数学ch相关与回归分析实用教案

1、第一节第一节 变量变量(binling)间的相关间的相关关系关系 第1页/共96页第一页，共96页。第2页/共96页第二页，共96页。按涉及变量(binling)的多少分为按照表现形式不同(b tn)分为按照变化(binhu)方向不同分为一元相关（单相关）多元相关（复相关）直线相关（线性相关）曲线相关（非线性相关）负相关正相关第3页/共96页第三页，共96页。三相关分析的基本三相关分析的基本(jbn)(jbn)内容内容 1、判断现象之间是否存在相关关系、关系的类型及密切程度； 、为相关关系建立回归方程或经验公式； 、测定(cdng)估计误差。 第4页/共96页第四页，共96页。xy正正 相相

2、关关xy负负 相相 关关xy曲线相关曲线相关xy不不 相相 关关一、相关(xinggun)图第5页/共96页第五页，共96页。序号序号亩施肥量（公斤）亩施肥量（公斤）亩产量（公斤）亩产量（公斤）1 155552962962 250503253253 365653193194 470703743745 574743873876 679794064067 780803893898 882824344349 98484497497101085855285281111868651151112129090535535小麦(xiomi)亩产量与施肥量相关表第6页/共96页第六页，共96页。产量(chnli

3、ng)和单位成本相关表产量（件）产量（件）企业数（个）企业数（个）平均单位成本（元）平均单位成本（元）202030309 916.816.8303040405 515.615.6404050505 515.015.0505060606 614.814.86060以上以上5 514.214.2第7页/共96页第七页，共96页。三、三、 简单简单(jindn)相关系数相关系数概念概念用以反映两变量间线性相关密切程度用以反映两变量间线性相关密切程度(chngd)(chngd)的统计指标。的统计指标。 总体相关系数记为总体相关系数记为，样本相关系数记为，样本相关系数记为 r r。计算公式计算公式未分组

4、资料未分组资料（8-5）yxxyr2第8页/共96页第八页，共96页。yxxyr2样本相关系数的定义(dngy)公式实质第9页/共96页第九页，共96页。22)()()(yyxxyyxxr yxnxyyyxx1)(222)(1)(xnxxx222)(1)(ynyyy相关系数的推导(tudo)公式yyLxxLxyLr )()(yxxynxyL2)(2xxnxxL2)(2yynyyL第10页/共96页第十页，共96页。)()()()(1)(11)()()(22222222222222yyxxyxxyyynxxnyxxynxnxynyyxnxyyyxxyyxxr (8-8)(8-6)第11页/共96

5、页第十一页，共96页。相关系数r r的取值范围(fnwi)(fnwi)：-1r1-1r1r0 r0 为正相关，r 0 r tt/2/2，拒绝H0H0，相关(xinggun)(xinggun)关系显著； 若t ttt=64.9809t/2(13-2)=2.201/2(13-2)=2.201，拒绝H0H0，人均消费金额与人均国民收入之间的相关关系显著(xinzh),(xinzh),不能否认总体两变量存在线性相关。第23页/共96页第二十三页，共96页。第二节第二节 一元一元(y yun)线性回归模型线性回归模型一 回归分析的概念1 1 概念 运用数学方法测定(cdng)(cdng)相关变量间的一般

6、关系的分析过程。 回归分析方法就是通过对占有相关资料的分析，找出其变化规律性，建立适宜的数学模型或经验公式，使现象间数量上的不确定(qudng)、不严格的相互依存关系变为确定(qudng)性的、严格依存的函数关系，即将这种数量关系一般化、平均化。第24页/共96页第二十四页，共96页。2 2 回归回归(hugu)(hugu)分析与相关分析的联系分析与相关分析的联系与区别与区别 联联 系系 区区 别别 1、理论和方法具有一理论和方法具有一 致性；致性； 2 2、无相关就无回归，、无相关就无回归，相关程度越高，回归越相关程度越高，回归越好；好；3 3、相关系数和回归系、相关系数和回归系数方向一致，

7、可以互相数方向一致，可以互相推算。推算。 1 1、相关分析中，、相关分析中，x x与与y y对等，回对等，回归分析中，归分析中，x x与与y y要确定自变量和要确定自变量和因变量；因变量；2 2、相关分析中、相关分析中x x，y y均为随机变量均为随机变量，回归分析中，只有，回归分析中，只有y y为随机变量为随机变量3 3、相关分析测定相关程度和方向、相关分析测定相关程度和方向，回归分析不仅可以揭示变量，回归分析不仅可以揭示变量 x x 对变量对变量 y y 的影响大小，还可以用的影响大小，还可以用回归模型进行预测和控制。回归模型进行预测和控制。 第25页/共96页第二十五页，共96页。二 一

8、元(y yun)(y yun)线性回归模型1 1 总体(zngt)(zngt)一元线性回归模型的一般形式 x对对y的线性影响而形成的的线性影响而形成的系统部分，反映系统部分，反映(fnyng)两两变量的平均变动关系，即本质变量的平均变动关系，即本质特征。特征。随机误差：各种偶然因素，观察误差和其他被忽视因素的影响。，未知参数,xY第26页/共96页第二十六页，共96页。3 3 总体(zngt)(zngt)一元线性回归方程, xYE）（样本（或估计(gj)的）一元线性回归方程 bxay截距斜率(xil)(xil)（回归系数）22 2 基本假定u 值相互独立u 服从正态分布u的数学期望E()=0E

9、()=0u的方差都相同，且22第27页/共96页第二十七页，共96页。3 3 总体一元线性回归方程, xYE）（样本（或估计的）一元线性回归方程 bxay截距斜率（回归系数）第28页/共96页第二十八页，共96页。xy0 x1xx 2xx 3xx xyE)()(yf)(iyE)(iyf第29页/共96页第二十九页，共96页。 b表明自变量表明自变量x每变动每变动(bindng)一个单位时，变量一个单位时，变量y的平均变动的平均变动(bindng)值。值。b b与r r的关系(gun x)(gun x)：r0 r0 r=0b0 b0 b=0估计的回归方程的可能形态b0b0b=0 xyyxrbbr

10、;(8-24)第30页/共96页第三十页，共96页。4 4 一元线性回归(hugu)(hugu)模型的确定（用未分组资料）y y倚x x的回归(hugu)(hugu)方程 根据实际(shj)(shj)数据，用最小平方法，即使 分别对a a、b b求偏导并令其为零，求得两个标准方程。min) (2yy0)(20) 1)(2xbxaybQbxayaQ令令则2xbxaxyxbnay22)()(bxayyyQ22)( xxnyxxynbnxbnya 解联立方程(lin l fn(lin l fn chn chn) )，得到第31页/共96页第三十一页，共96页。 解联立方程(lin l fn(lin

11、l fn chn chn) )，得到22)( xxnyxxynbnxbnya 22222)()()(11xxyyxxxxyxxyxnxyxnxyb8-148-15第32页/共96页第三十二页，共96页。最小二乘法(chngf)图示第33页/共96页第三十三页，共96页。最小2)(yy0)(yyyyyx,5 5 回归直线的特点（1 1）回归直线的走向(zuxing)(zuxing)，是由回归系数决定的。（2 2）回归直线满足 ， ，即，是一条(y tio)(y tio)最适线。（4 4） 回归(hugu)(hugu)直线是一条平均数线。（3 3） 回归直线一定通过点（ ）第34页/共96页第三十

12、四页，共96页。 【例【例4 4】根据例】根据例1 1中的数据，配合人均中的数据，配合人均(rn jn)(rn jn)消费金额消费金额对人均对人均(rn jn)(rn jn)国民收入的回归方程国民收入的回归方程解：根据a a和b b的求解(qi ji)(qi ji)公式得人均消费金额对人均国民收入的回归方程为13 第35页/共96页第三十五页，共96页。 020040060080010001200140005001000150020002500人均消费与人均国民收入的回归人均消费与人均国民收入的回归第36页/共96页第三十六页，共96页。例例5 5 接接例例2 2求回归方程求回归方程测量测量序

13、序 号号储存时间储存时间（小时）（小时）x xV VC C含量含量% y% yxyxy1 10 020200 04004000 019.7019.702 21 118181 1324324181818.1918.193 32 217174 4289289343416.6816.684 43 315159 9225225454515.1715.175 54 413131616169169525213.6613.666 65 512122525144144606012.1512.157 76 611113636121121666610.6410.648 87 79 94949818163639.1

14、39.139 98 88 86464646464647.627.6210109 96 68181363654546.116.11合计合计4545129129285285185318534564562x2yy 第37页/共96页第三十七页，共96页。70.19104551. 11012951. 18251245452851012945456102abxy51. 170.19第38页/共96页第三十八页，共96页。总产值将为多少总产值将为多少? ?第39页/共96页第三十九页，共96页。解: (1) (两者为高度(god)正相关) 2222)()(yynxxnyxxyn22545 .5646248

15、 .111654241 .250647168.916 .2049846. 0第40页/共96页第四十页，共96页。2317. 268.916 .204)(22 xxnyxxynb0733. 042317. 29xbya8x(2) 经济含义(hny): (hny): 表明工业生产用固定资产每增加一百万元, ,工业总产值平均上升2.23172.2317百万元当当(百万元百万元) )yc=0.0733+2.2317x 0.0733+2.2317x 9269.1782317. 20733. 0cy第41页/共96页第四十一页，共96页。某某企企业业上上半半年年产产品品产产量量与与单单位位成成本本资资料

16、料如如下下： 月月 份份 产产 量量（千千件件） 单单位位成成本本（元元） 要要求求： （）配配合合回回归归方方程程. . （）指指出出产产量量每每增增加加1 10 00 00 0 件件时时，单单位位成成本本平平均均变变动动多多少少？ （）假假定定产产量量为为6 60 00 00 0 件件时时，单单位位成成本本为为多多少少元元？ 练习(linx)1第42页/共96页第四十二页，共96页。1481794262162xyxyxn82. 1217964262114816)(222 xxnyxxynb37.7762182.16426xbya答案答案(d n)：第43页/共96页第四十三页，共96页。第

17、44页/共96页第四十四页，共96页。练习2 2 设某公司销售收入X X为自变量，Y Y为因变量。现已根据1212个月的有关资料计算出以下数据(shj)(shj)（单位：万元）25.262855)(2YY73.425053)(2XX09.334229)(XXYY88.647X8 .549Y试拟合(n h)(n h)简单线性回归方程。第45页/共96页第四十五页，共96页。73.407863. 073.42505309.334229)()()(222 XbYaXXYYXXXXnYXXYnb答案答案(d n)：第46页/共96页第四十六页，共96页。 三、判定系数(xsh)(xsh)（r2r2）和

18、估计标准误（SxySxy） （一）判定系数(xsh)(xsh) 1 1 离差平方和的分解 xyy)(0yy bxay)(0yy )(yy222) ()()(yyyyyy总偏差= = 回归(hugu)(hugu)偏差+ + 剩余偏差u总偏差u 反映因变量的n n个观察值与其均值的总离差。u回归(hugu)(hugu)偏差( (被回归(hugu)(hugu)解释的偏差) )u 反映由于x x与y y之间的线性关系引起的y y的取值变化u剩余偏差( (未被解释的偏差) )u 反映除x x以外的其他因素对y y取值的影响。第47页/共96页第四十七页，共96页。222222)()(1)()(yyyyr

19、yyyyr或 2 2 判定系数 (1) (1) 概念 回归平方和占总离差平方和的比例, ,用r2r2表示 取值范围： 是对回归模型拟合优度的评价(pngji)(pngji)。 等于相关系数的平方，即r2r2(r)2(r)2 注意：判定系数无方向性，相关系数则有方向，其方向与样本回归系数 b b 相同。 102 r第48页/共96页第四十八页，共96页。102222rynyynxybyar (2) (2) 常用(chn(chn yn yn) )公式 计算(j sun)(j sun)得r2=0.994r2=0.994 说明我们拟合回归模型产生的偏差中，99.4%99.4%的偏差是由储存时间和VcV

20、c的依存关系来解释的，其余0.6%0.6%是随机误差。例7 7：根据例2 2计算判定(pndng)(pndng)系数。第49页/共96页第四十九页，共96页。（二）估计(gj)(gj)标准误（SySy） 1 概念概念 Sy是二元正态分布中因变量实际值（是二元正态分布中因变量实际值（yj）对估计）对估计值（值（ ）离散程度的量度。）离散程度的量度。 反映反映(fnyng)实际观察值在回归直线周围的分散状况；实际观察值在回归直线周围的分散状况； 从另一个角度说明了回归直线的拟合程度。从另一个角度说明了回归直线的拟合程度。 Sy 越小，越小， 拟合越好；拟合越好； Sy 越大，越大， 拟合越差。拟合

21、越差。iy第50页/共96页第五十页，共96页。2:2)(:22nxybyaySynyySy未分组资料计算公式自由度剩余偏差定义公式2 2 公式(gngsh)(gngsh)3 Sy3 Sy也是用自变量对因变量进行区间估计的抽样误差。 例8 8：接例2 218. 021045651. 11297 .191853ys 说明水果中维生素C C含量的实际观测值与理论估计值之间的平均离差为0.18%0.18%。(8-26)第51页/共96页第五十一页，共96页。 在在95%95%的概率保证的概率保证(bozhng)(bozhng)程度下，可以估计程度下，可以估计储存时间为储存时间为8 8小时时，水果中小

22、时时，水果中VcVc含量的区间为：含量的区间为：3528. 062. 718. 096. 162. 7y在一定的把握程度(chngd)(chngd)下进行区间估计。第52页/共96页第五十二页，共96页。预测预测(yc)(yc)及及应用应用1 1 点估计点估计（1 1）y y 的平均值的点估计的平均值的点估计 利用估计的回归方程，对于自变量利用估计的回归方程，对于自变量 x x 的的一个一个给定给定( (i dni dn) )值值 x0 x0 ，求出因变量，求出因变量 y y 的的平均值的一个估计平均值的一个估计值值E(y0) E(y0) ，就是平均值的点估计。，就是平均值的点估计。 在例在例

23、1 1中，假如我们要估计人均国民收入中，假如我们要估计人均国民收入为为20002000元时，所有年份人均消费金额的平均值，元时，所有年份人均消费金额的平均值，就是就是平均值的点估计。根据估计的回归方程得平均值的点估计。根据估计的回归方程得第53页/共96页第五十三页，共96页。（2 2）y y 的个别的个别(gbi)(gbi)值值的点估计的点估计 第54页/共96页第五十四页，共96页。SxyZyy20SxyZbxa20)(（2 2） 小样本(yngbn)(yngbn)条件下（n n30)30) 1 1）y y的平均值的置信区间220)2(20220)2(20)()(1)()()(1xxxxn

24、SxytbxaxxxxnSxytyynn第55页/共96页第五十五页，共96页。第56页/共96页第五十六页，共96页。 2 2）y y 的个别的个别(gbi)(gbi)值的预测区间值的预测区间估计估计 220)2(20220)2(20)()(11)()()(11xxxxnSytbxaxxxxnSytyynn第57页/共96页第五十七页，共96页。 人均消费金额95%95%的预测(yc)(yc)区间为678.101678.101元-747.039-747.039元之间。第58页/共96页第五十八页，共96页。第59页/共96页第五十九页，共96页。包括：回归系数b的检验(jinyn)方程整体的

25、F检验(jinyn)四 一元线性回归(hugu)(hugu)模型的显著性检验第60页/共96页第六十页，共96页。回归系数b的显著性检验( jinyn)（要点）第61页/共96页第六十一页，共96页。回归系数的显著性检验( jinyn)（样本统计量b的分布）第62页/共96页第六十二页，共96页。回归系数的显著性检验(jinyn)（样本统计量b的分布）第63页/共96页第六十三页，共96页。1、回归系数b的显著性检验( jinyn) （步骤）提出假设H0: =0 (没有线性关系) H1: 0 (有线性关系) 计算(j sun)检验的统计量第64页/共96页第六十四页，共96页。例8 8：对例4

26、 4的回归系数进行显著性检验( (0.05)0.05)提出假设 H0 H0：= 0 H1= 0 H1： 0 0 2 2 计算(j sun)(j sun)检验的统计量0758.65827.3416034/95.1452638. 02t t=65.0758 t t=65.0758 t/2 =2.201/2 =2.201，拒绝(jju)H0(jju)H0，表明人均收入与人均消费之间有线性关系。第65页/共96页第六十五页，共96页。1 1 回归系数b b的检验(jinyn)(jinyn)设总体(zngt)(zngt)回归系数为 H H0 0：=0=0；H H1 1：00n30n30时 检验(jiny

27、n)(jinyn)统计量 bbZ（=0=0） b b是样本回归系数抽样分布的标准差。通常是未知的，用其估计量 代替。b222222/ )()(xnxnxybyayxxxySb）（ 给定显著性水平，查Z Z表可知其临界值 。n n3030时bbt（=0=0） 给定显著性水平，查t t表可知其临界值 。2Z)2(2nt第66页/共96页第六十六页，共96页。002Z2Z)2(2nt) 2(2ntZt第67页/共96页第六十七页，共96页。2 2 回归模型(mxng)(mxng)整体的F F检验 H0：R2=0；H1：R20 检验(jinyn)(jinyn)统计量 ）（自由度剩余偏差自由度回归偏差2

28、/)(1/)(/22nyyyyF221)2(rnrFF),(mnF第68页/共96页第六十八页，共96页。第四节第四节 非线性回归非线性回归(hugu)模型模型曲线模型的判别方法：理论和经验判断；观察散点图 曲线模型的确定(qudng)(qudng)方法： 通常用变量(binling)(binling)代换法将曲线转换为直线。按线性模型求解参数，而后再变换为曲线模型。非线性回归分析必须着重解决以下两个问题： 一是如何确定非线性函数的具体形式； 二是如何估计非线性函数中的参数第69页/共96页第六十九页，共96页。xbayc第70页/共96页第七十页，共96页。第71页/共96页第七十一页，共9

29、6页。1 1基本形式(xngsh)(xngsh)2 2 线性化方法xcabyxbaybxaylnlnln指数(zhsh)曲线3 3 图象(t xin(t xin) )第72页/共96页第七十二页，共96页。第73页/共96页第七十三页，共96页。第74页/共96页第七十四页，共96页。价格价格 ( (元元) ) x x1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010需求量需求量( (千克千克) ) y y5858505044443838343430302929262625252424第75页/共96页第七十五页，共96页。价格与需求量的散点图价格与需求量的散点图020406080

30、051015价格需求量第76页/共96页第七十六页，共96页。第77页/共96页第七十七页，共96页。价格与需求量的回归价格与需求量的回归020406080051015价格需求量第78页/共96页第七十八页，共96页。生产率（周生产率（周/单位单位)x1000200030003500 4000 4500 5000废品率（废品率（%）y5.26.56.88.110.210.313.0第79页/共96页第七十九页，共96页。04812160200040006000生产率生产率废废品品率率第80页/共96页第八十页，共96页。第81页/共96页第八十一页，共96页。一 多元线性回归(hugu)(hu

31、gu)模型及其确定nnxxxY22110二元线性回归(hugu)(hugu)模型：1 1 总体多元线性回归(hugu)(hugu)模型的一般形式22110 xxYY Y的数学期望E E（Y Y）随机误差,22110 xxYE）（ 表明自变量 共同变动引起的Y 的平均变动。也称总体的二元线性回归方程。,21xx、第五节第五节 多元线性回归模型多元线性回归模型第82页/共96页第八十二页，共96页。011x2x常数(chngsh)(chngsh)项，和Y Y构成(guchng)(guchng)的平面与Y Y轴的截距偏回归系数，表示在 固定时 每变化一个单位引起的Y Y的平均(pngjn)(pngj

32、n)变动；1x2x2偏回归系数，表示在 固定时 每变化一个单位引起的Y Y的平均变动；2x1x随机误差，其理论假定与一元线性回归模型中的 一样。 在多元回归模型中，还要求各自变量之间不存在显著相关，或高度相关。第83页/共96页第八十三页，共96页。2 2 样本(yngbn)(yngbn)多元线性回归模型的一般形式 nnxbxbxbay2211二元线性回归(hugu)(hugu)模型为：2211xbxbay其数学(shxu)(shxu)期望2211xbxbayE）（也称样本（或估计的）二元线性回归方程。第84页/共96页第八十四页，共96页。3 3 二元线性回归方程的确定(qudng)(qud

33、ng) 根据实际资料，用最小平方法，即使 ，分别(fnbi)(fnbi)对a a、b1b1、b2b2求编导并令其为零，求得三个标准方程：最小2)(yyj)(2211xbxbay2222112221221112211xbxxbxayxxxbxbxayxxbxbnay解此联立方程(lin l fn(lin l fn chn chn) )便可得到a a、b1b1、b2b2。第85页/共96页第八十五页，共96页。第86页/共96页第八十六页，共96页。年人均年人均收入额收入额（元）（元）X X1 1商品商品价格价格（元（元）X X2 2需求需求量（量（公斤公斤）Y YX X1 12 2Y Y2 2

34、X X1 1Y YX X2 22 2X X2 2Y YX X1 1X X2 23003006 650509000090000250025001150001150003636300300180018004004005 560601600001600003600360024000240002525300300200020005005004 470702500002500004900490035000350001616280280200020006006005 58080360000360000640064004800048000252540040030003000100010003 3100100

35、1000000100000010000100001000001000009 930030030003000100010002 21001001000000100000010000100001000001000004 420020020002000120012006 660601440000144000036003600772000772000363636036072007200120012004 4808014400001440000640064009600096000161632032048004800130013003 39090169000016900008100810011700011

36、70009 927027039003900140014002 21101101690000169000012100121001540001540004 422022028002800890089004040800800939000093900006760067600761000761000180180295029503250032500 例: :某种商品的需求量、人均收入水平以及(yj)(yj)商品的价格资料如下：第87页/共96页第八十七页，共96页。解方程组得 表示：如果商品价格不变，年人均收入额每表示：如果商品价格不变，年人均收入额每增增 加加100100元，商品需求量将增加元，商品需求

37、量将增加1 1公斤，如果人均收入公斤，如果人均收入水水 平不变，商品价格每提高平不变，商品价格每提高(t go)(t go)一元，需求量一元，需求量将减少将减少10.9510.95 公斤。公斤。 2121211803250040295032500390000890076100040890010800bbabbabba95.1001. 09 .11421bba2195.1001. 09 .114xxy第88页/共96页第八十八页，共96页。二 多元线性回归模型(mxng)(mxng)的判定系数和估计标准误1 1判定(pndng)(pndng)系数222)()(yyyyrj总偏差回归偏差2222211)()(ynyynyxbyxbyajjjj 0 0r r2 21 1修正的判定(pndng)(pndng)系数：11)1 (122KnnrrK 是自变量的个数第89页/共96页第八十九页，共96页。2 2 估计(gj)(gj)标准误（SySy（x1x1、x2x2）3)(2),(21nyySjxxy32211nyxbyxbyayjjjj r2和和Sy（x1、x2）都是对回归模型拟合优度的评价指标）都是对回归模型拟合