关系数据库理论(规范化、求解候选码、范式)

1、第4部分 关系数据库理论4 关系数据理论4.1 问题的提出4.2 规范化4.3模式的分解4.1 问题的提出关系数据库逻辑设计问题关系数据库逻辑设计问题针对具体问题，如何构造一个适合于它的数据模式针对具体问题，如何构造一个适合于它的数据模式数据库逻辑设计的工具数据库逻辑设计的工具关系数据库的规范化理论关系数据库的规范化理论 4.1 问题的提出4.1.1 4.1.1 概念概念回顾回顾4.1.2 4.1.2 关系关系模式的形式化定义模式的形式化定义4.1.3 4.1.3 什么什么是数据依赖是数据依赖4.1.4 4.1.4 关系关系模式的简化定义模式的简化定义4.1.5 4.1.5 数据依赖数据依赖对

2、关系模式影响对关系模式影响4.1.1 概念回顾关系：描述实体、属性、实体间的联系。关系：描述实体、属性、实体间的联系。关系模式：用来定义关系的逻辑结构。关系模式：用来定义关系的逻辑结构。关系数据库：基于关系模型的数据库，利用关系来关系数据库：基于关系模型的数据库，利用关系来描述现实世界。描述现实世界。关系数据库模式：定义这组关系的关系模式的全体。关系数据库模式：定义这组关系的关系模式的全体。4.1.2 关系模式的形式化定义关系模式由五部分组成，即它是一个五元组： R(U, D, DOM, F)F： 属性间数据的依赖关系集合4.1.3 什么是数据依赖(1) 完整性约束的表现形式限定属性取值范围：

3、例如学生成绩必须在0-100之间。定义属性值间的相互关连（主要体现于值的相等与否），这就是数据依赖，它是数据库模式设计的关键。4.1.3 什么是数据依赖(2) 数据依赖是通过一个关系中属性间值的相等与否体现出来的数据间的相互关系是现实世界属性间相互联系的抽象是数据内在的性质是语义的体现4.1.3 什么是数据依赖(3) 数据依赖的类型函数依赖（Functional Dependency，简记为FD）多值依赖（Multivalued Dependency，简记为MVD）其他4.1.4 关系模式的简化表示关系模式R（U, D, DOM, F） 简化为一个三元组： R（U, F）当且仅当U上的一个关系

4、r 满足F时，r称为关系模式 R（U, F）的一个关系4.1.5 数据依赖对关系模式的影响例：描述学校的信息：学生的学号（Sno）、所在系（Sdept）系主任姓名（Mname）、课程名（Cname）成绩（Grade）4.1.5 数据依赖对关系模式的影响学校数据库的语义： (1) 一个系有若干学生， 一个学生只属于一个系； (2) 一个系只有一名主任； (3) 一个学生可以选修多门课程， 每门课程有若干学生选修； (4) 每个学生所学的每门课程都有一个成绩。 4.1.5 数据依赖对关系模式的影响属性组U上的一组函数依赖F： F Sno Sdept, Sdept Mname, (Sno, Cnam

5、e) Grade 单一的关系模式单一的关系模式 ： Student U Sno, Sdept, Mname, Cname, Grade 关系模式Student中存在的问题(1)(1)数据冗余数据冗余太大太大浪费大量的存储空间(2)(2) 更新异常（更新异常（Update AnomaliesUpdate Anomalies）数据冗余 ，更新数据时，维护数据完整性代价大。(3)(3)插入插入异常（异常（Insertion AnomaliesInsertion Anomalies）l该插的数据插不进去(4)(4) 删除异常（删除异常（Deletion AnomaliesDeletion Anomal

6、ies）l不该删除的数据不得不删4.1.5 数据依赖对关系模式的影响结论：Student关系模式不是一个好的模式。“好”的模式不会发生插入异常、删除异常、更新异常，数据冗余应尽可能少。原因原因：由存在于模式中的某些数据依赖引起的解决方法：解决方法：通过分解关系模式来消除其中不合适 的数据依赖4 关系数据理论4.1 问题的提出4.2 规范化4.3模式的分解4.2 规范化 规范化理论用来改造关系模式，通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖，以解决插入异常、删除异常、更新异常和数据冗余问题。4.2.1 函数依赖(1) 函数依赖(2) 平凡函数依赖与非平凡函数依赖(3) 完全函数依赖与部分函数依赖

7、(4) 传递函数依赖(1) 函数依赖【定义】设R(U)是一个属性集U上的关系模式，X和Y是U的子集。 若对于R(U)的任意一个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值相等， 而在Y上的属性值不等， 则称 “X函数确定Y” 或 “Y函数依赖于X”，记作XY。 X称为这个函数依赖的决定属性集(Determinant)。(1) 函数依赖1) 函数依赖不是指关系模式R的某个或某些关系实例满足的约束条件，而是指R的所有关系实例均要满足的约束条件。2) 函数依赖是语义范畴的概念。只能根据数据的语义来确定函数依赖。3) 数据库设计者可以对现实世界作强制的规定。(1) 函数依赖例: Student(

8、Sno, Sname, Ssex, Sage, Sdept) 假设不允许重名，则有:Sno Ssex， Sno Sage , Sno Sdept， Sno Sname, Sname Ssex， Sname SageSname Sdept若XY，并且YX, 则记为XY。 若Y不函数依赖于X, 则记为XY。(2) 平凡函数依赖与非平凡函数依赖在关系模式R(U)中，对于U的子集X和Y，如果XY，但Y X，则称XY是非平凡的函数依赖若XY，但Y X, 则称XY是平凡的函数依赖例：在关系SC(Sno, Cno, Grade)中， 非平凡函数依赖： (Sno, Cno) Grade 平凡函数依赖： (Sn

9、o, Cno) Sno (Sno, Cno) Cno(2) 平凡函数依赖与非平凡函数依赖于任一关系模式，平凡函数依赖都是必然成立的，它不反映新的语义，因此若不特别声明， 我们总是讨论非平凡函数依赖。三、完全函数依赖与部分函数依赖【定义6.2】 在关系模式R(U)中，如果XY，并且对于X的任何一个真子集X，都有 X Y, 则称Y完全函数依赖于X，记作X Y。 若XY，但Y不完全函数依赖于X，则称Y部分函数依赖于X，记作X P Y。 三、完全函数依赖与部分函数依赖例: 在关系SC(Sno, Cno, Grade)中， 由于：Sno Grade，Cno Grade， 因此：(Sno, Cno) Gr

10、ade 四、传递函数依赖【定义定义6.36.3】 在关系模式R(U)中，如果XY，YZ，且Y X，YX，则称Z传递函数依赖于X。注: 如果YX， 即XY，则Z直接依赖于X。Sno Sdept，Sdept Mname Mname传递函数依赖于Sno例: 在关系Std (Sno, Sdept, Mname)中，6.2.2 码【定义6.4】 设K为关系模式R中的属性或属性组合。若K U，则K称为R的一个侯选码（Candidate Key）。若关系模式R有多个候选码，则选定其中的一个做为主码（Primary key）。主属性与非主属性ALL KEY外部码【定义6.5】 关系模式 R 中属性或属性组X

11、并非R 的码，但 X 是另一个关系模式的码，则称 X 是R 的外部码（Foreign key）也称外码。主码又和外部码一起提供了表示关系间联系的手段。候选码候选码求解求解给定关系模式和函数依赖集给定关系模式和函数依赖集F F，可将属性分成，可将属性分成4 4类：类：（1 1）L L类：仅出现在类：仅出现在F F的函数依赖左部的属性的函数依赖左部的属性（2 2）R R类：仅出现在类：仅出现在F F的函数依赖右部的属性的函数依赖右部的属性（3 3）N N类：在类：在F F的函数依赖左右两边均未出现的属的函数依赖左右两边均未出现的属性性（4 4）LRLR类：在类：在F F的函数依赖左右两边均出现的属

12、的函数依赖左右两边均出现的属性。性。候选码候选码求解求解（1 1）L L类属性类属性一定是一定是候选码中的成员；候选码中的成员；（2 2）R R类属性类属性一定不一定不在任何候选码中；在任何候选码中；（3 3）N N类属性类属性一定是一定是候选码中的成员；候选码中的成员；（4 4）LRLR类属性需要进一步判断。类属性需要进一步判断。候选码候选码求解求解输入：关系模式输入：关系模式R R及其函数依赖集及其函数依赖集F F输出：输出：R的所有候选码的所有候选码候选码候选码求解求解方法：方法：（1）将将R所有属性分为所有属性分为L、R、N、LR四类，并令四类，并令X代表代表L、N两类，两类，Y代表代

13、表LR类；类；（2）求求X+，若，若X+包含了包含了R的全部属性，则的全部属性，则X即为即为R的的唯唯一候选码一候选码，转（，转（5）；否则转（）；否则转（3）（3）在在Y中取一属性中取一属性A，求（，求（XA）+。若它包含了。若它包含了R的全的全部属性，则部属性，则XA是一个候选码；调换一属性反复进行这一是一个候选码；调换一属性反复进行这一过程，直到试完过程，直到试完Y中的属性；中的属性；（4）如果已经找出所有候选码，则转（如果已经找出所有候选码，则转（5）；否则在）；否则在Y中中依次取两个、三个、依次取两个、三个、.，求它们的闭包，直到闭包含有，求它们的闭包，直到闭包含有R的所有属性。的所

14、有属性。（5）停止，输出结果。停止，输出结果。6.2.3 范式范式是符合某一种级别的关系模式的集合。关系数据库中的关系必须满足一定的要求。满足不同程度要求的为不同范式。范式的种类：第一范式(1NF)第二范式(2NF)第三范式(3NF)BC范式(BCNF)第四范式(4NF)第五范式(5NF)6.2.3 范式各种范式之间存在联系：某一关系模式R为第n范式，可简记为RnNF。NF5NF4BCNFNF3NF2NF16.2.4 2NF1NF的定义如果一个关系模式R的所有属性都是不可分的基本数据项，则R1NF。l第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库。l但是满足第

15、一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式。 2NF2NF的定义【定义6.6】 若关系模式R1NF，并且每一个非主属性都完全函数依赖于R的码，则R2NF。 2NF采用投影分解法将一个1NF的关系分解为多个2NF的关系，可以在一定程度上减轻原1NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。将一个1NF关系分解为多个2NF的关系，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。 6.2.5 3NF【定义6.7】 关系模式R 中若不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z（Z Y）, 使得XY，Y X，YZ，成立，则称R 3NF。 3NF若R3NF，则R的每一个非主属性既不部分函数

16、依赖于候选码也不传递函数依赖于候选码。l如果R3NF，则R也是2NF。l采用投影分解法将一个2NF的关系分解为多个3NF的关系，可以在一定程度上解决原2NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。l如果将一个2NF关系分解为多个3NF的关系后，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。 3NF例：在关系模式STJ（S，T，J）中，S表示学生，T表示教师，J表示课程。每一教师只教一门课。每门课由若干教师教，某一学生选定某门课，就确定了一个固定的教师。某个学生选修某个教师的课就确定了所选课的名称 ： (S，J)T，(S，T)J，TJ 6.2.6 BC范式（BCNF）【

17、定义6.8】 设关系模式R1NF，如果对于R的每个函数依赖XY，若Y不属于X，则X必含有候选码，那么RBCNF。若RBCNF n每一个决定属性集（因素）都包含（候选）码nR中的所有属性（主，非主属性）都完全函数依赖于码nR3NF BCNF例：在关系模式STJ（S，T，J）中，S表示学生，T表示教师，J表示课程。每一教师只教一门课。每门课由若干教师教，某一学生选定某门课，就确定了一个固定的教师。某个学生选修某个教师的课就确定了所选课的名称 ： (S，J)T，(S，T)J，TJ 6.2.6 BCNF SJTSTJSTJBCNFSTJ3NF (S，J)和(S，T)都可以作为候选码 S、T、J都是主属

18、性STJBCNFTJ，T是决定属性集，T不是候选码BCNF解决方法：将STJ分解为二个关系模式： SJ(S，J) BCNF， TJ(T，J) BCNF 没有任何属性对码的部分函数依赖和传递函数依赖SJSTTJTJ3NF与BCNF的关系如果关系模式RBCNF， 必定有R3NF如果R3NF，且R只有一个候选码， 则R必属于BCNF。BCNF的关系模式所具有的性质 所有非主属性都完全函数依赖于每个候选码 所有主属性都完全函数依赖于每个不包含它的候选码 没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性函数依赖总结 3NF和BCNF是在函数依赖的条件下对模式分解所能达到的分离程度的测度。 一个模式中的关系模

19、式如果都属于BCNF， 那么在函数依赖范畴内，它已经实现了彻底分离，已经解决了插入异常、删除异常等问题。* *6.2.7 多值依赖与第四范式（4NF）例: 学校中某一门课程由多个教师讲授，他们使用相同的一套参考书。关系模式Teaching(C, T, B) 课程C、教师T 和 参考书B课课 程程 C教教 员员 T参参 考考 书书 B 物理物理 数学数学 计算数学计算数学李李 勇勇王王 军军 李李 勇勇张张 平平 张张 平平周周 峰峰 普通物理学普通物理学光学原理光学原理 物理习题集物理习题集 数学分析数学分析微分方程微分方程高等代数高等代数 数学分析数学分析 表表6.1普通物理学普通物理学光学

20、原理光学原理物理习题集物理习题集普通物理学普通物理学光学原理光学原理物理习题集物理习题集数学分析数学分析微分方程微分方程高等代数高等代数数学分析数学分析微分方程微分方程高等代数高等代数李李 勇勇李李 勇勇李李 勇勇王王 军军王王 军军王王 军军李李 勇勇李李 勇勇李李 勇勇张张 平平张张 平平张张 平平 物物 理理物物 理理物物 理理物物 理理物物 理理物物 理理数数 学学数数 学学数数 学学数数 学学数数 学学数数 学学 参考书B教员T课程C用二维表表示Teaching 6.2.7 多值依赖与第四范式（4NF）TeachingBCNF:Teach具有唯一候选码(C，T，B)， 即全码Teac

21、hing模式中存在的问题 (1)数据冗余度大：有多少名任课教师，参考书就要存储多少次 6.2.7 多值依赖与第四范式（4NF） (2)插入操作复杂：当某一课程增加一名任课教师时，该课程有多少本参照书，就必须插入多少个元组例如物理课增加一名教师刘关，需要插入两个元组： （物理，刘关，普通物理学） （物理，刘关，光学原理）6.2.7 多值依赖与第四范式（4NF）(3) 删除操作复杂：某一门课要去掉一本参考书，该课程有多少名教师，就必须删除多少个元组(4) 修改操作复杂：某一门课要修改一本参考书，该课程有多少名教师，就必须修改多少个元组 产生原因存在多值依赖（MVD）一、多值依赖【定义6.9】设R(

22、U)是一个属性集U上的一个关系模式， X、 Y和Z是U的子集，并且ZUXY，多值依赖 XY成立当且仅当对R的任一关系r，r在（X，Z）上的每个值对应一组Y的值，这组值仅仅决定于X值而与Z值无关。 例： Teaching（C, T, B） 对于C的每一个值，T有一组值与之对应，而不论B取何值一、多值依赖在R（U）的任一关系r中，如果存在元组t，s 使得tX=sX，那么就必然存在元组 w，v r，（w，v可以与s，t相同），使得wX=vX=tX，而wY=tY，wZ=sZ，vY=sY，vZ=tZ（即交换s，t元组的Y值所得的两个新元组必在r中），则Y多值依赖于X，记为XY。 这里，X，Y是U的子集，

23、Z=U-X-Y。 s x y2 z2 t x y1 z1 w x y1 z1 v x y2 z2一、多值依赖平凡多值依赖和非平凡的多值依赖若XY，而Z，则称 XY为平凡的多值依赖否则称XY为非平凡的多值依赖多值依赖的性质（1）多值依赖具有对称性 若XY，则XZ，其中ZUXY （2）多值依赖具有传递性 若XY，YZ， 则XZ -Y一、多值依赖（3）函数依赖是多值依赖的特殊情况。 若XY，则XY。（4）若XY，XZ，则XY Z。（5）若XY，XZ，则XYZ。（6）若XY，XZ，则XY-Z，XZ -Y。多值依赖与函数依赖的区别(1) 有效性多值依赖的有效性与属性集的范围有关若XY在U上成立，则在W（

24、X Y W U）上一定成立；反之则不然，即XY在W（W U）上成立，在U上并不一定成立。多值依赖的定义中不仅涉及属性组 X和 Y，而且涉及U中其余属性Z。一般地，在R（U）上若有XY在W（W U）上成立，则称XY为R（U）的嵌入型多值依赖多值依赖与函数依赖的区别只要在R（U）的任何一个关系r中，元组在X和Y上的值满足【定义6.l】（函数依赖）， 则函数依赖XY在任何属性集W（X Y W U）上成立。一、多值依赖(2) 若函数依赖XY在R（U）上成立，则对于任何Y Y均有XY 成立多值依赖XY若在R(U)上成立，不能断言对于任何Y Y有XY 成立二、第四范式（4NF）【定义6.10】 关系模式R

25、1NF，如果对于R的每个非平凡多值依赖XY（Y X），X都含有候选码，则R4NF。 第四范式（续）例： Teach(C,T,B) 4NF 存在非平凡的多值依赖CT，且C不是候选码用投影分解法把Teach分解为如下两个关系模式： CT(C, T) 4NF CB(C, B) 4NF CT， CB是平凡多值依赖 6.2.8 规范化关系数据库的规范化理论是数据库逻辑设计的工具。一个关系只要其分量都是不可分的数据项，它就是规范化的关系，但这只是最基本的规范化。规范化程度可以有多个不同的级别6.2.8 规范化规范化程度过低的关系不一定能够很好地描述现实世界，可能会存在插入异常、删除异常、修改复杂、数据冗余

26、等问题一个低一级范式的关系模式，通过模式分解可以转换为若干个高一级范式的关系模式集合，这种过程就叫关系模式的规范化6.2.8 规范化关系模式规范化的基本步骤 1NF 消除非主属性对码的部分函数依赖消除决定属性 2NF集非码的非平 消除非主属性对码的传递函数依赖凡多值依赖 3NF 消除主属性对码的部分和传递函数依赖 BCNF 消除非平凡且非函数依赖的多值依赖 4NF规范化的基本思想消除不合适的数据依赖l采用“一事一地”的模式设计原则l所谓规范化实质上是概念的单一化6.2.8 规范化不能说规范化程度越高的关系模式就越好在设计数据库模式结构时，必须对现实世界的实际情况和用户应用需求作进一步分析，确定

27、一个合适的、能够反映现实世界的模式上面的规范化步骤可以在其中任何一步终止练习1.关系规范化中的删除异常是指（），插入操作异常是指（）。2.关系规范化是为解决关系数据库中（）问题而引入的。3.在关系DB中，任何一个二元关系模式的最高范式必定是（）。4.当属性B函数依赖于属性A时，属性A和B的联系是（）。5.关系模式中各范式之间的关系是（）。6.如下所示的关系R是（）范式。零件号零件号单价单价P125P28P325P49练习7. 关系模式STJ(S#,T,J#)中，存在函数依赖(S#,J#)T，(S#,T) J#，T J#，则关系STJ满足（）范式。8. 设有如下关系R，R的候选码是（），R中的函

28、数依赖有（），R属于（）范式。ADEA1d1e2A2d6e2A3d4e3A4d4e49. 对非规范化的模式，经过（）转变为1NF，将1NF经过（）转变为2NF，将2NF经过（）转变为3NF，将3NF经过（）转变为BCNF。练习10. 判断以下关系属于第几范式（1）R(X,Y,Z)， F=YZ,YX,XY,XZ X 、Y是候选码。Z是非主属性。不存在Z对码的部分和传递依赖，每个决定因素都包含码。是BC范式。（2）R(X,Y,Z)，F=YZX，XZ XY 、YZ是候选码。没有非主属性。决定因素X不包含码，所以是第3范式。练习10. 判断以下关系属于第几范式（3）R(X,Y,Z)，F=XYZ XY是

29、候选码。是BC范式。（4）R（W,X,Y,Z，F=WXZ,ZYWX是候选码。非主属性Z和Y。存在Y对码的传递依赖，是第2范式。练习11. 11. 求解以下关系的候选码求解以下关系的候选码(1). R(1). R（ABCDEABCDE），），F FA D, E D, D B, BC A D, E D, D B, BC D, CD D, CD A AL=CE L=CE ,CE,CE是候选码是候选码2 2R(F,G,H,I,JR(F,G,H,I,J), F=FI,JI,IG,GHI,IHF), F=FI,JI,IG,GHI,IHF L=JH,JH是候选码3.3. W(C,P,S,G,T,RW(C,P

30、,S,G,T,R), ), F F=CG,SCG,TRC,TPR,TSR=CG,SCG,TRC,TPR,TSR 关系关系模式模式W W的码是的码是( )( )，W W的规范化程度最高达到的规范化程度最高达到( ( ) )。L=PST,PST是码，存在R对码的部分依赖，最高达到1NF* * 6.3 数据依赖的公理系统逻辑蕴含逻辑蕴含【定义定义6.116.11】 对于满足一组对于满足一组函数依赖函数依赖 F F 的关系的关系模式模式R R ，其任何一个关系，其任何一个关系r r，若函数依赖，若函数依赖XYXY都成立都成立, , 则称则称 F F逻辑蕴含逻辑蕴含X YX YArmstrong公理系统

31、一套推理规则，是模式分解算法的理论基础。一套推理规则，是模式分解算法的理论基础。用途用途求给定关系模式的码求给定关系模式的码从一组函数依赖求得蕴含的函数依赖从一组函数依赖求得蕴含的函数依赖1. Armstrong公理系统 对关系模式对关系模式R R 来说有以下的推理规则：来说有以下的推理规则：Al.Al.自反律自反律（ReflexivityReflexivity）：）： 若若Y Y X X U U，则，则X X Y Y为为F F所蕴含。所蕴含。A2.A2.增广律增广律（AugmentationAugmentation）：若）：若X XY Y为为F F所蕴含，且所蕴含，且Z Z U U，则则XZ

32、XZYZYZ为为F F所蕴含。所蕴含。A3.A3.传递律传递律（TransitivityTransitivity）：若）：若X XY Y及及Y YZ Z为为F F所蕴含，则所蕴含，则X XZ Z为为F F所蕴含。所蕴含。定理 6.l Armstrong推理规则是正确的（了解）了解）（l l）自反律）自反律: :若若Y Y X X U U，则，则X X Y Y为为F F所蕴含所蕴含定理6.l(2)(2)增广律增广律: : 若若X XY Y为为F F所蕴含，且所蕴含，且Z Z U U，则，则XZXZYZ YZ 为为F F所蕴含。所蕴含。 (3) (3) 传递律：若传递律：若X XY Y及及Y YZ

33、 Z为为F F所蕴含，则所蕴含，则X XZ Z为为 F F所蕴含。所蕴含。2. 导出规则1.1.根据根据A1A1，A2A2，A3A3这三条推理规则可以得到下面三这三条推理规则可以得到下面三条推理规则：条推理规则： 合并规则合并规则：由：由X XY Y，X XZ Z，有，有X XYZYZ。 （A2A2， A3A3） 伪传递规则伪传递规则：由：由X XY Y，WYWYZ Z，有，有XWXWZ Z。 （A2A2， A3A3） 分解规则分解规则：由：由X XY Y及及 Z Z Y Y，有，有X XZ Z。 （A1A1， A3A3）导出规则2.2.根据合并规则和分解规则，可得引理根据合并规则和分解规则，

34、可得引理6.16.1 【引理引理6.l6.l】 X XA A1 1 A A2 2AAk k成立的充分必要条件成立的充分必要条件是是X XA Ai i成立（成立（i i=l=l，2 2，k k）。）。3. 函数依赖闭包【定义定义6.l26.l2】 在关系模式在关系模式RURF中为中为F F所逻辑蕴含的所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫作函数依赖的全体叫作 F F的闭包的闭包，记为，记为F F+ +。【定义定义6.136.13】 设设F F为属性集为属性集U U上的一组函数依赖，上的一组函数依赖，X X U U， X XF F+ + = = A|XA|XA A能由能由F F 根据根据ArmstrongA

35、rmstrong公理导出公理导出 ，X XF F+ +称称为属性集为属性集X X关于函数依赖集关于函数依赖集F F 的闭包。的闭包。F的闭包 R(X,Y,Z), F=X Y,Y ZF+=X, Y, Z , XY , XZ , YZ , XYZ , X X, X Y,X Z, X XY, X XZ, X YZ, X XYZ, Y Y, Y Z , Y YZ, Z Z, XY X, XY Y, XY Z, XY XY, XY YZ, XY XZ, XY XYZ, XZ X, XZ Y, XZ Z, XZ XY, XZ XZ, XZ XY, XZ XYZ, YZ Y, YZ Z, YZ YZ, XY

36、Z X, XYZ Y, XYZ Z, XYZ XY, XYZ YZ, XYZ XZ,XYZ XYZ 关于闭包的引理引理引理6.2 6.2 设设F F为属性集为属性集U U上的一组函数依赖，上的一组函数依赖，X X，Y Y U U，X XY Y能由能由F F 根据根据ArmstrongArmstrong公理导出的充分必要条公理导出的充分必要条件是件是Y Y X XF F+ +求闭包的算法算法算法6.l 6.l 求属性集求属性集X X（X X U U）关于）关于U U上的函数依上的函数依 赖集赖集F F 的闭包的闭包X XF F+ + 输入：输入：X X，F F输出：输出：X XF F+ +步骤：

37、步骤：（1 1）令）令X X（0 0）= =X X，i i=0=0（2 2）求）求B B，这里，这里B B = = A A |( |( V)(V)( W W)()(V VW W F F V V X X（i i）A A W)W) ；（3 3）X X（i+1i+1）= =B BX X（i i） 算法6.l（4 4）判断）判断X X（i+1i+1）= = X X （i i）吗吗? ?（5 5）若相等或）若相等或X X（i i）= =U , U , 则则X X（i i）就是就是X XF F+ + , , 算法终止。算法终止。（6 6）若否，则）若否，则 i i= =i i+l+l，返回第（，返回第（2

38、 2）步。）步。函数依赖闭包 例例1 1 已知关系模式已知关系模式R R ，其中，其中U U=A A，B B，C C，D D，E E ；F F=ABABC C，B BD D，C CE E，ECECB B，ACACB B 。求（求（ABAB）F F+ + 。函数依赖闭包(2)(2)因为因为X X（0 0） X X（1 1） ，所以再找出左部为，所以再找出左部为ABCDABCD子集子集的那些函数依赖，又得到的那些函数依赖，又得到ABABC C，B BD D， C CE E，ACACB B， 于是于是X X（2 2）= =X X（1 1）BCDEBCDE= =ABCDEABCDE。(3)(3)因为因

39、为X X（2 2）=U=U，算法终止，算法终止所以（所以（ABAB）F F+ + = =ABCDEABCDE。 U=A, B, C, D; F=A B, BC D;U=A, B, C, D; F=A B, BC D;A A+ + = = ？C C+ + = =？(AC)(AC)+ + = = ？例：4. Armstrong公理系统的有效性与完备性有效性有效性：由：由F F出发根据出发根据ArmstrongArmstrong公理推导出来的公理推导出来的每一个函数依赖一定在每一个函数依赖一定在F F+ +中中 / /* * Armstrong Armstrong正确正确完备性完备性：F F+ +中

40、的每一个函数依赖，必定可以由中的每一个函数依赖，必定可以由F F出出发根据发根据ArmstrongArmstrong公理推导出来公理推导出来 / /* * Armstrong Armstrong公理够用，完全公理够用，完全完备性完备性：所有不能用：所有不能用ArmstrongArmstrong公理推导出来公理推导出来f, f, 都不为真都不为真 若若 f f 不能用不能用ArmstrongArmstrong公理推导出来，公理推导出来， f f F F+ + 5. 函数依赖集等价【定义定义6.146.14】 如果如果G G+ += =F F+ +，就说函数依赖集，就说函数依赖集F F覆盖覆盖G

41、G（F F是是G G的覆盖，或的覆盖，或G G是是F F的覆盖），或的覆盖），或F F与与G G等价等价。函数依赖集等价的充要条件引理引理6.3 6.3 F F+ + = = G G+ + 的充分必要条件是的充分必要条件是 F F G G+ + ，和，和G G F F+ + 证证: : 必要性显然，只证充分性。必要性显然，只证充分性。（1 1）若）若F F G G+ + ，则，则X XF F+ + X XG G+ + + 。（2 2）任取）任取X XY Y F F+ + 则有则有 Y Y X XF F+ + X XG G+ + + 。 所以所以X XY Y ( (G G+ +）+ += = G

42、 G+ +。即。即F F+ + G G+ +。（3 3）同理可证）同理可证G G+ + F F+ + ，所以，所以F F+ + = = G G+ +。函数依赖集等价要判定要判定F F G G+ +，只须逐一对，只须逐一对F F中的函数依赖中的函数依赖X XY Y，考察考察 Y Y 是否属于是否属于X XG G+ + + 就行了。因此引理就行了。因此引理6.3 6.3 给出给出了判断两个函数依赖集等价的可行算法。了判断两个函数依赖集等价的可行算法。 6. 最小依赖集 【定义定义6.156.15】 如果函数依赖集如果函数依赖集F F满足下列条件，满足下列条件，则称则称F F为一个为一个极小函数依赖

43、集极小函数依赖集。亦称为。亦称为最小依赖集最小依赖集或或最小覆盖最小覆盖。 最小依赖集 例例2 2 对于对于6.l6.l节中的关系模式节中的关系模式S S ，其中：，其中： U U= SNO= SNO，SDEPTSDEPT，MNMN，CNAMECNAME，G G ， F F= SNOSDEPT= SNOSDEPT，SDEPTMNSDEPTMN， （SNOSNO，CNAMECNAME）G G 设设F F=SNOSDEPT=SNOSDEPT，SNOMNSNOMN， SDEPTMNSDEPTMN，(SNO(SNO，CNAME)GCNAME)G， (SNO(SNO，SDEPT)SDEPTSDEPT)S

44、DEPT 7. 极小化过程【定理定理6.36.3】 每一个函数依赖集每一个函数依赖集F F均等价于一个极小均等价于一个极小 函数依赖集函数依赖集F Fm m。此。此F Fm m称为称为F F的最小依赖集的最小依赖集 极小化过程(2)(2)逐一检查逐一检查F F中各函数依赖中各函数依赖FDFDi i：X XA A， 令令G G= =F F-X XA A ， 若若A A X XG G+ +， 则从则从F F中去掉此函数依赖。中去掉此函数依赖。 极小化过程(3)(3)逐一取出逐一取出F F中各函数依赖中各函数依赖FDFDi i：X XA A， 设设X X= =B B1 1B B2 2B Bm m，

45、逐一考查逐一考查B Bi i （i i=l=l，2 2，m m），）， 若若A A （X X- -B Bi i ）F F+ + ， 则以则以X X- -B Bi i 取代取代X X。 极小化过程由定义，最后剩下的由定义，最后剩下的F F就一定是极小依赖集。就一定是极小依赖集。 因为对因为对F F的每一次的每一次“改造改造”都保证了改造前后的都保证了改造前后的两个函数依赖集等价，因此剩下的两个函数依赖集等价，因此剩下的F F与原来的与原来的F F等价。等价。 证毕证毕定理定理6.36.3的证明过程的证明过程 也是求也是求F F极小依赖集的过程极小依赖集的过程极小化过程 例例3 3 F F = =

46、 A AB B，B BA A，B BC C， A AC C，C CA A F Fm m1 1、F Fm m2 2都是都是F F的最小依赖集：的最小依赖集： F Fm m1 1= = A AB B，B BC C，C CA A F Fm m2 2= = A AB B，B BA A，A AC C，C CA A 极小化过程极小化过程极小化过程( ( 定理定理6.36.3的证明的证明 ) )也是检验也是检验F F是否为极小是否为极小依赖集的一个算法依赖集的一个算法若改造后的若改造后的F F与原来的与原来的F F相同，说明相同，说明F F本身就是本身就是一个最小依赖集一个最小依赖集极小化过程在在R R 中

47、可以用与中可以用与F F等价的依赖集等价的依赖集G G来取代来取代F F原因：两个关系模式原因：两个关系模式R R1 1 ，R R2 2 ，如果如果F F与与G G等价，那么等价，那么R R1 1的关系一定是的关系一定是R R2 2的的关系。反过来，关系。反过来，R R2 2的关系也一定是的关系也一定是R R1 1的关的关系。系。 6.4 模式的分解把低一级的关系模式分解为若干个高一级的关系模把低一级的关系模式分解为若干个高一级的关系模式的方法并不是唯一的式的方法并不是唯一的只有能够保证分解后的关系模式与原关系模式等价，只有能够保证分解后的关系模式与原关系模式等价，分解方法才有意义分解方法才有

48、意义关系模式分解的标准关系模式分解的标准三种模式分解的等价定义三种模式分解的等价定义 分解具有无损连接性分解具有无损连接性 分解要保持函数依赖分解要保持函数依赖 分解既要保持函数依赖，又要具有无损连接分解既要保持函数依赖，又要具有无损连接性性模式的分解（续）定义定义5.16 5.16 关系模式关系模式RR的一个分解：的一个分解：= R= R1 1U ，R R2 2U ，R Rn nU U=U U=U1 1UU2 2UUn n，且不存在，且不存在 U Ui i U Uj j，F Fi i 为为 F F在在 U Ui i 上的投影上的投影定义定义5.17 5.17 函数依赖集合函数依赖集合 X X

49、Y Y | | X XY Y F F+ +XYXY U Ui i 的一个的一个覆盖覆盖 F Fi i 叫作叫作 F F 在属性在属性 U Ui i 上的投影上的投影模式的分解（续）例例: SL: SL（SnoSno， SdeptSdept， SlocSloc） F= SnoSdept,SdeptSloc,SnoSlocF= SnoSdept,SdeptSloc,SnoSloc SL2NF SL2NF 存在插入异常、删除异常、冗余度大和修改复杂等问题存在插入异常、删除异常、冗余度大和修改复杂等问题分解方法可以有多种分解方法可以有多种 模式的分解（续）SL Sno SdeptSloc 95001

50、CS A 95002 IS B 95003 MA C 95004 IS B 95005 PH B 模式的分解（续）1. SL1. SL分解为下面三个关系模式：分解为下面三个关系模式： SN(Sno)SN(Sno) SD(Sdept) SD(Sdept) SO(Sloc) SO(Sloc)分解后的关系为： SN SD SO SN SD SO Sno Sdept Sno Sdept SlocSloc 95001 CS 95001 CS A A 95002 IS 95002 IS B B 95003 MA 95003 MA C C 95004 PH 95004 PH 95005 95005 模式的分

51、解（续）分解后的数据库分解后的数据库丢失了许多信息丢失了许多信息 例如无法查询例如无法查询9500195001学生所在系或所在宿舍。学生所在系或所在宿舍。 如果分解后的关系可以通过自然连接恢复为原如果分解后的关系可以通过自然连接恢复为原来的关系，那么这种分解就没有来的关系，那么这种分解就没有丢失信息丢失信息模式的分解（续）2. SL2. SL分解为下面二个关系模式：分解为下面二个关系模式： NL(Sno, Sloc)NL(Sno, Sloc) DL(Sdept, Sloc) DL(Sdept, Sloc)分解后的关系为：分解后的关系为： N L D L N L D L Sno Sloc Sno

52、 Sloc Sdept SlocSdept Sloc 95001 A 95001 A CS CS A A 95002 B 95002 B IS BIS B 95003 C 95003 C MA MA C C 95004 B 95004 B PH PH B B 95005 B 95005 B 模式的分解（续）NL DL Sno Sloc Sdept 95001 A CS 95002 B IS 95002 B PH 95003 C MA 95004 B IS 95004 B PH 95005 B IS 95005 B PH模式的分解（续）NL DLNL DL比原来的比原来的SLSL关系多了关系多了

53、3 3个元组个元组 无法知道无法知道9500295002、9500495004、9500595005 究竟是哪个系的学生究竟是哪个系的学生 元组增加了，信息丢失了元组增加了，信息丢失了第三种分解方法3. 3. 将将SLSL分解为下面二个关系模式：分解为下面二个关系模式： ND(Sno, Sdept)ND(Sno, Sdept) NL(Sno, Sloc) NL(Sno, Sloc) 分解后的关系为：分解后的关系为： 模式的分解（续）ND NL ND NL Sno Sdept Sno Sno Sdept Sno Sloc Sloc 95001 CS 95001 CS 95001 A 95001 A 95002 IS 95002 IS 95002 B 95002 B 95003 MA 95003 MA 95003 C 95003 C 95004 IS 95004 IS 95004 B 95004 B 95005 PH 95005 PH 95005 B 95005 B 模式的分解（续） ND NL ND NL Sno Sdept Sloc Sno Sdept Sloc 95001 CS A 95001 CS A 95002 IS B 95002 IS B 95003 MA C 95003 MA C 95004 CS A 95004 CS