多元函数微分学6学习教案

1、会计学1多元多元(du yun)函数微分学函数微分学6第一页，共34页。极值的点称为极值点。为极值，取得函极大值与极小值统称值。小大的一个极是函数则称，若，内有定义，在设)()()()(),(, 0),()(0000),(xfxfxfxfxNxbaxIxfba第1页/共33页第二页，共34页。称为极值点。为极值，取得极值的点函极大值与极小值统称值。小大的一个极是函数，则称，若，设000000000),(),(),(),(),(),(, 0),(),(PyxfyxfyxfyxfDPNyxDyxPyxfzff第2页/共33页第三页，共34页。 ABCDz=f(x,y)f 在顶点在顶点(dngdin

2、)A、B、C、D处有极大处有极大值值xz 0y第3页/共33页第四页，共34页。ABCDz=f(x,y)f 在点在点D处有处有极大值极大值D是尖点，是尖点，xz 0y7. 7. 多元函数的极值（广义多元函数的极值（广义(gungy)(gungy)的定义）的定义）第4页/共33页第五页，共34页。z=f(x,y)xz 0yADSS是是/ xoy面的平面面的平面(pngmin)区域或平面区域或平面(pngmin)曲线曲线,Cf 在在S的每一点的每一点(y din)处有极大值吗？处有极大值吗？用以下广义的定义逐点判别用以下广义的定义逐点判别7.7. 多元函数的极值（广义的定义）多元函数的极值（广义的

3、定义）第5页/共33页第六页，共34页。二元函数二元函数 (0,0)( , 0 (0,0)( ,)( ),(2222x,yx,yyxyxxyyxf1)0 , 0( xyfxyz1)0 , 0( yxf.该函数该函数(hnsh)在原点处连续，但有在原点处连续，但有o？问题：曲面在点问题：曲面在点(0,0)附近附近(fjn)的形状是怎样的呢的形状是怎样的呢对对称称, ,曲曲面面关关于于直直线线 0 zxy.曲面曲面(qmin)关于关于x轴对称，轴对称，在在Dxy:122 yx上考虑上考虑曲面过曲面过x轴轴 ，过过y轴轴曲面关于曲面关于y轴对称轴对称对对称称关关于于直直线线 0 zxy第6页/共33

4、页第七页，共34页。)0 , 0(),(),(),(, 0)(),()0 , 0(),()2/(1)0 , 0(), 0(41,22121221222zyxzONyxyxzMaxzyxzzezyxyx即：见图故常数、 0), 0(xyz 0)0 ,(yxz第7页/共33页第八页，共34页。即在原点无极值。而总附近具有如下性质：在原点马鞍面0)(, 0)(),(), 0(),0 ,(, 00), 0(, 0)0 ,()0 , 0(221102012222PzzPzzONyPxPyyzxxzOxyz0)0 ,(yxzz第8页/共33页第九页，共34页。)(),(),(000不妨设为极大值取得极值在

5、证：yxPyxfz ),(),()() 1 (000PNPPfPfz)()(),()(),()(),(),(),(),();,(),(),()2(0000000000000000yxyxfyxyyxfxyxfPNyxyxfzPNyxyxfz有极大值在0)( ),()(0)( ),()(000000yyxfPfxyxfPfyyyxx一元函数极值的必要条件0),(0),(),()2(0000)()(0000yxfyxfyxfyxPfPfxy是极值二元函数：0)()() 1 (0)(00 xfxfxf是极值一元：第9页/共33页第十页，共34页。的一个驻点。是二元函数则称点可偏导，且在设),(0)(

6、)(),(),(000000yxfzPPfPfyxPyxfzyx的极值点。点却不是函数但反例：的极值点。是的一个驻点是注：22002200)0 , 0(|2)(0|2)(,),(),() 1 (xyzOyOzxOzxyzyxfPyxfPyyxx 的一个驻点。是、的一个极值点，且是),()()(),()2(0000yxfPPfPfyxfPyx第10页/共33页第十一页，共34页。不能确定的非极值极小值极大值是00000)(02PfAACB则：并设：导数，点附近有连续的二阶偏在设),(),(),(),(),(000000PfCPfBPfAyxPyxfzyyxyxx 第11页/共33页第十二页，共3

7、4页。不能确定的非极值极小值极大值是则：并设：00000)(),(),(),(02000 PfAACBPfCPfBPfAyyxyxx的极值。求22),(yxyxf0)0 , 0(04220, 02)0 , 0(020222值为：点为其极小值点，极小又为驻点且解：ACBAyfxfyx第12页/共33页第十三页，共34页。的极值。设xyxyxyxf933),(223366, 0, 66)2 , 1 (),0 , 1 (),2 , 3(),0 , 3(0630963432122 yfCfBxfAPPPPyyfxxfyyxyxxyx为驻点且解：令令非极值极小值极大值非极值是驻点极小值点极大值点驻点是)

8、(727272721212121224321iiPfPACBAPPPP第13页/共33页第十四页，共34页。的极值。设222),(yxyxyxfz为驻点且解：令令)0 , 0(0403Pyxzyxzyx03, 0114314, 1, 322 AACBzCzBzAyyxyxx且0)0 , 0(该函数的极小值为：，点为该函数的极小值点P第14页/共33页第十五页，共34页。就是最小值。大值，最小的较，其中最大的就是最最大值和最小值相互比的边界上的值及在内的所有驻点处的函数在将函数DDyxf),(第15页/共33页第十六页，共34页。第16页/共33页第十七页，共34页。省？尺寸时，才能使用料最长、

9、宽、高各取怎样的当的有盖长方体水箱。问体积为某厂要用铁板做成一个32m)0, 0()22(2)(2yxyxxyAmxyyx水箱用料面积。应为为水箱的长和宽，则高、解：设33222,20)2(20)2(2yxyxAxyAyx驻点：且令令取得最小值。时，因此可断定当内只有唯一的驻点函数在AyxD33332,2),2,2()(22222233333立方体的表面积最小即体积一定的长方体中所用的材料最省。时，水箱、高为、宽为当水箱的长为mmm第17页/共33页第十八页，共34页。面积最大？样的折法才能使断面的等腰梯形的水槽。问怎边折起来做成一断面为的长方形铁板，把它两有一宽为cm24)2/0 ,120(

10、cossinsin2sin24,sin,cos2224,224)(22xxxxAxxxxxcm所以断面面积：高上底长底长，那么梯形断面的下见图，倾角为设折起来的边长为2424-2xx0)sin(coscos2cos240cossin2sin4sin242222令令xxxAxxAx)(8,30)sin(coscos2cos240cos212, 00sin22cmxxxxxx驻点：所以上述方程组可化为、由于第18页/共33页第十九页，共34页。)(8,3cmx 最大。时，就能使断面的面积可以断定，当内只有一个驻点，因此数在时的函数值为小。又函的函数值比时内取得。通过计算得知且在的最大值一定存在，并

11、根据题意可知断面面积60,88,602/2/0 ,120:cmxDcmxxD第19页/共33页第二十页，共34页。极值；下求得的极值叫做条件在条件0),(),() 1 (yxyxfz上。必在因此下的极大值，的最高点即在条件曲线00),(),(0),(0),(),(zyxyxyxyxyxfz),(yxfz 0),(yx0z),(00yx第20页/共33页第二十一页，共34页。极值。下求得的极值叫做条件在条件0),(),()2(zyxzyxfu叫做约束条件。或中的限制条件方程、称0),(0),()2() 1 (zyxyx第21页/共33页第二十二页，共34页。下的条件极值。在条件求2222xyzx

12、zyzxyuxyz2从约束条件解： yxxyu442代入目标函数得：,42,4222yxuxyuyx又)(200300zyxuuyx代入约束条件令是极小值。知：，即由判别法3333246)2,2,2()(uACBA第22页/共33页第二十三页，共34页。入法。出。这种方法又叫做代而化成无条件极值求变量代入目标函数，从束条件方程解出一个注：条件极值可以由约下的极值。在条件求函数1222yxyxz为极小值。又，得：代入解：由约束条件令)32,31(32132913)31(06)()32(31026)(123)(,1002zxyxxxxxzxzxy 第23页/共33页第二十四页，共34页。的一个条件

13、极值点。下可能是在条件满足：若可设辅助函数：下的条件极值时，在求),(0),(0),(),(0),(0),(),(),(),(),(0),(),(0000yxfzyxPyxyxFyxFyxFyxPyxyxfyxFyxyxfzyx第24页/共33页第二十五页，共34页。.),(),(),(),(),(),(0),(, 0),(),(212121能极值点在两个附加条件下的可就是函数，求出的解并使之为零，然后联立，、均为常数，求其偏导、其中助函数：下的极值，可先构成辅在附加条件求函数tzyxftzyxFFFFFFtzyxtzyxtzyxftzyxFtzyxtzyxtzyxfutzyx第25页/共33

14、页第二十六页，共34页。.23料最省，求长、宽、高使其用有盖长方体水箱体积mV 2),(222xyzzyxyzxzxyS约束条件：高宽长解：目标函数：时用料最少。代入法可知：当：由例解法3261zyx)2(222),(2xyzyzxzxyzyxF：设辅函解法02022022; 022令令令令xyzFyxxyFxzzxFyzzyFzyx时用料最少。由于驻点唯一，知当代入33322222,2zyxzyxxyzzxy第26页/共33页第二十七页，共34页。函数设),() 1 (zyxFLagrange),(0)3(000zyxFFFFzyx联立求得可能的极值点，并令极值点。实际问题中有唯一驻点判别法

15、用判别：必是)4(iiABCiFFFFzyx、求)2(第27页/共33页第二十八页，共34页。积最大。，求长、宽、高使其体已知长方体的表面积为2a),()高宽长目标函数解：zyxxyzVi0)(2)(20)(2)(20)(2; 0)(2; 0)(2)(*)(*)(*)(*)(*)(*321321yxzzxyzxyzyxxyyxFzxxzFzyyzFivzyxzyx式得：，代入即：(*),zyxzxyxzyzyzxyx3)6/6(6/6, 6/6aaazyx值为：的正方体时体积最大，即当长方体为边长极大值下的条件在条件求函数题设问题2(*)222)ayzxzxyxyzVii第28页/共33页第二

16、十九页，共34页。离。这椭圆的最长与最短距截成一椭圆，求原点到被平面设抛物面122zyxyxz：参数法。解法乘数法。再用一个条件后，：将两条件联立，消去解法最长距离。最短距离；故：驻点：可得：后令它们为零并联立、求即：先求解法32359359)32 ,231,231()32 ,231,231(,) 1()(),(12121222222222LagrangeddPPFFFFFzyxyxzzyxzyxFzyxdzyx第29页/共33页第三十页，共34页。的极值。确定的隐函数所求),(0642(*)222yxzzzyxzyx极小值。极大值；时，有：故当的一张球面点半径为这是球心在式解：1431432, 114)3 , 2 , 1 (14)3()2() 1(*)222zzyxzyx第30页/共33页第三十一页，共34页。)1,0()1 ,0(1)0, 1(1min1)1,0()1 ,0(, 1)0, 1(,0)0,0(1|),1,0(1)1|(|121)2()1,0(222zzMaxzzzzzzzzxyzyyzyx可得：比较且它的极值为：一元函数时：当0)0 , 0(),0 , 0(02; 021) 1 (22zyzxzyxyx且唯一驻点联立且时：当解：令令最大值与最小值。内的：在求12222yxDxyz第31页/