微积分下册总复习学习教案

1、会计学1微积分下册总复习微积分下册总复习(fx)第一页，共107页。2 2、偏导数、偏导数(do sh)(do sh)与全微分与全微分 )(0,0yxxzxyxfyxxfx ),(),(lim00000),(yxfz 0000),(),(lim0 xxyxfyxfxx ),0()( oyBxAz),(),(0000yxfyyxxfz zd22)()(yx 0dPzdyyxfdxyxfyx),(),(0000 yyzxxzPP 00第2页/共107页第二页，共107页。处处在点在点),(),(000yxPyxfz 可可 微微 连连 续续偏导数连续偏导数连续偏导存在偏导存在第3页/共107页第三页

2、，共107页。处可微的步骤：处可微的步骤：在在判定判定),(),(00yxyxfz 是否存在，是否存在，、判定判定),(),()1(0000yxfyxfyx若不存在若不存在(cnzi)(cnzi)，则不，则不可微，可微，否则否则(fuz)(fuz)转下一转下一步；步；，是否为是否为判定判定0),(),(lim)2(00000 yyxfxyxfzyx 若为若为(ru wi)0(ru wi)0，则，则可微，可微，否则不可微。否则不可微。第4页/共107页第四页，共107页。3 3、复合、复合(fh)(fh)函数求导法函数求导法),(vufz 则复合则复合(fh)(fh)函数函数),(),(yxyx

3、fz uvxzy xzuz xu vz xv yzuz yu vz yv ),(),(yxvyxu 及及第5页/共107页第五页，共107页。(1) 一个方程一个方程(fngchng)情形情形(二元方程二元方程(fngchng)、三元方程、三元方程(fngchng)4 4、隐函数、隐函数(hnsh)(hnsh)的求导法的求导法隐函数存在隐函数存在(cnzi)(cnzi)定理定理1 1),(yxF),(00yxP设设的某一邻域内满足的某一邻域内满足: :在点在点, 0),()3(00 yxFy则方程则方程; 0),()2(00 yxF),(xyy ),(00 xyy 的某一邻域内的某一邻域内并有

4、并有),(),(ddyxFyxFxyyx (1) 具有连续偏导数具有连续偏导数;0),( yxF),(00yxP它它满足满足条件条件在点在点恒能恒能唯一唯一确定一个确定一个连续且具有连续导数连续且具有连续导数的函数的函数第6页/共107页第六页，共107页。第7页/共107页第七页，共107页。(2) 方程组情形方程组情形(qng xing)隐函数隐函数(hnsh)的个数的个数=方程的方程的个数个数隐函数隐函数(hnsh)的自变量个数的自变量个数=总自变总自变量个数量个数 方程的个数方程的个数第8页/共107页第八页，共107页。5. 多元函数多元函数(hnsh)微分学的几何应用微分学的几何应

5、用(1) 空间曲线的切线空间曲线的切线(qixin)与法平面与法平面(三种情三种情形形)(2) 空间曲面的切平面与法线空间曲面的切平面与法线(三种三种(sn zhn)情形情形)6. 方向导数与梯度方向导数与梯度00000(P)(P )lim.PPPPPP Plfffl与 同向方向导数方向导数梯度梯度., adrg00PyxPfff.|)(00llgradflfPPcos)( cos)( 00PfPfyx*第9页/共107页第九页，共107页。方向导数与梯度方向导数与梯度(t d)的关系的关系函数沿梯度方向的方向导数最大函数沿梯度方向的方向导数最大(即增长即增长(zngzhng)最快最快)，且方

6、向导数的最大值为梯，且方向导数的最大值为梯度的模。度的模。7. 多元多元(du yun)函数的极值与函数的极值与最值最值(1) 极值的必要条件极值的必要条件极值的充分条件极值的充分条件(2) 求条件极值的方法求条件极值的方法代入法，代入法，Lagrange乘数法乘数法, 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy),(),(),(yxyxfyxL *第10页/共107页第十页，共107页。(3) 求最值的方法求最值的方法(fngf)1. 求求D内所有内所有(suyu)的驻点和不可导的驻点和不可导点；点；2. 用求条件极值的方法用求条件极值的方法(Lagrange乘数乘数(chn sh)法

7、或代入法法或代入法)求求D的边界上的条件极值点；的边界上的条件极值点；3. 求求D的边界的边界点；的边界的边界点；4. 计算上面三步求出的所有点的函数值，最大者即计算上面三步求出的所有点的函数值，最大者即为为D上的最大值，最小者即为最小值。上的最大值，最小者即为最小值。第11页/共107页第十一页，共107页。 1. 理解二重积分理解二重积分(jfn)、三重积分、三重积分(jfn)的概念的概念,第八章第八章 重积分重积分(jfn)2. 掌握掌握(zhngw)二重积分的计算法二重积分的计算法(直角直角坐标、极坐标、极 3. 会用重积分求一些几何量与物理量会用重积分求一些几何量与物理量.了解了解重

8、积分的性质重积分的性质.了解三重积分的计算法（了解三重积分的计算法（直角坐标、直角坐标、坐标坐标)，柱面坐标、球面坐标柱面坐标、球面坐标).第12页/共107页第十二页，共107页。其中其中(qzhng) iiniiDfyxfI ),(limd),(10二重积分二重积分是各小闭区域是各小闭区域(qy)的直径中的最大值的直径中的最大值.几何几何(j (j h)h)意义意义二重积分二重积分I表示以表示以D为底为底,柱体的体积柱体的体积.z =f (x, y)为曲顶为曲顶, 侧面是侧面是定义定义1.平面上有界闭区域平面上有界闭区域D上二元有界函数上二元有界函数z = f (x, y)的二重积分的二重

9、积分2.当连续函数当连续函数,0),(时时 yxfz以以D的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于z轴的柱面的轴的柱面的曲顶曲顶一般情形一般情形, Dyxf d),(xOy平面上方的曲顶柱体体积平面上方的曲顶柱体体积减减xOy平面下方的曲顶柱体体积平面下方的曲顶柱体体积.第13页/共107页第十三页，共107页。物理物理(wl)(wl)意意义义3.若平面薄片占有若平面薄片占有(zhnyu)平面内有界闭区平面内有界闭区域域D,),(yx 则它的质量则它的质量(zhling)M为为:它的面它的面密度为连续函数密度为连续函数.d),( DyxM 性质性质1(线性运算性质线性运算性质)为常数为常

10、数, 则则(重积分与定积分有类似的性质重积分与定积分有类似的性质) Dyxgyxf d),(),( 、设设 DDyxgyxf d),(d),(4 4、二重积分的性质二重积分的性质第14页/共107页第十四页，共107页。性质性质(xngzh)2将区域将区域D分为分为(fn wi)两个子域两个子域 Dyxf d),()(21DDD 对积分区域对积分区域(qy)的可加性质的可加性质. 1d),(Dyxf 2d),(Dyxf ,21DD以以1为高的为高的 性质性质3(几何应用几何应用) 若若 为为D的面积的面积 注注 D d既可看成是以既可看成是以D为底为底,柱体体积柱体体积. D d1 D d又可

11、看成是又可看成是D的面积的面积.第15页/共107页第十五页，共107页。 Dyxf d),(特殊特殊(tsh)地地性质性质(xngzh)4(xngzh)4(比比较性质较性质(xngzh)(xngzh),(),(yxgyxf 设设,),(Dyx 则则 Dyxg d),( Dyxf d),( Dyxf d),( ( (保序性保序性) ) DMyxfm d),(性质性质(xngzh)5(xngzh)5(估值性估值性质质(xngzh)(xngzh),),(Myxfm 设设为为D的面积的面积, 则则第16页/共107页第十六页，共107页。性质性质(xngzh)6(xngzh)6(二重积分中二重积分中

12、值定理值定理) ),( Dyxf d),(体体积体体积(tj)等于以等于以D为为底底),( f以以几何几何(j h)意义意义域域D上连续上连续,为为D的面积的面积,则在则在D上至少存在一点上至少存在一点使得使得 ),(f,),( , 0),(Dyxyxf 设设则曲顶柱则曲顶柱 为高的平顶柱体体积为高的平顶柱体体积.设设f (x, y)在闭区在闭区第17页/共107页第十七页，共107页。(1)设设f (x, y)在有界闭区域在有界闭区域(qy)D上连续上连续. Dyxyxfdd),(若若D关于关于(guny),dd),(21yxyxfD 则则x轴对称轴对称, f (x, y)对对y为奇函数为奇

13、函数, 即即, 0,),(),(),(Dyxyxfyxf f (x, y)对对y为偶函数为偶函数, 即即,),(),(),(Dyxyxfyxf 则则 Dyxyxfdd),(其中其中(qzhng);01 yDD5 5、对称区域上奇偶函数的积分性质、对称区域上奇偶函数的积分性质第18页/共107页第十八页，共107页。(2)设设f (x, y)在有界闭区域在有界闭区域(qy)D上连续上连续. Dyxyxfdd),(若若D关于关于(guny),dd),(21yxyxfD 则则 y轴对称轴对称, f (x, y)对对x为奇函数为奇函数, 即即, 0,),(),(),(Dyxyxfyxf f (x, y

14、)对对x为偶函数为偶函数, 即即,),(),(),(Dyxyxfyxf 则则 Dyxyxfdd),(其中其中(qzhng);01 xDD第19页/共107页第十九页，共107页。),()(,),( 21xyxbxayxD 其中其中(qzhng)函数函数 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy aD在区间在区间(q jin)a, b上上连续连续.(1) 直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)系系xOy Dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d 先对先对y 后对后对x的二次积分的二次积分6、二重积分计算、二重积分计算第20页/共107页第二十页，共107页。),

15、()(,),( 21yxydycyxD 其中其中(qzhng)函函数数 、)(1y )(2y 在区间在区间(q jin)c, d上上连续连续. Dyxf d),( dcyyxyxfy)()(21d),(d 先对先对x 后对后对y的二次积分的二次积分(jfn).xOyD)(2yx cd)(1yx 第21页/共107页第二十一页，共107页。交换积分次序交换积分次序(cx)的的步骤步骤 (1) 利用利用(lyng)已给的二次积分的积已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域分限得出相应的二重积分的积分区域,(2) 按相反顺序按相反顺序(shnx)写出相应的二次积写出相应的二次积分分.并画出

16、草图并画出草图;第22页/共107页第二十二页，共107页。 Dyxf d),( ddrr极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素 Drrrrf dd)sin,cos(2) 极坐标系极坐标系 )(1 r)(2 rOAD)()(,),( 21 ryxD其中其中(qzhng)函函数数.,)()(21上连续上连续在区间在区间、 d )(2)(1;d)sin,cos( rrrrf第23页/共107页第二十三页，共107页。D;d)sin,cos(d)(0 rrrrf Dyxf d),(AO )( r)(0 ,),( ryxD其中其中(qzhng)函函数数.,)(上连续上连续在区间在区间 第24页/共1

17、07页第二十四页，共107页。 )(020d)sin,cos(d rrrrf极坐标系下区域极坐标系下区域(qy)的面的面积积.dd Drr DoA)( r)(0 ,20),( ryxD Dyxf d),(其中其中(qzhng)函数函数.,)(上连续上连续在区间在区间 第25页/共107页第二十五页，共107页。2、三重、三重(sn zhn)积分积分的几何意义的几何意义表示空间区域的体积表示空间区域的体积时时当当 Vdvzyxf,1),(3 3、三重、三重(sn zhn)(sn zhn)积分的性积分的性质质类似类似(li s)于二重积分的性质于二重积分的性质1 1、三重积分的定义、三重积分的定义

18、三重积分三重积分第26页/共107页第二十六页，共107页。三重三重(sn zhn)积分积分vzyxfd),(0为为f的偶函数的偶函数z对称对称(duchn)性性质质),(),(zyxfzyxf 则称则称f关于变量关于变量(binling)z的奇的奇 函数函数. vzyxfd),(则则 ,坐标面对称坐标面对称xOy关于关于的奇函数的奇函数z为为f21 若域若域xOy在在为为其中其中 1坐标面的上半部区域坐标面的上半部区域.),(),(zyxfzyxf (偶偶)第27页/共107页第二十七页，共107页。vzyxfd),(0为为f的偶函数x vzyxfd),(则则 ,坐标面对称yOz关于关于(g

19、uny)的奇函数x为为f21 若域若域yOz在为其中1坐标坐标(zubio)面的前半部面的前半部区域区域.三重积分三重积分第28页/共107页第二十八页，共107页。vzyxfd),(0为为f的偶函数y vzyxfd),(则则 ,坐标面对称zOx关于关于(guny)的奇函数y为为f21 若域若域zOx在为其中1坐标坐标(zubio)面的右半部面的右半部区域区域.三重积分三重积分第29页/共107页第二十九页，共107页。4 4、三重、三重(sn zhn)(sn zhn)积分的计算积分的计算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .),(),()()(),(),(21

20、21 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf.,),( ),(21czcDyxzyxz .),(),(21 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf() 直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)第30页/共107页第三十页，共107页。 .,sin,coszzryrx () 柱面坐标柱面坐标(zubio).),sin,cos(),( dzrdrdzrrfdvzyxf ,dzrdrddv 21(, )(, )( cos , sin , ) dzzf rrz r z 21( )( )drrr d 注注通常通常(tngchng)是是先积先积再积再积后积后积r、z. 第31页/

21、共107页第三十一页，共107页。 .cos,sinsin,cossin rzryrx,sin2 ddrdrdv dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf() 球面球面(qimin)坐标坐标通常通常(tngchng)是是注注、先积先积r、再再积积 . 后后积积第32页/共107页第三十二页，共107页。5 5、二重积分的应用、二重积分的应用(yngyng)(yngyng)(1) 体积体积(tj)的体积为的体积为之间直柱体之间直柱体与区域与区域在曲面在曲面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(设设S曲面曲面(qmin)的方程的方程为：

22、为：).,(yxfz 曲面曲面S的面积为的面积为 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面面积曲面面积第33页/共107页第三十三页，共107页。当薄片是均匀的，重心当薄片是均匀的，重心(zhngxn)称为形心称为形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心为为(3) 重心重心(zhngxn)第34页/共1

23、07页第三十四页，共107页。薄片薄片(bo pin)对于对于x轴的转动轴的转动惯量惯量薄片薄片(bo pin)对于对于y轴的转动惯轴的转动惯量量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量为为(4) 转动惯量转动惯量第35页/共107页第三十五页，共107页。薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面

24、面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，计计算算该该平平面面薄薄片片对对位位于于z 轴轴上上的的点点), 0 , 0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数为引力常数f(5) 引力引力(ynl)第36页/共107页第三十六页，共107页。6 6、三重积分、三重积分(jfn)(jfn)的应用的应用. dvM 其中其中,1 dvxMx

25、 设设物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域 ，在在点点),(zyx处处的的密密度度为为),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上连连续续，则则该该物物体体的的重重心心为为() 重心重心(zhngxn),1 dvyMy .1 dvzMz 第37页/共107页第三十七页，共107页。,2 dvzIxy ( () ) 转动惯量转动惯量 设设物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域 ，在在点点),(zyx处处的的密密度度为为),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上连连续续，则则该该物物体体对对坐坐标标面面,坐坐标标轴轴及及原原点点的的转转动动惯惯量量为为,2 dvxIyz ,2 dvyIzx

26、 ,)(22 dvzyIx ,)(22 dvxzIy ,)(22 dvyxIz .)(222 dvzyxIo 第38页/共107页第三十八页，共107页。第九章第九章 曲线曲线(qxin)积分与积分与曲面积分曲面积分曲线曲线(qxin)积分的性质及两类曲线积分的性质及两类曲线(qxin)积分的关系积分的关系.2. 会计算会计算(j sun)两类曲两类曲线积分线积分.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件.1. 理解两类曲线积分的概念理解两类曲线积分的概念,了解两类了解两类3. 掌握格林掌握格林(Green)公式公式,会使用平面会使用平面第39页/共107页第三十九页，共107页。(G

27、auss) 、5.了解散了解散(jisn)度、旋度的概念及其计度、旋度的概念及其计算算6. 会用曲线会用曲线(qxin)积分、积分、4. 了解两类曲面积分的概念了解两类曲面积分的概念(ginin)及及高斯高斯并会并会计算两类曲面积分计算两类曲面积分.斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式,方法方法.曲面积分求一些曲面积分求一些几何量与物理量几何量与物理量.第40页/共107页第四十页，共107页。 曲曲 线线 积积 分分第一类曲线积分第一类曲线积分第二类曲线积分第二类曲线积分定定义义 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10i

28、iiniiiiyQxP 联联系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 计计算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)第41页/共107页第四十一页，共107页。格林公式格林公式(gngsh)(gngsh)第42页/共107页第四十二页，共107页。与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与路径无关与路径无关内内在在)1(

29、CDCQdyPdx闭曲线闭曲线, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题第43页/共107页第四十三页，共107页。思路思路(sl) LyQxPIddxQyP xQyP 0dd LyQxPI ),(),(00ddyxyxyQxPI闭合闭合(b h)非闭非闭闭合闭合(b h)非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式第二类曲线积分第二类曲线积分的计算法的计算法 LyyxQxyxPd),(d),( DyxyPxQIdd)(第44页/共107页第四十四页，共107页。 如果如果(rgu)曲面方程为以下三种：曲面方程为以下三种：第一

30、类曲面(qmin)积分 曲面曲面(qmin)积积分分;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:)1yxzz 若曲面若曲面则则;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(则则),(:)2zxyy 若曲面若曲面第45页/共107页第四十五页，共107页。.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),()3zyxx ：若曲面若曲面则则第46页/共107页第四十六页，共107页。第二类曲面(qmin)积分),(:)1yxzz 若曲面若曲面yxRQdzdxPdydzddPdxdyQ)(yz)(xzR其中其中(qzh

31、ng)符号当符号当取上侧时为正，下侧时取上侧时为正，下侧时为负。为负。xyD),(:)2zxyy 若曲面若曲面yxRQdzdxPdydzddP)(xyQdzdxR)(zy其中符号其中符号(fho)当当取右侧时为正，左侧时为负取右侧时为正，左侧时为负。zxD第47页/共107页第四十七页，共107页。),()3zyxx ：若曲面若曲面yxRQdzdxPdydzdd)(yxPdydzQR)(zxyzD其中其中(qzhng)符号当符号当取前侧时为正，后侧时为负取前侧时为正，后侧时为负。注意注意: :对坐标的曲面对坐标的曲面(qmin)(qmin)积分积分, ,必须注意曲面必须注意曲面(qmin)(q

32、min)所所取的侧取的侧. .第48页/共107页第四十八页，共107页。yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos两类关系(gun x)0(cos, cos, cos )n第49页/共107页第四十九页，共107页。高斯高斯(o s)(o s)公式公式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或这里这里 是是 的整个边界曲面的的整个边界曲面的外侧，外侧， cos,cos,cos是是 上点上点),(zyx处的法向处的法向 量的方向余弦量的方向余弦. . 第50页/共107页第五十页，共107页。设向量场设向量场P, Q, R, 在域在域G内有一阶内有一阶 连续连续

33、(linx) 偏导数偏导数(do sh), 则则 向量场通过向量场通过(tnggu)有向曲面有向曲面 的通量为的通量为 ),(RQPASnAd2. 通量与散度通量与散度 G 内任意点处的内任意点处的散度散度为为 zRyQxPAdiv第51页/共107页第五十一页，共107页。定理定理 设设 为分段光滑的空间有向闭曲线为分段光滑的空间有向闭曲线, , 是以是以 为边界的分片光滑的有向曲面为边界的分片光滑的有向曲面, , 的正向与的正向与 的侧符合右手规则的侧符合右手规则, , 函数函数),(zyxP, ,),(zyxQ, ,),(zyxR在包含曲面在包含曲面 在内的在内的一个空间区域内具有一阶连

34、续偏导数一个空间区域内具有一阶连续偏导数, , 则有公式则有公式 斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式(gngsh)(gngsh)dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx 斯托克斯公式斯托克斯公式(gngsh)(gngsh)第52页/共107页第五十二页，共107页。yozxnRQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd SRQPzyxdcoscoscos第53页/共107页第五十三页，共107页。2. 2. 旋度旋度. )(ArotRQPzyxkji为向量场的旋度为向量场的旋度称向量称向量 .)()()(kyPxQjxRz

35、PizQyR 第54页/共107页第五十四页，共107页。第二类曲面积分第二类曲面积分(jfn)的计算法的计算法1. 利用利用(lyng)Gauss公式公式)1(vzRyQxPd)( yxRxzQzyPdddddd 闭闭曲曲面面具有具有(jyu)则则取取其中其中 外侧外侧. .在在若若RQP,中中所围成的空间域所围成的空间域 一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,)2(,比较复杂比较复杂非闭而非闭而若若RQP 在在RQP,后后加面加面 )(为闭为闭 中中所构成的空间域所构成的空间域 具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数, ,则则 I 第55页/共107页第五十五页，共107页。2. yxRxzQz

36、yPIdddddd面投影面投影在在将将xOy ),(yxfz 的方程为的方程为设曲面设曲面 xyD yxRzQzPyxdd)()(上侧为正，下侧为负。上侧为正，下侧为负。第56页/共107页第五十六页，共107页。常数常数(chngsh)项级数项级数函数函数(hnsh)项级数项级数交错级 数 正正项项级级数数幂级数幂级数三角三角(snjio)(snjio)级数级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数0)(xR为常数为常数nu)(xuunn为函数为函数满足狄满足狄 氏条件氏条件0 xx 取

37、取在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 第十章第十章 无穷级数无穷级数第57页/共107页第五十七页，共107页。定义定义(dngy)0,1 nnnuu.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns1 1、正项级数、正项级数(j sh)(j sh)及其审及其审敛法敛法审敛法审敛法(1) (1) 比较比较(bjio)(bjio)审审敛法敛法若若 1nnu收敛收敛( (发散发散) )且且)(nnnnvuuv , ,则则 1nnv收敛收敛( (发散发散) ). .第58页/共107页第五十八页，共107页。(2) (2) 比较比较(bjio)(bjio

38、)审敛法的极审敛法的极限形式限形式第59页/共107页第五十九页，共107页。(3) (3) 比值审敛法比值审敛法( (达朗贝尔达朗贝尔 D DAlembertAlembert 判别法判别法) ) 设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时级数收敛时级数收敛;1 时级数发散时级数发散; 1 时失效时失效.( (4 4) ) 根值审敛法根值审敛法 ( (柯西判别法柯西判别法) ) 设设 1nnu是正项级数是正项级数, ,如果如果 nnnulim)( 为数或为数或 , ,则则1 时级数收敛时级数收敛; ; 1 时级数发散时级数发散; ;1 时失效时失效.

39、 .第60页/共107页第六十页，共107页。定义定义(dngy) (dngy) 正正 、负项相间的级数称为、负项相间的级数称为交错级数交错级数. . nnnnnnuu 111)1()1(或或莱布尼茨定理莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,则则级数收敛级数收敛, , 且其和且其和1us , , 其余 项其余 项nr的绝对值的绝对值1 nnur. .)0( nu其中其中2 2、交错、交错(jiocu)(jiocu)级数及其审级数及其审敛法敛法第61页/共107页第六十一页，共107页。定

40、义定义 正项正项(zhn xin)(zhn xin)和负项任意出现的级数称为任意和负项任意出现的级数称为任意项级数项级数. .定理定理 若若 1nnu收敛收敛,则则 1nnu收敛收敛.定义定义: :若若 1nnu收敛收敛, , 则称则称 0nnu为绝对收敛为绝对收敛; ;若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. .3 3、任意、任意(rny)(rny)项级数及其审项级数及其审敛法敛法第62页/共107页第六十二页，共107页。4 4、函数、函数(hnsh)(hnsh)项级数项级数(1) (1) 定义定义(dngy)(dngy)设设),(

41、,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在RI 上上的的函函数数, ,则则 )()()(211xuxuxunn称称为为定定义义在在区区间间I上上的的( (函函数数项项) )无无穷穷级级数数. .(2) (2) 收敛收敛(shulin)(shulin)点与收点与收敛敛(shulin)(shulin)域域如如果果Ix 0,数数项项级级数数 10)(nnxu收收敛敛,第63页/共107页第六十三页，共107页。则称则称0 x为级数为级数)(1xunn 的的收敛点收敛点, ,否否则则称称为为发发散散点点. .所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域. .函数项级数函数项级数)(1xu

42、nn 的所有收敛点的全体称为的所有收敛点的全体称为收敛域收敛域, ,(3) (3) 和函数和函数(hnsh)(hnsh)在收敛域上在收敛域上, ,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数)(xs, ,称称)(xs为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数. .第64页/共107页第六十四页，共107页。(1) (1) 定义定义(dngy)(dngy)形如形如nnnxxa)(00 的级数称为的级数称为幂级数幂级数.,00时时当当 x其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.5 5、幂级数、幂级数nnnxa 0第65页/共107页第六十五页，共107页。如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx

43、处处发发散散, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散. .定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx处处收收敛敛, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛; ;(2) (2) 收敛性收敛性第66页/共107页第六十六页，共107页。如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :

44、当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当Rx 时时,幂级数发散幂级数发散;当当RxRx 与与时时, ,幂级数可能收敛也可能发散幂级数可能收敛也可能发散. .推论推论(tu(tuln)ln)第67页/共107页第六十七页，共107页。定义定义: : 正数正数R R称为幂级数的收敛称为幂级数的收敛(shulin)(shulin)半径半径. .幂级数的收敛域称为幂级数的收敛域称为(chn wi)幂级数的收幂级数的收敛区间敛区间.定理定理 2 2 如果幂级数如果幂级数 0nnnxa的所有系数的所有系数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时

45、, 1R;(3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;第68页/共107页第六十八页，共107页。a.a.代数代数(dish)(dish)运算性质运算性质: : 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中(qzhng) 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 (3)(3)幂级数的运算幂级数的运算(yn sun)(yn sun)第69页/共107页第六十九页，共107页。乘法乘法(chngf)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中(qzhng)011

46、0bababacnnnn 除法除法(chf) 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收敛域内收敛域内第70页/共107页第七十页，共107页。b.b.和函数和函数(hnsh)(hnsh)的分析运算性质的分析运算性质: : 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单侧侧连连续续. 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可积内可积,且对且对),(RRx 可逐项积分可逐项积分. 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间

47、在收敛区间),(RR 内可导内可导, 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次.第71页/共107页第七十一页，共107页。 如果如果)(xf在点在点0 x处任意阶可导处任意阶可导,则幂级数则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)( 称为称为)(xf在点在点0 x的的泰勒级数泰勒级数.nnnxnf 0)(!)0(称为称为)(xf在点在点0 x的的麦克劳林级数麦克劳林级数.(4) 幂级数展开式幂级数展开式第72页/共107页第七十二页，共107页。定理定理 )(xf在点在点0 x的泰勒级数的泰勒级数, ,在在)(0 xU 内收内收敛于敛于)(xf在在)(0 xU 内内0)(lim xRnn. .充

48、要条件充要条件唯一性唯一性定理定理 如果函数如果函数)(xf在在)(0 xU 内内能能展开成展开成)(0 xx 的幂级数的幂级数, , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,则其系数则其系数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展开式是唯一的且展开式是唯一的. .第73页/共107页第七十三页，共107页。展开展开(zhn ki)方法方法a.a.直接法直接法( (泰勒泰勒(ti l)(ti l)级数法级数法) )步骤步骤(bzhu):;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨论讨论).(xf敛于敛于则级数在收敛区间内收则级数在

49、收敛区间内收b.b.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变变量代换量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方等方法法,求展开式求展开式.第74页/共107页第七十四页，共107页。),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x常见常见(chn jin)函数展开式函数展开式第75页/共107页第七十五页，共107页。)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)

50、1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(3121 1 , 1( x第76页/共107页第七十六页，共107页。应用应用(yngyng)a.a.近似计算近似计算b.b.欧拉公式欧拉公式(gngsh)(gngsh),sincosxixeix ,2cosititeet ,2sinieetitit 第77页/共107页第七十七页，共107页。(1) (1) 三角函数三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)系系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,上的积分等于零上的积分等于零任意两个不同函数在任意两个不同函数在正交性正交性 , 0cos

51、nxdx, 0sin nxdx三角函数三角函数(snjihnsh)系系6 6、傅里叶级数、傅里叶级数(j sh)(j sh), 2 , 1( n其其中中第78页/共107页第七十八页，共107页。 nmnmnxdxmx, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其中其中(2) (2) 傅里叶级数傅里叶级数(j sh)(j sh) 10)sincos(2nnnnxbnxaa定义定义(dngy)三角三角(snjio)(snjio)级数级数第79页/共107页第七十九页，共107页。其中其中(qzhng) ), 2 , 1(,sin

52、)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann称为称为(chn wi)傅里叶级数傅里叶级数. 10)sincos(2nnnnxbnxaa第80页/共107页第八十页，共107页。(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件(chn fn (chn fn tio jin)(tio jin)(收敛定理收敛定理) ) 设设)(xf是是以以 2为为周周期期的的周周期期函函数数.如如果果它它满满足足条条件件:在在一一个个周周期期内内连连续续或或只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点,并并且且至至多多只只有有有有限限

53、个个极极值值点点,则则)(xf的的傅傅里里叶叶级级数数收收敛敛,并并且且(1) 当当x是是)(xf的连续点时的连续点时,级数收敛于级数收敛于)(xf;(2) 当当x是是)(xf的间断点时的间断点时, 收敛于收敛于2)0()0( xfxf;(3) 当当x为端点为端点 x时时,收敛于收敛于2)0()0( ff.第81页/共107页第八十一页，共107页。 如果如果)(xf为奇函数为奇函数, 傅氏级数傅氏级数nxbnnsin1 称为称为正弦级数正弦级数.(4) (4) 正弦级数正弦级数(j sh)(j sh)与余弦级与余弦级数数(j sh)(j sh) 当当周周期期为为 2的的奇奇函函数数)(xf展

54、展开开成成傅傅里里叶叶 级级数数时时,它它的的傅傅里里叶叶系系数数为为 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann第82页/共107页第八十二页，共107页。 当周期为当周期为 2的偶函数的偶函数)(xf展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数时时,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann 如果如果)(xf为偶函数为偶函数, 傅氏级数傅氏级数nxaanncos210 称为称为余弦级数余弦级数.第83页/共107页第八十三页，共107页。奇延拓奇延拓: 0)(000)()(xxfxx

55、xfxF令令的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf.sin)(1 nnnxbxf)0( x(5) (5) 周期周期(zhuq)(zhuq)的延拓的延拓第84页/共107页第八十四页，共107页。偶延拓偶延拓: 0)(0)()(xxfxxfxF令令的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( x第85页/共107页第八十五页，共107页。式为式为则它的傅里叶级数展开则它的傅里叶级数展开的条件的条件满足收敛定理满足收敛定理的周期函数的周期函数设周期为设周期为,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 式式的周期函数的傅氏展开的周期函数的傅氏

56、展开周期为周期为 l2)6(), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln第86页/共107页第八十六页，共107页。第十一章第十一章 微分方程微分方程(wi fn fn chn)1.一阶微分方程一阶微分方程(wi fn fn chn) 可分离变量可分离变量(binling)方程方程齐次方程齐次方程(可化为齐次方程的可化为齐次方程的方程方程)一阶线性微分方程一阶线性微分方程2. 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程Bernoulli方程方程全微分方程全微分方程).,(),(),()(yyfyyxfyxfyn

57、和和4. 常系数线性微分方程常系数线性微分方程(齐次，非齐次齐次，非齐次)3.线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构第87页/共107页第八十七页，共107页。1 1、基本概念、基本概念微分微分(wi fn)(wi fn)方程凡含有未知函数的导数或微分方程凡含有未知函数的导数或微分(wi fn)(wi fn)的方程叫微分的方程叫微分(wi fn)(wi fn)方程方程微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数高阶导数(do sh)(do sh)的阶数称为微分方程的阶的阶数称为微分方程的阶微分方程的解代入微分方程能使方程成为微分方程的解代入微分方程

58、能使方程成为(chngwi)(chngwi)恒等式的函数称为微分方程的解恒等式的函数称为微分方程的解 第88页/共107页第八十八页，共107页。通解如果微分方程的解中含有任意通解如果微分方程的解中含有任意(rny)(rny)常常数，并且任意数，并且任意(rny)(rny)常数的个数与微分方程的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解特解确定特解确定(qudng)(qudng)了通解中的任意常数以后了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解得到的解，叫做微分方程的特解初始条件用来确定任意常数初始条件用来确定任意常数(chngsh)的

59、条件的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题第89页/共107页第八十九页，共107页。dxxfdyyg)()( 形形如如(1) 可分离变量可分离变量(binling)的微分方程的微分方程解法解法(ji f) dxxfdyyg)()(分离分离(fnl)变量法变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2) 齐次方程齐次方程解法解法xyu 作变量代换作变量代换第90页/共107页第九十页，共107页。)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如齐次方程齐次方程(fngchng),0

60、1时时当当 cc00,xuxyvy令，否则否则(fuz)为非齐次方为非齐次方程程(3) 可化为齐次的方程可化为齐次的方程(fngchng)解法解法化为齐次方程化为齐次方程是两直线是两直线00111cybxacbyax的交点的交点00(,)xy第91页/共107页第九十一页，共107页。)()(xQyxPdxdy 形如形如(4) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程(wi fn fn chn), 0)( xQ当当上方程上方程(fngchng)称为称为齐次的齐次的上方程上方程(fngchng)称为非齐称为非齐次的次的., 0)( xQ当当齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey（使用分离