大学高数,第八章多元函数微分学 习题课

1、下页返回上页第八章第八章 多元函数的微分学多元函数的微分学习题课习题课下页返回上页平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容下页返回上页全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性偏导数在偏导数在经济上的应用经济上的应用多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念下页返回上页1 1、区域、区域（1）邻域）邻域),(0 PU

2、 |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 0P 下页返回上页（3）n维空间维空间 设设 n为取定的一个自然数，我们称为取定的一个自然数，我们称 n元数元数组组),(21nxxx的全体为的全体为 n维空间，而每个维空间，而每个 n元数组元数组),(21nxxx称为称为 n维空间中的一个维空间中的一个点，数点，数 ix 称为该点的第称为该点的第 i个坐标个坐标. （2）区域）区域连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域下页返回上页2 2、多元函数概念、多元函数概念 。上上）的的图图形形（或或图图像像）（在在为为函函数数中中的的子子集集的的值值域域，并并且且称称称称为为函

3、函数数的的定定义义域域，称称为为函函数数称称为为因因变变量量，称称为为自自变变量量，其其中中或或值值）函函数数，记记作作元元（实实上上的的一一个个称称为为定定义义在在的的任任一一映映射射到到实实数数集集的的一一个个非非空空子子集集，从从是是设设DxfyDxxfyyxxxRfDxxfDffDyxxxDxxxxfxfyRRDfnDfRDRDnnnnnn ,:2112121定义下页返回上页3 3、多元函数的极限、多元函数的极限定 义定 义 设 函 数设 函 数),(yxfz 的 定 义 域 为的 定 义 域 为),(,000yxPD是其内点或边界点， 如果对于任意是其内点或边界点， 如果对于任意给定

4、的正数给定的正数 ，总存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不，使得对于适合不等式等式 20200)()(|0yyxxPP的一的一切点，都有切点，都有 |),(|Ayxf成立，则称成立，则称 A A 为函为函数数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，时的极限， 记为记为 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf这里这里|0PP ）. 下页返回上页说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函

5、数的极限运算法则与一元函数类似4 4、极限的运算、极限的运算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0 BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP则则时，时，设设下页返回上页5 5、多元函数的连续性、多元函数的连续性定定 义义 设设 函函 数数),(yxf的的 定定 义义 域域 为为 点点 集集)(,0,00yxPD是是D的的内内点点或或边边界界点点且且DP 0，如如果果)()(lim00PfPfPP 则则称称函函数数),(yxf在在点点0P处处连连续续. . 如如果果),(yxf在在点点),(000yxP处处不不连连续续， 则则称称0P是是函函数数

6、),(yxf的的间间断断点点. . 下页返回上页6 6、闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值（2）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（1）有界性定理）有界性定理 有界闭区域有界闭区域D D上的多元连续函数是上的多元连续函数是D D上的上的有界函数有界函数 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任

7、何值至少一次（3）介值定理）介值定理下页返回上页7 7、偏导数概念、偏导数概念下页返回上页同理可定义函数同理可定义函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.下页返回上页同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.下页返回上页、高阶偏导数、高阶偏导数),

8、(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.下页返回上页 的的相相对对改改变变量量函函数数对对存存在在处处偏偏导导数数在在设设函函数数bbaaPyxPPfQ, yxfyxfyyxfQQax, 之比之比的相对改变量的相对改变量与自变量与自变量bbbPPP bbaaxPPQQ .,两点间的交叉弹性两点间的交叉弹性到到从从对对称为函数称为函数yyyPyx

9、fb 、偏导数在经济上的应用偏导数在经济上的应用:交叉弹性交叉弹性下页返回上页即即.lim0abbabbaaxQPPQPPQQ ,0时时当当 y 记作记作的弹性的弹性处对处对在在的极限称为的极限称为,bPyxyxf,baEPEQbbaaPPQQ baEPEQ下页返回上页 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oyBxAz ，其中，其中 A,B 不依赖于不依赖于yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数)

10、,(yxfz 在点在点),(yx的的全微分，记为全微分，记为dz，即，即 dz=yBxA .1010、全微分概念、全微分概念下页返回上页多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导下页返回上页1111、全微分的应用、全微分的应用,),(),(yyxfxyxfdzZyx .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很很小小时时当当,yx 主要方面主要方面:近似计算与误差估计近似计算与误差估计.下页返回上页1212、复合函数求导法则、复合函数求导法则定理如果函数定理如果函数)(tu 及及)(

11、tv 都在点都在点t可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏导具有连续偏导数，则复合函数数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t可可导，且其导数可用下列公式计算：导，且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz 以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz下页返回上页下页返回上页0),()1( yxF隐函数存在定理隐函数存在定理 1 1 设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的的某一邻域内具有连续的偏导数，且某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，则方程，则方程0),( yxF在点在

12、点),(00yxP的的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数导数的函数)(xfy ，它满足条件，它满足条件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隐函数的求导公式隐函数的求导公式1414、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则下页返回上页0),()2( zyxF下页返回上页1515、多元函数的极值、多元函数的极值 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，对对于于该该邻邻域域内内异异于于),(00yx的的点点),(yx：若若满满足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，则则称

13、称函函数数在在),(00yx有有 极极 大大 值值 ； 若若 满满 足足 不不 等等 式式),(),(00yxfyxf ，则则称称函函数数在在),(00yx有有极极小小值值；定义定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.下页返回上页定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函数取得极值的条件多元

14、函数取得极值的条件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的函数的驻点驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点下页返回上页定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时有极值，时有极

15、值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值. .下页返回上页求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.下页返回上页拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法 要要找找函函数数)

16、,(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的可可能能极极值值点点，先先构构造造函函数数),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 为为某某一一常常数数，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值下页返回上页二、典型例题二、典型例题例例1 1解解.)(lim2200yxxxyyx 求极限求极限)0(,sin,cos yx令令. 0)0 , 0(),( 等价于等价于则则yx cos)cos(s

17、in)(0222 yxxxy cos)cos(sin ,2 . 0)(lim2200 yxxxyyx故故下页返回上页 例例2 设设z=(3x+2y)3x+2y ,求求yzxz , 解解:vu z2y3xv 23 则则令令yxuxvvzxuuzxz 3ln31uuvuvv )23ln(1 )23(323yxyxyx yvvzyuuzyz uuvuvvln221 )23ln(1 )23(223yxyxyx 本例表明选取中间变量是值得注意的技巧问题本例表明选取中间变量是值得注意的技巧问题。 下页返回上页例例3 3解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二阶连续偏导数具有二

18、阶连续偏导数设设)1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx 下页返回上页xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 下页返回上页例例4 4解解., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数设设 ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cosxdxdy 显然显然,dxdz求求得得的的导导数数两两边边求求

19、对对,0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy x2xyez xxyzu下页返回上页于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故例例5 5解解., 0, 0,. 0),(, 0),(),()(dxduzhygzxhzyxgyxfuxu试求试求且且所确定所确定由方程组由方程组设函数设函数 的的函函数数都都看看成成是是以以及及将将方方程程组组的的变变元元xzyu,下页返回上页得得求导求导方程组各方程两边对方程组各方程两边对,x)1(,dxdyffdxduyx ,)3(zxhhdxdz 得得由

20、由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代入代入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代入代入 . 0),(, 0),(),(zxhzyxgyxfu)2(, 0 dxdzgdxdyggzyx)3(. 0 dxdzhhzx下页返回上页之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz例例6 6解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设分析分析:最小最小即即且使且使满足满足，使得，使得本题变为求一点本题变为求一点)22(61(22610,),

21、(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP下页返回上页),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此方程组得解此方程组得得得下页返回上页.647241414161min d),81,41,41(即得唯一驻点即得唯一驻点处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值)81,41,41(下页返回上页例例7 yxzzyxz,44求求已已知知

22、 解解时时)0 , 0(),( yx4432yxxzx 4432yxyzy 时时)0 , 0(),( yxxzxzzxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0 xxx 0)(lim40=0 0)0 , 0( yz同理同理 如果偏导函数通式在给定点处没定义，此时如果偏导函数通式在给定点处没定义，此时不可认为偏导数不存在。不可认为偏导数不存在。 下页返回上页一、一、 选择题选择题: :1 1、 二元函数二元函数22221arcsin4lnyxyxz 的定义的定义 域是域是( ).( ). （A A）4122 yx； （B B）4122 yx； （C C）4122 yx； （D D）41

23、22 yx. . 2 2、设、设2)(),(yxyxxyf , ,则则 ),(yxf( ).( ). （A A）22)1(yyx ； （B B） 2)1(yyx ； （C C） 22)1(xxy ； （D D） 2)1(yxy . .测测 验验 题题 下页返回上页 3 3、 22)(lim2200yxyxyx( ).( ). (A) 0 (A) 0 ； (B) 1 (B) 1 ； (C) 2 (C) 2 ； (D) (D) e . . 4 4、函数、函数),(yxf在点在点),(00yx处连续处连续, ,且两个偏导数且两个偏导数 ),(),(0000yxfyxfyx存在是存在是),(yxf在该

24、点可微在该点可微 的的( ).( ). （A A）充分条件）充分条件, ,但不是必要条件；但不是必要条件； （B B）必要条件）必要条件, ,但不是充分条件；但不是充分条件； （C C）充分必要条件；）充分必要条件； （D D）既不是充分条件）既不是充分条件, ,也不是必要条件也不是必要条件. .下页返回上页 5 5、设、设),(yxf 0, 00,1sin)(22222222yxyxyxyx 则在原点则在原点)0 , 0(处处),(yxf( ).( ). (A) (A)偏导数不存在；偏导数不存在； (B) (B)不可微；不可微； (C) (C)偏导数存在且连续；偏导数存在且连续； (D) (

25、D)可微可微 . . 6 6、设、设),(),(yxvvvxfz 其中其中vf ,具有二阶连续偏具有二阶连续偏 导数导数. .则则 22yz( ).( ). (A) (A)222yvvfyvyvf ； (B) (B)22yvvf ； (C) (C)22222)(yvvfyvvf ； (D) (D)2222yvvfyvvf . .下页返回上页 7 7、曲面、曲面)0(3 aaxyz的切平面与三个坐标面所围的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积成的四面体的体积 V=( ).V=( ). (A) (A) 323a； (B) (B) 33a； (C) (C) 329a； (D) (D) 36a. . 8 8、二元函数、二元函数33)(3yxyxz 的极值点是的极值点是( ).( ). (A) (1,2) (A) (1,2)； (B) (1.-2 (B) (1.-2 ) )； (C) (-1,2) (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). (D) (-1,-1). 9 9、函数、函数zyxusinsinsin 满足满足 )0, 0, 0(2 zyxzyx 的条件极值是的条件极值是 ( ).( ). (A) 1 (A) 1 ； (B) 0 (B) 0 ； (C) (C) 61 ； (D) (D) 81 . .下页返回上页二二、求下列函数的一阶偏导数、求下列函数的一阶偏