命题及其关系学习教案

1、会计学1命题命题(mng t)及其关系及其关系第一页，共57页。本章(bn zhn)内容1.1 命题(mng t)及其关系1.2 充分条件(chn fn tio jin)与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第一章 小结第1页/共56页第二页，共57页。1.1 命题(mng t)及其关系1.1.2 四种(s zhn)命题1.1.3 四种(s zhn)命题间的相互关系1.1.1 命题(mng t)第2页/共56页第三页，共57页。1.1.1 命题(mng t)返回(fnhu)目录第3页/共56页第四页，共57页。1. 什么是命题? 它的结构形式(xngsh)是怎样的? 2.

2、 什么是真命题? 什么是假命题? 如何(rh)判断命题的真假?学习要点第4页/共56页第五页，共57页。 问题1. 从语言的角度讲, 下列句子各属什么类型? 能判断它们的真假吗? (1) 若直线 a/b, 则直线 a 和直线 b 无公共点. (2) 2+4=7. (3) 垂直于同一条直线的两个平面平行吗? (4) x10是一个比较(bjio)大的数. (5) 1010这个数太大了! (6) 求 3 除以 2 的余数.(1)(2)(4)是陈述句,(3)是疑问句,(5)是感叹句,(6)是祈使句.能判断(pndun)真假的是陈述句中的(1)(2).第5页/共56页第六页，共57页。 问题1. 从语言

3、的角度讲, 下列句子各属什么类型? 能判断它们的真假吗? (1) 若直线 a/b, 则直线 a 和直线 b 无公共(gnggng)点. (2) 2+4=7. (3) 垂直于同一条直线的两个平面平行吗? (4) x10是一个比较大的数. (5) 1010这个数太大了! (6) 求 3 除以 2 的余数. 一般地, 我们把用语言、符号或式子(sh zi)表达的, 可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫做真命题, 判断为假的语句叫做假命题.真命题(mng t).假命题.不能判断真假, 不是命题.第6页/共56页第七页，共57页。 例1. 判断下列语句中哪些是命题? 是真命题还是假命题?

4、 (1) 空集是任何集合的子集; (2) 若整数 a 是素数, 则 a 是奇数; (3) 指数函数是增函数吗? (4) 若空间中两条直线不相交, 则这两条直线平行; (5) (6) x15.; 2)2(2 解:(3)不是(b shi)陈述句;(6)是陈述句但不能判断(pndun)真假;(1)(2)(4)(5)是能判断(pndun)真假的陈述句, 所以(1)(2)(4)(5)是命题,其中(1)(5)是真命题, (2)(4)是假命题.第7页/共56页第八页，共57页。命题通常由 “条件” 和 “结论” 两部(lin b)份组成, 写成“若 p, 则 q”的形式(xngsh), p 是命题的条件,

5、q 是命题的结论.例2. 指出下列命题(mng t)中的条件 p 和结论 q:(1) 若整数 a 能被 2 整除, 则 a 是偶数;(2) 若四边形是菱形, 则它的对角线互相垂直且平分.解:(1)条件 p: 整数 a 能被 2 整除,结论 q: a 是偶数.(2)条件 p: 四边形是菱形,结论 q: 它的对角线互相垂直且平分.有些命题没有明显的 “若 p, 则 q” 的形式,如下例:第8页/共56页第九页，共57页。 例3. 将下列命题写成 “若 p, 则 q” 形式(xngsh), 并判断真假: (1) 垂直于同一条直线的两条直线平行; (2) 负数的立方是负数; (3) 对顶角相等.解:(

6、1)若两条直线(zhxin)垂直于同一条直线(zhxin), 则这两条直线(zhxin)平行.这是个假命题.垂直同一条直线的两直线也可能平行, 也可能相交, 也可能异面.第9页/共56页第十页，共57页。 例3. 将下列命题写成 “若 p, 则 q” 形式, 并判断真假: (1) 垂直于同一条直线的两条直线平行; (2) 负数的立方(lfng)是负数; (3) 对顶角相等.解:(2)若一个数是负数, 则这个(zh ge)数的立方也是这是个真命题(mng t).负数.一个负数的奇次方仍是负数.第10页/共56页第十一页，共57页。 例3. 将下列命题写成 “若 p, 则 q” 形式, 并判断真假

7、: (1) 垂直于同一条(y tio)直线的两条直线平行; (2) 负数的立方是负数; (3) 对顶角相等.解:(3)如果(rgu)两个角是对顶角, 那么这两个角这是个真命题(mng t).相等.平面几何中有对顶角相等的定理.第11页/共56页第十二页，共57页。练习(linx)(补充) 1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行(pngxng)直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an+

8、1=kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等. 2. 已知 a 与 b 均为单位向量, 其夹角为 q, 有下列四个命题:).32 , 01 | :1 q q bap. ,32(1 | :2 q q bap).3 , 01 | :3 q q bap. ,3(1 | :4 q q bap其中的真命题是 ( ) (A) p1, p4 (B) p1, p3 (C) p2, p3 (D) p2, p4第12页/共56页第十三页，共57页。解:(1)若一个函数是奇函数, 则这个(zh ge)函数的图象过原点.这是个假命题(mng t).奇函数的图象过原

9、点, 必须(bx)保证定义域包含 0.如 是奇函数, 但图象不过原点.xy1 1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an1kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.第13页/共56页第十四页，共57页。解:(2)若一个角的正弦函数(hnsh)值为正, 则这个角的终边在第一(dy)象限.这是个假命

10、题(mng t).正弦函数值为正的角, 其终边可能在第二象限, 也可能与 y 轴的非负半轴重合. 1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an1kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.第14页/共56页第十五页，共57页。解:(3)若两条直线不相交(xingjio), 则这两条直线不可能都是平行

11、线.这是个真命题(mng t).不相交(xingjio)的两条直线不会都是平行线,它们有可能平行, 有可能异面. 1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an1kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.第15页/共56页第十六页，共57页。解:(4)若函数(hnsh) f(x) 满足 f(a)f(

12、b)0, 则函数(hnsh) f(x) 在区间(q jin) (a, b) 内无零点.这是个假命题(mng t).f(x) 在区间 a, b 内不是单调函数时,即使 f(a)f(b)0, 在区间 (a, b) 内, f(x) 也可能有零点. 1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an1kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非

13、零向量的和向量与差向量的模相等.第16页/共56页第十七页，共57页。解:(5)若一个(y )数列的递推式为 an+1=kan (k0),则这个(zh ge)数列是等比数列.这是个假命题(mng t).数列的各项为 0 时, 结论就不成立. 1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an1kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非

14、零向量的和向量与差向量的模相等.第17页/共56页第十八页，共57页。 1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限(xingxin). (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.解:(6)若两非零向量互相(h xing)垂直, 则这两个向量的和与差的模相等(xingdng).这是个真命题.两向

15、量的和向量与差向量的模, 是以这两向量为邻边的平行四边形的两条对角线长.有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形的两条对角线相等.第18页/共56页第十九页，共57页。 2. 已知 a 与 b 均为单位向量, 其夹角为 q, 有下列四个命题:).32 , 0 1 | :1 q q bap. ,32(1 | :2 q q bap).3 , 0 1 | :3 q q bap. ,3(1 | :4 q q bap其中的真命题是 ( ) (A) p1, p4 (B) p1, p3 (C) p2, p3 (D) p2, p4abc分析(fnx):如图当向量(xingling) a, b 的夹角为120时,

16、 |c|ab|1.要使 |c|1,a 与 b 的夹角必须(bx)小于120, 直到a 与 b 同向,同理,abc即 q0, 120).a, b 的夹角为60时, |c|ab|1.要使 |c|1,a, b 的夹角需大于60, 直到 a, b 反向.A第19页/共56页第二十页，共57页。【课时(ksh)小结】1. 命题(mng t) 用语言、符号或式子表达的, 可以判断真假的陈述句叫做命题(mng t). 其中判断为真的语句叫做真命题(mng t), 判断为假的语句叫做假命题(mng t). 命题通常由 “条件” 和 “结论” 两部份组成, 写成 “若 p, 则 q” 的形式, p 是命题的条件

17、, q 是命题的结论.第20页/共56页第二十一页，共57页。【课时(ksh)小结】2. 命题(mng t)的真假判断命题(mng t)的两个属性: 结构属性和内容属性.结构属性的特点是 “若 p, 则 q”,即由条件和结论两部分组成.判断命题的真假就是分析它的内容属性. 判断命题真假的实质是考查掌握各方面数学知识的情况.第21页/共56页第二十二页，共57页。练习(linx): (课本第 4 页)第 1、2、3 题.习题(xt) 1.1A 组第 1 题.第22页/共56页第二十三页，共57页。练习(linx): (课本第 4 页)1. 举出一些命题的例子(l zi), 并判断它们的真假.如:

18、若 x1, 则 |x|1.若 |x|1, 则 x1.若 b2-4ac0, 则方程(fngchng) ax2+bx+c=0 有两不等实根.若直线 a平面a, 直线 b/a, 则 b/a.若 D2E24F0, 则方程 x2y2DxEyF0 的图若 sina0, 则 0a5;(2) 若 a 为正无理数, 则 也是无理数;(3) x1, 2, 3, 4, 5;(4) 正弦函数是周期函数吗?a解:(1)(2) 是命题(mng t).(3) 不是(b shi)命题, 因为不能判断真假.(4) 不是命题, 因为不是陈述句.第26页/共56页第二十七页，共57页。1.1.2 四种(s zhn)命题1.1.3

19、四种(s zhn)命题的相互关系返回(fnhu)目录第27页/共56页第二十八页，共57页。 1. 什么(shn me)是一个命题的逆命题、否命题、逆否命题? 2. 原命题, 逆命题, 否命题, 逆否命题各相互之间是什么(shn me)关系? 3. 一个命题(mng t)的逆命题(mng t), 否命题(mng t)和逆否命题(mng t)的真假性是否有联系?学习要点第28页/共56页第二十九页，共57页。 问题1. 下列四个命题中, 命题 (1) 与命题 (2) (3) (4) 的条件和结论(jiln)之间分别有什么关系? (1) 若 f(x) 是正弦函数, 则 f(x) 是周期函数; (2

20、) 若 f(x) 是周期函数, 则 f(x) 是正弦函数; (3) 若 f(x) 不是正弦函数, 则 f(x) 不是周期函数; (4) 若 f(x) 不是周期函数, 则 f(x) 不是正弦函数.将命题 (1) 的条件与结论(jiln)相交换就是命题 (2).命题(mng t) (2) 叫命题(mng t) (1) 的逆命题(mng t), 命题(mng t) (1) 也叫命题(mng t)(2) 的逆命题.将命题 (1) 的条件和结论都加以否定就是命题 (3).命题 (3) 叫命题 (1) 的否命题, 命题 (1) 也叫命题(3) 的否命题.第29页/共56页第三十页，共57页。 问题1. 下

21、列四个命题中, 命题 (1) 与命题 (2) (3) (4) 的条件和结论之间分别有什么关系? (1) 若 f(x) 是正弦函数(hnsh), 则 f(x) 是周期函数(hnsh); (2) 若 f(x) 是周期函数(hnsh), 则 f(x) 是正弦函数(hnsh); (3) 若 f(x) 不是正弦函数(hnsh), 则 f(x) 不是周期函数(hnsh); (4) 若 f(x) 不是周期函数(hnsh), 则 f(x) 不是正弦函数(hnsh).将命题 (1) 的条件和结论都加以否定后又交换(jiohun)就是命题(mng t) (4).命题 (4) 叫命题 (1) 的逆否命题, 命题 (

22、1) 也叫命题(4) 的逆否命题.第30页/共56页第三十一页，共57页。 一般地, 对于(duy)两个命题, 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件, 那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题. 其中一个命题叫做原命题, 另一个叫做原命题的逆命题. 请同学(tng xu)们比照逆命题的定义, 写出否命题、逆否命题的定义.原命题(mng t): “若 p, 则 q”,逆命题: “若 q, 则 p”.第31页/共56页第三十二页，共57页。 对于两个(lin )命题, 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定, 那么我们把这样的两个(lin )命题叫做互为逆否命题

23、. 其中一个命题叫做原命题, 另一个叫做原命题的逆否命题.原命题(mng t): “若 p, 则 q”,逆否命题: “若 q, 则 p”. 对于两个命题(mng t), 如果一个命题(mng t)的条件和结论恰好是另一个命题(mng t)的条件和结论的否定, 那么我们把这样的两个命题(mng t)叫做互否命题(mng t). 其中一个命题(mng t)叫做原命题(mng t), 另一个叫做原命题(mng t)的否命题(mng t).原命题: “若 p, 则 q”,否命题: “若 p, 则 q”.“ p” 读作非 p, “ q” 读作非 q.第32页/共56页第三十三页，共57页。 例(补充).

24、 写出命题(mng t) “若 a6, 则 a5.” 的逆命题(mng t)、否命题(mng t)和逆否命题(mng t), 并判断其真假.解:逆命题:若 a5, 则 a6.此逆命题(mng t)是假命题(mng t).否命题(mng t):若 a6, 则 a5.此否命题也是假命题.逆否命题:若 a5, 则 a6.此逆否命题是真命题.第33页/共56页第三十四页，共57页。练习(linx): (课本第6页)就一题.第34页/共56页第三十五页，共57页。练习(linx): (课本第6页) 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题, 并判断它们的真假: (1) 若一个整数的末位数字是 0, 则这个

25、整数能被5 整除; (2) 若一个三角形的两条边相等(xingdng), 则这个三角形的两个角相等(xingdng); (3) 奇函数的图象关于原点对称.解:(1)逆命题:若一个整数(zhngsh)能被 5 整除, 则这个整数的末位数字是 0.此命题是假命题.否命题:若一个整数的末位数字不是 0, 则这个整数不能被 5 整除.这个命题也是假命题.逆否命题:若一个整数不能被 5 整除, 则这个整数的末位数字不是 0.此命题是真命题.第35页/共56页第三十六页，共57页。练习(linx): (课本第6页) 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题, 并判断它们的真假: (1) 若一个整数的末位数字

26、是 0, 则这个整数能被5 整除; (2) 若一个三角形的两条边相等, 则这个三角形的两个角相等; (3) 奇函数的图象(t xin)关于原点对称.解:(2)逆命题:若一个(y )三角形的两个角相等, 则这个三角形的两条边相等.此命题是真命题.否命题:若一个三角形的两条边不相等, 则这个三角形的两个角不相等.这个命题也是真命题.逆否命题:若一个三角形的两个角不相等, 则这个三角形的两条边不相等.此命题也是真命题.第36页/共56页第三十七页，共57页。练习(linx): (课本第6页) 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题, 并判断它们的真假: (1) 若一个整数(zhngsh)的末位数字是

27、 0, 则这个整数(zhngsh)能被5 整除; (2) 若一个三角形的两条边相等, 则这个三角形的两个角相等; (3) 奇函数的图象关于原点对称.解:(3)逆命题:图象关于原点对称(duchn)的函数是奇函数.此命题是真命题.否命题:不是奇函数的图象不关于原点对称.这个否命题也是真命题.逆否命题:图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这个逆否命题也是真命题.第37页/共56页第三十八页，共57页。 问题2. 下面四个命题中, 任意两个命题是什么关系(gun x)? 你能由此总结出四种命题中任意两个命题的关系(gun x)吗? (1) 若 f(x) 是正弦函数, 则 f(x) 是周期函数; (

28、2) 若 f(x) 是周期函数, 则 f(x) 是正弦函数; (3) 若 f(x) 不是正弦函数, 则 f(x) 不是周期函数; (4) 若 f(x) 不是周期函数, 则 f(x) 不是正弦函数.(1) (2) 互逆.(1) (3) 互否.(1) (4) 互为逆否.(2) (3) 互为逆否.(2) (4) 互否.(3) (4) 互逆.第38页/共56页第三十九页，共57页。 问题2. 下面(xi mian)四个命题中, 任意两个命题是什么关系? 你能由此总结出四种命题中任意两个命题的关系吗? (1) 若 f(x) 是正弦函数, 则 f(x) 是周期函数; (2) 若 f(x) 是周期函数, 则

29、 f(x) 是正弦函数; (3) 若 f(x) 不是正弦函数, 则 f(x) 不是周期函数; (4) 若 f(x) 不是周期函数, 则 f(x) 不是正弦函数.又问: 这四种命题(mng t)的真假性有什么相互关系? 一个命题(mng t)为真, 它的逆命题(mng t)、否命题(mng t)不一定真, 而它的逆否命题(mng t)一定真. 一个命题为假, 它的逆命题、否命题不一定假, 而它的逆否命题一定假.第39页/共56页第四十页，共57页。 原命题(mng t) 若p, 则q逆互逆命题互互互逆否否逆否逆否否命题(mng t)逆否命题若q, 则p若p, 则q互为互为若q, 则p互为逆否的两

30、个命题(mng t)的真假性相同.第40页/共56页第四十一页，共57页。 问题(wnt)3. 以 “若 x2-3x+2=0, 则 x=2 ” 为原命题, 写出它的逆命题、否命题与逆否命题. 其中互为逆否的有哪些? 它们的真假性如何?逆命题:若 x2, 则 x23x20.否命题(mng t):若 x23x20, 则 x2.逆否命题:若 x2, 则 x23x20.其中(qzhng)原命题与逆否命题互为逆否; 逆命题与否命题互为逆否.原命题与逆否命题是假命题; 逆命题与否命题是真命题. 在证明某个命题有困难时, 可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真.第41页/共56页第四十二页，共57

31、页。例4. 证明(zhngmng): 若 x2+y2=0, 则 x=y=0.分析(fnx):直接由 x2+y2=0 推证 x=y=0 不易推理(tul)表述,我们可以反过来想:那么 x2y20 就这恰是所证命题的逆否命题.如果原命题的逆否命题为真, 则原命题也真.如果 x, y 中只要有一个不为 0,不会成立.第42页/共56页第四十三页，共57页。例4. 证明(zhngmng): 若 x2+y2=0, 则 x=y=0.证明(zhngmng):假若 x, y 中至少有一个(y )不为 0, 不妨设x0,于是得 x2y20.即证得 “ x, y 不全为 0 时, x2y20” .即 “若 x2y

32、20, 则 xy0.” 得证.则有 x20,而 y 为任意实数都有 y20,此命题的逆否命题是真命题,第43页/共56页第四十四页，共57页。练习(linx): (课本第8页)只有(zhyu)一题.第44页/共56页第四十五页，共57页。练习(linx): (课本第8页)证明(zhngmng): 若 a2-b2+2a-4b-30, 则 a-b1.证明(zhngmng):若 ab1,得 a2b22a4b3a2(a1)22a4(a1)3则 ba1,a2a22a12a4a430,即证得 “若 ab1, 则 a2b22a4b30” 为真. “若 a2b22a4b30, 则 ab1.”是真命题.第45页

33、/共56页第四十六页，共57页。【课时(ksh)小结】1. 四种(s zhn)命题原命题(mng t): “若 p, 则 q”,逆命题: “若 q, 则 p”.逆否命题: “若 q, 则 p”.否命题: “若 p, 则 q”.第46页/共56页第四十七页，共57页。【课时(ksh)小结】2. 四种(s zhn)命题的关系 原命题(mng t) 若p, 则q互逆互逆互否互否互为逆否互为逆否逆否命题若q, 则p否命题若p, 则q逆命题若q, 则p(1) 互为逆否的两个命题的真假性相同.(2) 互逆或互否的两个命题的真假性没有关系.第47页/共56页第四十八页，共57页。习题(xt) 1.1A 组第

34、 2、3、4 题.B 组只一题.第48页/共56页第四十九页，共57页。习题(xt) 1.1A 组 2. 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们(t men)的真假: (1) 若 a, b 都是偶数, 则 a+b 是偶数; (2) 若 m0, 则方程 x2+x-m=0 有实数根.解:(1)逆命题:若 a+b 是偶数(u sh), 则 a, b 都是偶数(u sh).否命题:若 a, b 不都是偶数, 则 ab 不是偶数.此逆命题是假命题.此否命题也是假命题.逆否命题:若 ab 不是偶数, 则 a, b 不都是偶数.此逆否命题是真命题.第49页/共56页第五十页，共57页。习题(xt

35、) 1.1A 组 2. 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假: (1) 若 a, b 都是偶数, 则 a+b 是偶数; (2) 若 m0, 则方程(fngchng) x2+x-m=0 有实数根.解:(2)逆命题:若方程(fngchng) x2-x-m=0 有实数根, 则否命题:此逆命题是假命题.此否命题也是假命题.逆否命题:此逆否命题是真命题.m0.若 m0, 则方程 x2xm0 无实数根.若方程 x2xm0 无实数根, 则 m0.第50页/共56页第五十一页，共57页。 3. 把下列命题改写成 “若 p, 则 q” 的形式(xngsh), 并写出它的逆命题、否命题和逆否命题, 然后判断它们的真假: (1) 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; (2) 矩形的对角线相等.解:(1)若一点(y din)在线段的垂直平分线上, 则这点到这条线段