若向量组若向量组B线性相关线性相关,则向量组则向量组A也线性相关也线性相关.但是但是，无关组减少分量不一定无关；无关组减少分量不一定无关； 相关组增加分量不一定相关。相关组增加分量不一定相关。12(2,4,1),(4,8,5)线性无关，线性无关，推论推论在在r维向量组的每个向量上添加维向量组的每个向量上添加n-r个个分量，使之成为分量，使之成为n维向量组。如果维向量组。如果r维向量组维向量组线性无关，则线性无关，则n维向量组也线性无关。维向量组也线性无关。例如例如简言之：简言之：无关组增

7、加分量仍无关；无关组增加分量仍无关；相关组减少分量仍相关。相关组减少分量仍相关。12(2,4),(4,8)bb线性相关线性相关.但是但是定理定理4任意任意n+1个个n维向量构成的向量组维向量构成的向量组都是线性相关的。都是线性相关的。推论推论 设设 都是都是n维向量，如果维向量，如果 那么那么 必线性相关。必线性相关。12,m mn12,m 简言之：简言之：个数大于维数的向个数大于维数的向 量组一定线性相关量组一定线性相关2.3 向量组的秩向量组的秩向量组的等价、向量组的等价、向量组的秩、向量组的秩、向量组秩的性质向量组秩的性质主要主要内容：内容：两个向量组的线性表示、等价关系两个向量组的线性

8、表示、等价关系设有两个设有两个n维向量组维向量组1212:,;:,.rsAB 若向量组若向量组A中的每个向量都可由向量组中的每个向量都可由向量组B中的向量线性表示，则称中的向量线性表示，则称向量组向量组A可由可由向量组向量组B线性表示线性表示。若向量组若向量组A可由向量组可由向量组B线性表示，向线性表示，向量组量组B也可由向量组也可由向量组A线性表示，则称线性表示，则称向量向量组组A与向量组与向量组B等价等价。向量组与向量组之间的线性表示关系，向量组与向量组之间的线性表示关系，具有具有传递性传递性。 向量组与向量组之间的等价关系，具有向量组与向量组之间的等价关系，具有反身性、对称性、传递性反身

9、性、对称性、传递性。例如例如 ：向量组：向量组A可由向量组可由向量组B线性表示；线性表示； 向量组向量组B可由向量组可由向量组C线性表示；线性表示； 则向量组则向量组A可由向量组可由向量组C线性表示。线性表示。例如例如 ：向量组：向量组A与向量组与向量组B等价；等价； 向量组向量组B与向量组与向量组C等价；等价； 则向量组则向量组A与向量组与向量组C等价。等价。最大线性无关向量组最大线性无关向量组定义定义1 一个向量组中的部分向量一个向量组中的部分向量12,m 若具有性质：若具有性质：12,m (1) 线性无关线性无关;12,m (2)向量组中任一向量都是向量组中任一向量都是 的线性组合的线性

10、组合.12,m 则称则称 是该向量组的一个最大线是该向量组的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组性无关向量组，简称最大无关组.例例1 求下列向量组的一个最大无关组。求下列向量组的一个最大无关组。123(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)解解: （筛选法）（筛选法）12, 线性无关，线性无关，所以所以 是一个最大无关组为是一个最大无关组为12, 同样，同样，1323,;, 也是最大无关组。也是最大无关组。312,而而说明：说明：（3）一个向量组的任意两个最大无关组等价；）一个向量组的任意两个最大无关组等价；（4）一个线性无关向量组的最大无关组就是它本身）一个线性无关向量组的最大无关组

11、就是它本身.（1）最大无关组不唯一；）最大无关组不唯一；（2）一个向量组与它的最大线性无关组是等价的；）一个向量组与它的最大线性无关组是等价的；（5）一个向量组的向量都是零向量时，该向量组没）一个向量组的向量都是零向量时，该向量组没有最大无关组有最大无关组. 根据最大无关组的定义根据最大无关组的定义,向量组向量组E是是 的最大线性无的最大线性无关组关组.nR事实上中任意事实上中任意n个线性无关的个线性无关的n维向量都构成维向量都构成的最大线性无关组。的最大线性无关组。nRnR 全体全体n维向量所构成的向量组记作维向量所构成的向量组记作 .设设n维单位维单位向量组向量组E为为: ,则则E是是 的

12、一个最大线性的一个最大线性无关组无关组.nR12,n nR例例2解解: : 12,n 因为因为n维单位向量组维单位向量组E 是线性无关的是线性无关的.设设 是是 的任意一向量的任意一向量,则则 可由可由12(,)na aanR12,n n维单位向量组维单位向量组 线性表示线性表示.任意任意n+1个个n维向量构成的向量组都是线性相关的维向量构成的向量组都是线性相关的.定理定理2 设向量组设向量组 线性无关线性无关,而向而向量组量组 线性相关线性相关,则向量则向量b必能由必能由向量组向量组A线性表示线性表示,且表示式是唯一的且表示式是唯一的.12:,mA 12:,mBb 为什么为什么? 定理定理5

13、 设有两个设有两个n维向量组维向量组如果向量组如果向量组A可以由向量组可以由向量组B线性表示，线性表示，而且向量组而且向量组A线性无关，则线性无关，则1212:,;:,.rsAB rs推论推论1 1两个线性无关的等价的向量组，一定两个线性无关的等价的向量组，一定包含相同个数的向量。包含相同个数的向量。推论推论2 2在一个向量组中，它的任意两个最大在一个向量组中，它的任意两个最大无关组所含的向量个数相等。无关组所含的向量个数相等。 由此可见，一个向量组的最大无关由此可见，一个向量组的最大无关组虽然可以不唯一，但最大无关组所含向组虽然可以不唯一，但最大无关组所含向量的个数总是确定的，由此引入定义：

14、量的个数总是确定的，由此引入定义：定义定义 向量组的最大无关组所含向量的向量组的最大无关组所含向量的个数称为这个向量的秩个数称为这个向量的秩.向量组的秩向量组的秩. 等等价价的的向向量量组组的的秩秩相相等等推论推论3. rsBA和和的的秩秩依依次次为为与与向向量量组组设设向向量量组组证证示示，表表两两个个向向量量组组能能相相互互线线性性因因两两个个向向量量组组等等价价，即即. rs 所以所以,同时成立同时成立与与故故srrs 证证: :由于由于12,n 可由可由n维单位向量组线性表示维单位向量组线性表示,由已知，由已知，12,n 可由可由12,n 线性表示线性表示12,n 12,n 与与等价等

15、价所以所以,秩秩12,n 与秩与秩12,n 相等相等,都等于都等于n ,12,n 12,n 12,n 例例3 若若n维单位向量组维单位向量组 可由可由 n维向维向量组量组 线性表示，则线性表示，则线性无关线性无关.因此，因此，12,n 线性无关。线性无关。因此，因此，例例4 求下列向量组的一个最大无关组及向量求下列向量组的一个最大无关组及向量组的秩。组的秩。123(1,2,1,3),(1,2, 3, 2),(3,6, 5, 1)TTT 解解: (筛选法筛选法)12, 线性无关，线性无关，所以所以123, 线性相关线性相关所以，最大无关组为所以，最大无关组为12, 秩为秩为 2同样，同样，132

16、3,;, 也是最大无关组。也是最大无关组。（最大无关组不唯一：有三组最大无关组。）（最大无关组不唯一：有三组最大无关组。）3122,对应元素不成比例对应元素不成比例定理定理2 设向量组设向量组 线性无关线性无关,而向而向量组量组 线性相关线性相关,则向量则向量b必能由必能由向量组向量组A线性表示线性表示,且表示式是唯一的且表示式是唯一的.12:,mA 12:,mBb 例例5设设112123123, 且且 线性无关，证明线性无关，证明 线性无关。线性无关。123, 123, 线性无关的证明方法：线性无关的证明方法：线性无关的定义线性无关的定义向量组的等价向量组的等价向量组的秩等于向量组中向量的个数向量组的秩等于向量组中向量的个数n个个n维向量所组成的向量组