数理统计CH方差分析实用教案

1、2022-6-2216.1 单向(dn xin)分组数据方差分析 方差分析原理 单向(dn xin)分组数据6.2 两向分组数据方差分析 有重复两向分组数据 无重复两向分组数据本章本章(bn zhn)内容内容6 方差分析第1页/共44页第一页，共44页。2022-6-2226.2 两向分组数据(shj)方差分析Two way analysis of variance6 方差分析第2页/共44页第二页，共44页。2022-6-2236.2 两向分组数据(shj)方差分析(1)案例(n l)和问题推进器(B)B1B2B3燃料(A)A158.252.656.241.265.360.8A249.142

2、.854.150.551.648.4A360.158.370.973.239.240.7A475.871.558.251.048.741.4火箭射程试验(shyn)数据 选用4种燃料和3种推进器进行火箭射程试验，每个试验处理重复2次。因素响应水平第3页/共44页第三页，共44页。2022-6-224需要弄清的问题是：选用不同的燃料对火箭的射程是否(sh fu)有影响，影响多大？选用不同的推进器对火箭的射程是否(sh fu)有影响，影响多大？不同推进器选配不同燃料对火箭的射程是否(sh fu)有影响，影响多大？(1)案例(n l)和问题6.2 两向分组数据(shj)方差分析第4页/共44页第四页

3、，共44页。2022-6-225B1B2BbA1x111 x11,n11x121 x12,n12x1b1 x1b,n1bA2x211 x21,n21x221 x22,n21x2b1 x2b,n2bAaxa11 xa1,na1xa21 xa2,na2xab1 xab,nab(3)数据(shj)模式AB两向分组B单向(dn xin)分组A单向(dn xin)分组6.2 两向分组数据方差分析第5页/共44页第五页，共44页。2022-6-226各个处理(chl)(因素A与B的水平组合)分别独立试验，第ij处理(chl)重复试验nij次获得nij个观测，这nij个观测视作第ij正态总体的一个样本；全部

4、观测（整个样本）由ab个独立正态总体的ab个样本组成，称作两向分组数据；按因素A的a个水平分组，则全部观测可视作因素A单向分组数据，包括因素B所有b个水平的试验结果；按因素B的b个水平分组，则全部观测可视作因素B单向分组数据，包括因素A所有a个水平的试验结果。(2)数据(shj)模式6.2 两向分组数据(shj)方差分析第6页/共44页第六页，共44页。2022-6-2272()(0,)1,2,1,2,1,2,ijkijijkijijkijijijkijkijXNiajbkn(3)统计(tngj)模型The statistical model is:()()ijkijijkijijijkiji

5、jijijX效应(xioyng)模型响应(xingyng)模型6.2 两向分组数据方差分析第7页/共44页第七页，共44页。2022-6-228(3)统计(tngj)模型11111111111定义总平均定义行平均 因素定义列平均 因素baabiijjijijjiijabijijijbiiijijjiajjijijijnnnnnnnnAnnBnn定义几个(j )总体的均值6.2 两向分组数据(shj)方差分析第8页/共44页第八页，共44页。2022-6-229(3)统计(tngj)模型因素的总效应因素 的效应因素的效应因素的互作效应ijijijijijijiiijjjijijijijijijA

6、BABAB定义(dngy)因素的效应因素影响(yngxing)决定的响应值称作效应6.2 两向分组数据方差分析第9页/共44页第九页，共44页。2022-6-2210(4)均值的无偏(w pin)估计1111111111111111111总平均行平均列平均ijijijijnijijkijkijnababijkijijijkijnbbiijkiijijjkjiinaajijkjijijikijjxxnxxnnnxxnnnxxnnn 1111baiijjijjiabijijnnnnnn6.2 两向分组数据(shj)方差分析第10页/共44页第十页，共44页。2022-6-2211(5)效应(xio

7、yng)的无偏估计()误差效应估计因素总效应估计因素 效应估计因素总效应估计因素互作效应估计ijkijijkijijkijijijijiiiijjjjijijijijijijxxXABxxAxxBxxABxxxx 样本均值差作为(zuwi)效应的估计6.2 两向分组数据(shj)方差分析第11页/共44页第十一页，共44页。2022-6-22120111211112:,ababHH不全相等 问题归结为检验ab个方差齐性正态总体(zngt)的均值是否相等0111211112:0:,ababHH不全为零总效应(xioyng)假设(6)统计假设总效应(xioyng)亦称作模型效应(xioyng)总效

8、应假设6.2 两向分组数据方差分析第12页/共44页第十二页，共44页。2022-6-221301121112:,aaHH不全相等因素A效应(xioyng)假设02121212:,bbHH不全相等0313:ijijijijHH恒为零不全为零(6)统计假设因素B效应(xioyng)假设因素AB互作效应(xioyng)假设总效应分解成各个因素效应6.2 两向分组数据方差分析第13页/共44页第十三页，共44页。2022-6-221401121112:0:,aaHH 不全为零02121212:0:,bbHH 不全为零031112131112:()()()0:() ,() ,()ababHH不全为零(

9、6)统计假设因素(yn s)A效应假设因素B效应(xioyng)假设因素AB互作效应(xioyng)假设总效应分解成各个因素效应6.2 两向分组数据方差分析第14页/共44页第十四页，共44页。2022-6-2215211122111221111111ijijijijnabijkijknabijkijknnababijkijkijkijkSSTxxxnxxxn(7)计算(j sun)校正总平方和SST表征数据(shj)的总变异021TTHSSTMSTdfdfnEMST6.2 两向分组数据(shj)方差分析第15页/共44页第十五页，共44页。2022-6-2216211122111112211

10、11111ijijijijnabijkijijknababijkijijijkijnnababijkijkijkijkijSSExxxn xxxn(8)计算误差平方和SSE2EESSEMSEdfdfnabE MSE误差(wch)均方MSE6.2 两向分组数据(shj)方差分析第16页/共44页第十六页，共44页。2022-6-22171121112211112221111121222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)ijabnabijkijijknnijkijkabkkabababababSSExxxxxxnsnsnsSSEnsnsMSEnabnn(8)计算误差平方和SSE

11、2EESSEMSEdfdfnabE MSE6.2 两向分组数据(shj)方差分析第17页/共44页第十七页，共44页。2022-6-221821112212211111111ijijijnabiijkaiiinnababijkijkijkijkiSSAxxn xnxxxnnSSA表征表征(bio zhn)因素因素A效应效应(9)计算(j sun)因素A平方和SSA021AAHSSAMSAdfdfaEMSA6.2 两向分组数据(shj)方差分析第18页/共44页第十八页，共44页。2022-6-221921112121()()11ijnabiijkaiiiaiiiSSAxxnxxnxxSSAMS

12、Aaa(9)计算(j sun)因素A平方和SSA因素(yn s)A均方MSA021AAHSSAMSAdfdfaEMSA6.2 两向分组数据(shj)方差分析第19页/共44页第十九页，共44页。2022-6-222022111ijnbiijkjkiiVar xVar xnn 022122121aHiiiaiiiiESSAn E xnE xnVar xExn Var xExa(9)计算(j sun)因素A平方和SSA021HSSAEa6.2 两向分组数据(shj)方差分析第20页/共44页第二十页，共44页。2022-6-222121112212211111111ijijijnabjijkbjj

13、jnnbaabijkijkjikijkjSSBxxn xnxxxnn SSB表征因素表征因素(yn s)B效应效应(10)计算(j sun)因素B平方和SSB021BBHSSBMSBdfdfbEMSB6.2 两向分组数据(shj)方差分析第21页/共44页第二十一页，共44页。2022-6-222221112121()()11ijnabjijkbjjjbjjjSSBxxnxxnxxSSBMSBbb (10)计算(j sun)因素B平方和SSB因素(yn s)B均方MSB021BBHSSBMSBdfdfbEMSB6.2 两向分组数据(shj)方差分析第22页/共44页第二十二页，共44页。202

14、2-6-222322111ijnajijkikjjVar xVar xnn 022122121bHjjjbjjjjESSBn E xnE xnVar xExn Var xExb 210bSSBEH(10)计算(j sun)因素B平方和SSB6.2 两向分组数据(shj)方差分析第23页/共44页第二十三页，共44页。2022-6-222421112211111122111111()1111ijijijijijnabijijijknnababijkijkijkijkijinnbaabijkijkjikijkjSSABxxxxxxnnxxnn (1)(1)ABdfab(11)计算(j sun)因素

15、AB平方和SSAB6.2 两向分组数据(shj)方差分析第24页/共44页第二十四页，共44页。2022-6-22252111211211()()()(1)(1)(1)(1)ijnabijijijkabijijijijabijijijijSSABxxxxnxxxxnxxxxSSABMSABabab (11)计算(j sun)因素AB平方和SSAB因素(yn s)AB均方MSAB因素(yn s)AB的互作效应6.2 两向分组数据方差分析第25页/共44页第二十五页，共44页。2022-6-2226)()()()(xxxxxxxxxxxxjiijjiijijkijk aibjnkjiijaibjn

16、kjaibjnkiaibjnkijijkaibjnkijkijijijijijxxxxxxxxxxxx11121112111211121112SSABSSBSSASSESST(12)总离差平方和分解(fnji)效应(xioyng)分解平方和代表(dibio)效应6.2 两向分组数据方差分析第26页/共44页第二十六页，共44页。2022-6-2227B1B2BbA1x111 x11,n11x121 x12,n12x1b1 x1b,n1bA2x211 x21,n21x221 x22,n21x2b1 x2b,n2bAaxa11 xa1,na1xa21 xa2,na2xab1 xab,nabAB两向

17、分组A单向(dn xin)分组6.2 两向分组数据(shj)方差分析(12)总离差平方和分解(fnji)B单向分组第27页/共44页第二十七页，共44页。2022-6-2228111111111111总和组和组和组和ijijijijabbaijiijjijijjinnabijkijijkijkknnbaiijkjijkjkiknnnnnnTxijTxiTxjTx (13)平方和算法(sun f)汇总分组数据(shj)和6.2 两向分组数据(shj)方差分析第28页/共44页第二十八页，共44页。2022-6-2229aibjijijnTE112 aiiinTA12bjjjnTB12222211

18、11ababijjiijijijijTTTTEABCRnnnn 2111ijnabijkijkRx(13)平方和算法(sun f)汇总分组数据(shj)平方和2TCRn矫正数6.2 两向分组数据(shj)方差分析第29页/共44页第二十九页，共44页。2022-6-2230111(1)(1)TEABABTEABABSSTRCRdfnSSEREdfnabSSAACRdfaSSBBCRdfbSSABEABCRdfabSSTSSESSASSBSSABdfdfdfdfdf，(13)平方和算法(sun f)汇总平方和及自由度计算(j sun)6.2 两向分组数据(shj)方差分析第30页/共44页第三十

19、页，共44页。2022-6-2231,AEMSAFdfdfMSE拒绝域：AASSAMSAdf因素 均方ESSEMSEdf误差均方,抽样观测概率AEAdfdfMSApP FMSEAMSAFfMSE值：(14)假设检验1AEdfadfnab6.2 两向分组数据(shj)方差分析第31页/共44页第三十一页，共44页。2022-6-2232,BEMSBFdfdfMSE拒绝域：B1SSBMSBb因素 均方ESSEMSEdf误差均方,抽样观测概率BEBdfdfMSBpP FMSEBMSBFfMSE值：(14)假设检验1BEdfbdfnab6.2 两向分组数据(shj)方差分析第32页/共44页第三十二页

20、，共44页。2022-6-2233,ABEMSABFdfdfMSE拒绝域：ABABSSABMSABdf因素均方,抽样观测概率ABEABdfdfMSABpP FMSEABMSABFfMSE值：(14)假设检验11ABEdfabdfnabESSEMSEdf误差均方6.2 两向分组数据(shj)方差分析第33页/共44页第三十三页，共44页。2022-6-2234SourceSSdfMSF ValuePrFFactor AFactor BFactor ABErrorSSASSBSSABSSEa-1b-1(a-1)(b-1)n-abMSAMSBMSABMSEMSA/MSEMSB/MSEMSAB/MSE

21、pApBpABTotalSSTn-1(15)方差分析表The Table of ANOVA6.2 两向分组数据(shj)方差分析第34页/共44页第三十四页，共44页。2022-6-2235SourceSSdfMSF ValueFactor AFactor BFactor ABErrorSSASSBSSABSSEa-1b-1(a-1)(b-1)n-abMSAMSBMSABMSEMSA/MSEMSB/MSEMSAB/MSETotalSSTn-1(15)方差分析表The Table of ANOVAF(df1,df2)F(dfA,dfE)F(dfAB,dfE)F(dfB,dfE)6.2 两向分组数

22、据(shj)方差分析第35页/共44页第三十五页，共44页。2022-6-2236B1B2B3Ti.T2i./ni.A158.252.6110.8615456.241.297.44855.8865.360.8126.17960.73334.318626.087A249.142.891.94242.6554.150.5104.65477.0651.648.41005005.12296.514652.04A360.158.3118.47010.970.973.2144.110385.0539.240.779.93193.13342.419539.63A475.871.5147.310857.895

23、8.251.0109.25988.2448.741.490.14085.65346.620021.93T.j.468.4455.3396.1T=1319.8A72839.68T2.j./n.j27424.8225912.2612519611.90125B72948.98CR72578.00T2ij./nij28219.0526558.68520201.615E74979.35R.j28265.4426706.2320244.63R75216.30(16)方差分析案例(n l)数据的表格(biog)算法6.2 两向分组数据(shj)方差分析第36页/共44页第三十六页，共44页。2022-6-2

24、237B1B2B3Ti.T2i./ni.A158.252.656.241.265.360.8334.318626.087A249.142.854.150.551.648.4296.514652.04A360.158.370.973.239.240.7342.419539.63A475.871.558.251.048.741.4346.620021.93T.j.468.4455.3396.1T=1319.8A72839.68T2.j./n.j27424.8225912.2612519611.90125B72948.98CR72578.00T2ij./nij28219.0526558.685202

25、01.615E74979.35R.j28265.4426706.2320244.63R75216.30(16)方差分析案例(n l)数据(shj)的表格算法6.2 两向分组数据(shj)方差分析第37页/共44页第三十七页，共44页。2022-6-2238dfT=n-1=24-1=23；dfE=n-ab=24-43=12dfA=a-1=4-1=3；dfB=b-1=3-1=2dfAB=(a-1)(b-1)=32=6SST=R-CR=75216.3-72578.00167=2638.29833SSE=R-E=75216.3-74979.35=236.95SSA=A-CR=72839.67668-72578.0016