第九章_重积分(二重和三重)高数

1、2011-2012学年高等数学第二学期期中考试说明 题型：题型：一、填空题（一、填空题（5个小题）；二、选择题（个小题）；二、选择题（ 5个小题）；三、个小题）；三、计算题（计算题（ 5个小题）；四、计算题（个小题）；四、计算题（ 5个小题）；五、计个小题）；五、计算与解答题（算与解答题（ 2个小题）；六、证明题（个小题）；六、证明题（ 1个小题）。个小题）。 考试时间：考试时间：2012年年5月月4日（第日（第10周周五）下午周周五）下午4：006：00 考试地点：考试地点：化学工程与工艺化学工程与工艺6班、制药工程班、制药工程12班：班： 24-303生物工程生物工程12班：班：24-30

2、5每章所占分值: 第七、八章第七、八章 空间解析几何与多元函数微分空间解析几何与多元函数微分 (占23分) 第九章第九章 重积分重积分 (占35分) 第十章第十章 线面积分线面积分 (占42分)一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分积分学积分学二重积分二重积分三重积分三重积分第一类曲线积分第一类曲线积分第二类曲线积分第二类曲线积分第一类曲面积分第一类曲面积分第二类曲面积分第二类曲面积分（细棒质量）（细棒质量）（平面薄板质量）（平面薄板质量）（曲面薄板质量）（曲面薄板质量）（空间物体质量）（空间物体质量）（物质曲线质量）（物质曲线质量

3、）（变力作功）（变力作功）（通量）（通量）第九章第九章 重积分重积分1. 二重积分的性质二重积分的性质被积函数被积函数相同相同, 且且非负非负, yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解: 321,III由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知312III11xyo例例. 比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:例例. 设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域 , 且且 0 y 1, 则则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为的大小顺序为 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDI

4、IICIIIBIIIA提示提示: 因因 0 y 0 )的公共部分的公共部分.提示提示: 被积函数缺被积函数缺 x , y 原式原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRzyxo2R(3) 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.zyxzyxfddd),(cos ,sin ,)fz zddd柱面坐标本质：投影法中的二重积分利用了极柱面坐标本质：投影法中的二重积分利用了极坐标计算坐标计算柱面坐标适用范围柱面坐标适用范围：22()

5、( )yf xyfx积分区域为柱体区域或投影域适用极坐标表示;被积函数为或型o oxyz例例. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中由抛物面24原式 =其中其中 为由为由例例. 计算三重积分计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所围所围解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2

6、原式398a柱面柱面cos2成半圆柱体成半圆柱体.(4). 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.,ZOMMoxyzzr( , , )r 则0200rcossinrx sinsinry cosrz , rOM 令zyxzyxfddd),( sincos , sinsin , cos)f rrrdddsin2rr222: ()f xyz适用范围积分区域为球形区域、被积函数为型确定确定r, , 的变化范围的方法的变化范围的方法:(a) 若若 由两曲面围成由两曲面围成,其球面坐标方程为其球面坐标方程为r=r1( , ), r=r2

7、( , ). 以原点为起点作向量穿过以原点为起点作向量穿过 ,先先遇到的曲面为遇到的曲面为r=r1( , ), 后遇到的曲面为后遇到的曲面为r=r2( , ), 则则r1( , ) r r2( , ). , 的变的变化范围要由其几何意义视具体情况确定化范围要由其几何意义视具体情况确定.(b)若原点在若原点在 的边界上的边界上,以原点为起点所作的穿以原点为起点所作的穿过过 的向量只遇到一片曲面的向量只遇到一片曲面,其球面坐标方程其球面坐标方程为为r = r ( , ),(c)若若 包含原点包含原点,围成围成 的曲面方程为的曲面方程为r = r ( , ), 则则0 r r( , ), 0 , 0

8、 2 . , 的变化范的变化范围可根据它们的几何意义围可根据它们的几何意义,视具体情况确定视具体情况确定.则则0 r r( , ), 注注: 与用极坐标算二重积分类似与用极坐标算二重积分类似例例.222(0)xyzaz a:0cos,ra,2020yzxarozyRx例例.2222(0)xyzRR:0,rR0,20例例. 计算三重积分计算三重积分,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: 在球面坐标系下在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体所围立体.40Rr 020其中其中 与球面与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20

9、dxyzo4Rr 例例. .求由半径R的球面x2+y2+z22Rz=0和半顶角为的圆锥面ctg2(x2+y2)=z2围成的立体的体积V,其中位于圆锥面上方,球面下方.解解: :的体积V,用球面坐标求这个三重积分.dv0yzxx2+y2+z22Rz=0: r=2Rcos ctg2(x2+y2)=z2: =.知, 0r2Rcos, 0,02.的体积cos202020sinRdrrdddvVdrR0cos20331sin2dR033cossin316033coscos316dR)cos1 (3443R例例. .计算由两个半球面,)(22dxdydzyxI.0)0(,222222围成平面及zbayxa

10、zyxbz解解: :两球面方程分别为:r=b和r=a,(a 0 )的公共部分的公共部分.提示提示:原式原式 =548059RRzyxo2R22222000cossinRddrrdr2 cos3rr2222202cos3cossinRRddrrdr2 cosrRrR或或 =22223000cossinRddrrdr22cos2222003cossinRddrrdr(5). 利用三重积分的对称性利用三重积分的对称性( , , )d0( , , )z2( , , )d( , , )f x y zvf x y zf x y zvf x y z上关于 为奇函数关于z为偶函数( , , )( ),f x

11、y zCxoy设且域 关于面对称 则当区域关于当区域关于yoz 轴对称轴对称, 函数关于函数关于x 有奇偶性时有奇偶性时, 当区域关于当区域关于xoz 轴对称轴对称, 函数关于函数关于y 有奇偶性时有奇偶性时,仍仍有类似结果有类似结果.zoxy23. 设由锥面22yxz和球面4222zyx所围成 , 计算.d)(2vzyxI提示提示:4利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标 rr d420dsin4020d221564例例. 计算计算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中其中.4, 1),(2122围成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用

12、对称性利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220重积分计算的基本方法重积分计算的基本方法1. 选择合适的坐标系选择合适的坐标系使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2. 选择易计算的积分序选择易计算的积分序积分域分块要少积分域分块要少, 累次积分易算为妙累次积分易算为妙 .根据图形根据图形根据方程根据方程3. 掌握确定积分限的方法掌握确定积分限的方法 累次积分法累次积分法小结：小结：三、重积

13、分的应用三、重积分的应用1. 几何方面几何方面面积面积 ( 平面域或曲面域平面域或曲面域 ) , 体积体积 , 形心形心质量质量, 转动惯量转动惯量, 质心质心, 引力引力 证明某些结论等证明某些结论等 2. 物理方面物理方面3. 其它方面其它方面注：一定要用对称性结论注：一定要用对称性结论Vzyxzzddd例例. 一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线剖面壁线的方程为的方程为, 30,)3(922zzzx内储有高为内储有高为 h 的均质钢液的均质钢液,解解: 利用对称性可知质心在利用对称性可知质心在 z 轴上，轴上，,0 yx采用柱坐标采用柱坐标, 则炉壁方程为则炉壁方程为,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此因此故故自重自重, 求它的质心求它的质心.oxzh若炉若炉不计炉体的不计炉体的其坐标为其坐标为hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV例例.,)0(, 0)0(,)(存在设ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解: 在球坐标系下trrrftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttFt利用洛必达法则与导数定义,得3204)(4limtttftttf